空间解析几何,李养成(新版),第一章_第二节

x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 x ,y ,z . 1+ 1+ 1+
特别地，当λ=1时， 即坐标中点公式.
例1.2.1 已知三角形三顶点 P i xi , yi , zi ) i , 求 PP 1 2P 3 的重心的坐标. 解 如图所示，设 PP 1 2P 3 的三条中线为 PM i i , 其 i ， 三条中 M 中顶点 Pi 所对的对边上的中点为 i 线的公共点为 G(x,y,z ) . 可得 PG =GM. 即重心G 将P 1M 1分成定比 2.
约定：当分母为零时，分子亦为零.
证明: 据定理1.1.3，向量 v1 ,v2 共线的充要条件是其中 一个向量可用另一个向量来线性表示，不妨设 v1 =v2 ，
于是
(X1 ,Y1 , Z1 ) ( X 2 ,Y2 , Z2 ) ( X 2 , Y2 , Z2 ),
由此得到 X 1 X 2 ,Y1 Y2 , Z1 Z2 ，
X 1 Y1 Z1 X 2 Y2 Z 2 =0. X 3 Y3 Z 3
证明: 三个向量 v1, v2 , v3 共面的充要条件是 即存在不全为0的实数 , , 使得 v1 v2 v3 0.
由此可得到
X 1 X 2 X 3 0, Y1 Y2 Y3 0, Z Z Z 0. 2 3 1
因为 M 1 为 P2 P3 的中点，
x2 x3 y2 y3 z2 z3 所以 M 1 2 , 2 , 2 .
据定比分点公式，得G的坐标
x2 x3 x1 +2 1 1 1 2 x = (x1 +x2 +x3 ), y (y1 +y2 +y3 ), z (z1 +z2 +z3 ). 1 2 3 3 3 x1 +x2 +x3 y1 +y2 +y3 z1 +z2 +z3 PP P , , . 所以 1 2 3 的重心为 G 3 3 3
AC ( x3 x1 , y3 y1 , z3 z1 ),
由于 AB, AC 两向量共线， 根据命题1.2.3可得，


x2 x1 y2 y1 z2 z1 . x3 x1 y3 y1 z3 z1
命题1.2.4 在仿射坐标系 O; e1 , e2 , e3 中，三个非零向 量 vi (X i ,Yi , Zi ) i 共面的充要条件是
约定： 空间直角坐标系中的坐标向量 e1 , e2 , e3 改写 为 i, j,k ，并用 O; i, j,k 表示右手直角坐标系.
注： ①直角坐标系是特殊的仿射坐标系. ②坐标： 仿射坐标 直角坐标
2. 用坐标作向量的运算
仿射坐标系
Ⅰ.用向量的分量进行向量的线性运算. 命题1.2.1 取定标架 O; e1 , e2 , e3 . 对于任意向量 a = (a , a2 , a3 ), b = (b, b2 , b3 ) 及任意实数 ，有
所以命题得证.
推论1.2.1 三个点A( x1 , y1 , z1 )，B( x2 , y2 , z2 )，C ( x3 , y3 , z3 )共线
x2 x1 y2 y1 z2 z1 的充要条件是 . x3 x1 y3 y1 z3 z1
证明：AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ),
§1.2 标架与坐标 1. 标架，向量的坐标 空间中任意三个有序的不共面向量 e1, e2 , e3 , 称为空间中的一组基. 任意空间向量 r 可以用 e1 , e2 , e3 线性表示，
x, y,z
s.t.
r = xe1 + ye2 ze3 .
记作： r = x, y, z .
= (ae1 + a2e2 + a3e3 ) +(be1 + b2e2 + b3e3 )
= (a + b e1 + (a + b e2 + (a3 + b e3 ,
所以 a + b 的坐标是 (a + b, a2 + b2 , a3 + b3 ).
用同样的方法可证(2)与(3).
z2 z1 z3 z1 0 z4 z1
的充要条件是
y1 y2 y2 y4

z1 1 z2 1 0 z3 1 z4 1
行列式的加边法和 拉普拉斯展开式
四个点Ai (i 1,2,3,4)共面的充要条件是三个向量 证明：
A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 共面，然后根据命题 1.2.4得证.
有向线段的坐标：(终点坐标)－(起点坐标)
Ⅲ. 两向量共线、三向量共面的条件. 命题1.2.3 在仿射坐标系 O; e1 , e2 , e3 中, 两个非零向量 v1 (X1 ,Y1 , Z1 ), v2 (X 2 ,Y2 , Z2 ) 共线的充要条件是对应分量成比例
X 1 Y1 Z1 . X 2 Y2 Z 2
Ⅱ. 用向量的起点和终点的坐标表示向量的分量.
命题1.2.2 设向量 PP 的起点 P1 与终点 P2 的坐标分别为 1 2
(x1 ,y1 ,z1 ),(x2 ,y2 ,z2 ) ,则 PP 1 2 (x2 x1 ,y2 y1 ,z2 z1 ). 证明：PP 1 2 OP 2 OP 1 (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ).
P x, y, z OP xe1 ye2 ze3.
空间中取定一个标架后，空间中全体向量与全体 有序三实数组（x, y, z）的集合之间建立了一一对应关系。
仿射标架 O; e1 , e2 , e3 中, 有三个坐标轴，三个坐标平面，八个卦限. Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ

e3 e1oe2
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
将右手四指(大拇指除外)从 x 轴方向弯向 y 轴方向 ，
如果拇指所指的方向与z 轴方向在xoy平面同侧，则称此
坐标系为右手系; 否则e2 , e3都是单位向量，并且两两垂 直，则 O; e1 , e2 , e3 称为笛卡儿直角标架或笛卡儿直角坐 标系，简称为直角标架与直角坐标系.
(1) a + b = (a + b , a2 + b2 , a3 + b3 ),
(2) a b = (a b , a2 b2 , a3 b3 ),
(3) a = ( a , a2 , a3 ).
证明： (1) a + b = (a, a2 , a3 ) + (b, b2 , b3 )

Ⅳ. 线段的定比分点坐标.
命题1.2.5 在仿射坐标系 O; e1 , e2 , e3 中，已知点 A(x1 ,y1 ,z1 ) 与点 B(x2 ,y2 ,z2 ) ,那么分线段 AB成定比 1 的分点 P 的坐标是 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 x ,y ,z . 1+ 1+ 1+ OA+ OB 和向量 证明：根据定比分点公式 OP . 1+ 的坐标运算，可得
两种表示形式
x, y, z 称为向量 r 在基 e1, e2 , e3 下的坐标或分量.
定义1.2.1 空间中一个点O 和一组基 e1 , e2 , e3 合在一起 叫做空间的一个仿射标架或仿射坐标系，简称为标架，记 作 O; e1 , e2 , e3 ,其中O 称为原点，e1 , e2 , e3 叫做坐标向量. 空间中任意点 P 与向量 OP 一一对应, OP 叫做点 P 向径.
这是关于 , , 的齐次线性方程组.该方程组有非零解 的充要条件是系数行列式等于0，即得证.
推论1.2.2 四个点 Ai ( xi , yi , zi ), (i 1,2,3,4)共面
x2 x1 x3 x1 x4 x1
x1 或 x2 x2 x4

y2 y1 y3 y1 y4 y1