2019-2020学年高一数学4月网上考试试题(含解析)

2019-2020学年高一数学4月网上考试试题
（含解析）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1.若，和的夹角为30°，则在方向上的投影为（）
A. 2
B.
C.
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用在方向上的投影公式即可得到答案．
【详解】因为，和的夹角为30°
所以在方向上的投影为.
故答案选C
【点睛】本题考查向量投影的公式，属于基础题．
2.记正项等比数列满足，则公比( )
A. B. 或 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比.
【详解】依题意，，即，故
，解得或，而，故.
故选：A
【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.在中，，则的形状为( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理将等式两边和转化成对应角的正弦，利用二倍角正弦公式化简整理，再由正弦值和角的关系即可得到答案.【详解】，正弦定理可得，即，，，
或.
∴或，
∴为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
【点睛】本题主要考查三角形形状的判断、正弦定理和二倍角的正弦公式的应用，考查学生转化能力，属于基础题.
4.函数的最小正周期和最大值分别是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将原函数化简，可得其最小正周期和最大值.【详解】解：由函数，
可得：，
故可得：其最小正周期为，最大值为，
故选：C.
【点睛】本题主要考查三角函数的辅助角公式及正弦函数的周期性与最值，属于基础题型.
5.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A. a km
B. a km
C. akm
D. 2akm
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．【详解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝ a.故选:B.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．
6.在等差数列中，若，则等于( )
A. 9
B. 27
C. 18
D. 54
【答案】C
【解析】
【详解】,
解得，
则，故选C.
考点：等差数列的性质——等差中项.
7.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据差角正切公式求出，再根据万能公式求出．【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，考查万能公式，属于基础题．
8.已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
先用公差表示出，结合等比数列求出.
【详解】,因为成等比数列，所以
，解得.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.
9.已知，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：依题意，可得2sinαcosα=＜0，又α∈（0，π），于是得sinα＞0，cosα＜0，sinα-cosα＞0，对所求的关系式平方后再开方即可．
详解：因为，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=
，∴2sinαcosα=＜0，又α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα-cosα＞0，∵（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=，∴sinα-cosα=
故选D．
点睛：本题考查同角三角函数间的关系，判断出sinα-cosα＞0是关键，考查运算求解能力，属于中档题．
10.已知数列的前项和为，且.若数列为递增数列，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据条件求解通项公式，然后递增数列的特点求解的取值范围.
【详解】当时，；
当时，，
因，所以当时，数列为递增数列.
若数列为递增数列，只需，所以，即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和数列的单调性，由求解时，公式是关键，侧重考查数学运算的核心素养.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
11.已知向量，，若，则__________.【答案】13
【解析】
【分析】
先化简得到m的值，再求.
【详解】因为，所以2m-18=0,所以m=9.
所以=（4,6）+（9，-6）=（13,0），所以=13.
故答案为13.
【点睛】(1)本题主要考查向量垂直的坐标表示和向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 设=则.
12.已知，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用求的值.
【详解】
．
故答案为5
【点睛】本题主要考查差角的正切公式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13.在中,内角的对边分别为,若的周长为,面积为，，则__________．
【答案】3
【解析】
【详解】分析：由题可知，中已知，面积公式选用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.
详解：，
，
由余弦定理，得
又，，解得.
故答案为3.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化工具，实施边角之间的互化；
第三步：求结果.
14.已知公差不为0的等差数列，满足，，成等比数列，为数列的前n项和，当时，n的值最大为
________.
【答案】18
【解析】
【分析】
由，，成等比数列得，利用等差数列的通项公式得出和的关系，得，表示出，由可解得的最大值．【详解】∵，，成等比数列，∴，而为等差数列，设公差d，代入得到，解得，所以，
，
当时，解得，所以n的值最大为18.
故答案为：18
【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，考查等比数列的性质，掌握等差数列的前项和公式是解题关键．
三、解答题（本大题共2个小题，每题15分，共30分)
15.已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求当取何值时有最小值.
【答案】（1）an=2n–9；（2）最小值为-16
【解析】
【分析】
（1）设{an}的公差为d，根据条件列出a1和d的方程组，解之即可得到答案；（2）利用等差数列的求和公式求出，通过配方法可求得结果.
【详解】（1）设{an}的公差为d，由题意得得a1=–7，d=2，
所以{an}的通项公式为an=2n–9；
（2）由（1）得，
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和，熟记并掌握公式和概念是解题的关键，属基础题.
16.已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）已知在中角的对边分别为，若，，求角.
【答案】（1），．（2）
【解析】
【分析】
（1）由三角恒等变化对进行化简，由三角函数性质可得其单调递减区间；
（2）由，代入可得，根据余弦定理
，得①，由②，联立①②得，可得得，所以为等边三角形，可得答案.
【详解】解：（1）
由，，
得，
即函数的单调递减区间是，．
（2）由得，
，，
根据余弦定理，得①
，②
联立①②得，，化简得．
由②得，所以为等边三角形，．
【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数的单调
质是解题的关键.
2019-2020学年高一数学4月网上考试试题
（含解析）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1.若，和的夹角为30°，则在方向上的投影为（）
A. 2
B.
C.
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用在方向上的投影公式即可得到答案．
【详解】因为，和的夹角为30°
所以在方向上的投影为.
故答案选C
【点睛】本题考查向量投影的公式，属于基础题．
2.记正项等比数列满足，则公比( )
A. B. 或 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比.
【详解】依题意，，即，故，解得
或，而，故.
故选：A
【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.在中，，则的形状为( )
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理将等式两边和转化成对应角的正弦，利用二倍角正弦公式化简整理，再由正弦值和角的关系即可得到答案.
【详解】，正弦定理可得，
即，，，
或.
∴或，
∴为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
【点睛】本题主要考查三角形形状的判断、正弦定理和二倍角的正弦公式的应用，考查学生转化能力，属于基础题.
4.函数的最小正周期和最大值分别是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将原函数化简，可得其最小正周期和最大值.
可得：，
故可得：其最小正周期为，最大值为，
故选：C.
【点睛】本题主要考查三角函数的辅助角公式及正弦函数的周期性与最值，属于基础题型. 5.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A. a km
B. a km
C. akm
D. 2akm
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．
【详解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝
2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝ a.
故选:B.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．
6.在等差数列中，若，则等于( )
A. 9
B. 27
C. 18
D. 54
【答案】C
【解析】
【详解】,
解得，
考点：等差数列的性质——等差中项.
7.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据差角正切公式求出，再根据万能公式求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查简单的三角恒等变换，考查万能公式，属于基础题．
8.已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
先用公差表示出，结合等比数列求出.
【详解】,因为成等比数列，所以，解得.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.
9.已知，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：依题意，可得2sinαcosα=＜0，又α∈（0，π），于是得sinα＞0，cosα＜0，sinα-cosα＞0，对所求的关系式平方后再开方即可．
详解：因为，∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=＜0，又α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα-cosα＞0，∵（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=，
∴sinα-cosα=
故选D．
点睛：本题考查同角三角函数间的关系，判断出sinα-cosα＞0是关键，考查运算求解能力，属于中档题．
10.已知数列的前项和为，且.若数列为递增数列，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据条件求解通项公式，然后递增数列的特点求解的取值范围.
【详解】当时，；
当时，，
因，所以当时，数列为递增数列.
若数列为递增数列，只需，所以，即.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和数列的单调性，由求解时，公式
是关键，侧重考查数学运算的核心素养.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
11.已知向量，，若，则__________.
【答案】13
【解析】
【分析】
先化简得到m的值，再求.
【详解】因为，所以2m-18=0,所以m=9.
所以=（4,6）+（9，-6）=（13,0），所以=13.
故答案为13.
【点睛】(1)本题主要考查向量垂直的坐标表示和向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 设=则.
12.已知，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用求的值.
【详解】
．
【点睛】本题主要考查差角的正切公式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13.在中,内角的对边分别为,若的周长为,面积为，
，则__________．
【答案】3
【解析】
【详解】分析：由题可知，中已知，面积公式选用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.
详解：，
，
由余弦定理，得
又，，解得.
故答案为3.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化工具，实施边角之间的互化；
第三步：求结果.
14.已知公差不为0的等差数列，满足，，成等比数列，为数列的前n项和，当时，n的值最大为________.
【答案】18
【解析】
【分析】
由，，成等比数列得，利用等差数列的通项公式得出和的关系，得
【详解】∵，，成等比数列，∴，而为等差数列，
设公差d，代入得到，解得，所以，
，
当时，解得，所以n的值最大为18.
故答案为：18
【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，考查等比数列的性质，掌握等差数列的前项和公式是解题关键．
三、解答题（本大题共2个小题，每题15分，共30分)
15.已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求当取何值时有最小值.
【答案】（1）an=2n–9；（2）最小值为-16
【解析】
【分析】
（1）设{an}的公差为d，根据条件列出a1和d的方程组，解之即可得到答案；（2）利用等差数列的求和公式求出，通过配方法可求得结果.
【详解】（1）设{an}的公差为d，由题意得得a1=–7，d=2，
所以{an}的通项公式为an=2n–9；
（2）由（1）得，
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和，熟记并掌握公式和概念是解题的关键，属基础题.
16.已知函数.
（2）已知在中角的对边分别为，若，，求角.
【答案】（1），．（2）
【解析】
【分析】
（1）由三角恒等变化对进行化简，由三角函数性质可得其单调递减区间；
（2）由，代入可得，根据余弦定理，得
①，由②，联立①②得，可得得，所以为等边三角形，可得答案.
【详解】解：（1）
由，，
得，
即函数的单调递减区间是，．
（2）由得，
，，
根据余弦定理，得①
，②
联立①②得，，化简得．
由②得，所以为等边三角形，．
【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数的单调性、余弦定理解三角形等知识，熟练掌握三角函数的图形与性质是解题的关键.。