山东省高考数学一轮复习 试题选编10 三角函数的图像及性质 理 新人教A版

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编10：三角函数的图像及性质
一、选择题
1 ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理A ．）函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是
【答案】A
【解析】函数x x y sin =为偶函数,所以图象关于y 对称,所以排除 D ．当2
x π
=
时,02y π
=
>,排除
B ．当34
x π
=时,3sin 44422y πππππ===<,排除C,选A ．
2 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为
()g x ,则函数2()y x g x =的部分图象可以为.
【答案】C 'cos y x =,即()cos g x x =,所以2
2
()cos y x g x x x ==,为偶函数,图象关于y 轴对称,所
以排除A,
B ．当2
cos 0y x x ==,得0x =或,2
x k k Z π
π=
+∈,即函数过原点,所以选
C ． 3 ．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知a 是实数,则函数ax
a x f sin 1)(+=的图象不可能是
【答案】D 【解析】A 中,周期22T a
π
π=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,所有的图象有可能.B 周期22T a
π
π=
<,所以1a >,函数的最大值为12a +>,所以B 的图象有可能.C 中当0a =时,函数为()1f x =,所以C 的图象有可能.D 周期22T a
π
π=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,而
D 的图象中的最大值大于2,所以D 的图象不可能,综上选 D ． 4 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）函数π)0(sin ln <<=x x y 的大致图象是
【答案】C
5 ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））函数)
2ln(sin )(+=
x x
x f 的图象可能是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A ．
6 ．（2013山东高考数学（理））函数cos sin y x x x =+的图象大致为
【答案】 D 【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B, C ．当x π=时,()0f ππ=-<,排除A,选 D ．
7 ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）函数()2tan 22f x x
x ππ⎛⎫
=--
⎪⎝⎭
在，上的图象大致为
【答案】C 函数()2tan f x x x =-为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A, B ．当2
x π
→
时,0y <,所以排除D,选 C ．
8 ．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知函数4
sin(2)y x π=-,则其图象的下列结论中,正确的是
（ ）
A ．关于点()
8,1π-中心对称
B ．关于直线8x π=轴对称
C ．向左平移8π后得到奇函数
D ．向左平移8π后得到偶函数
【答案】C 【解析】对于A:sin(
2)sin 24
4y x x π
π⎛⎫
==-- ⎪⎝
⎭
-,其对称中心的纵坐标应为
0,故排除A;
对于B:当8x π=时,y=0,既不是最大值1,也不是最小值-1,故可排除B;对于C:sin(
2)sin 24
4y x x π
π⎛⎫==-- ⎪⎝
⎭
-,向左平移8
π
后得到: sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤
⎛
⎫=-+
-=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
为奇函数,正确;可排除
D ．故选 C ．
9 ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）函数x x
y sin 3
+=
的图象大致是
【答案】C
【 解析】函数()sin 3
x
y f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除
B ．当x →+∞时,0y >,排除
D ．1'()cos 3f x x =+,由1
'()cos 03
f x x =+=,得1cos 3x =-,所以函数()sin 3
x
y f x x ==+的极值有很多个,所以选
C ． 10．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）函数)22
sin(2x y -=π
是 （ ）
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为2π
的奇函数 D ．最小正周期为
2
π
的偶函数 【答案】B
11．（2011年高考（山东理））若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,
]3π
上单调递增,在区间[,]32
ππ
上单调递减,则ω= （ ）
A ．8
B ．2
C ．
3
2
D ．
23
【答案】解析:函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]2πω上单调递增,在区间3[,]22ππ
ωω
上单调递减, 则
23ππω=,即3
2
ω=,答案应选 C ． 另解1:令[2,2]()22x k k k ππωππ∈--∈Z 得函数()f x 在22[
,]22k k x ππππ
ωωωω∈-+为增函数,同理可得函数()f x 在223[,]22k k x ππππωωωω∈++为减函数,则当0,23k ππω==时符合题意,即3
2
ω=,答案应选
C ．
另解2:由题意可知当3
x π
=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值,则)03
f π
'
=,即cos
03
π
ωω=,
即
()3
2
k k π
π
ωπ=+
∈Z ,结合选择项即可得答案应选
C ．
另解3:由题意可知当3
x π
=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值,
则
2()32
k k ππ
ωπ=+∈Z ,36()2k k ω=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选 C ．
12．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的
图像关于直线3
π
=x 对称,它的最小正周期为π,则函数)(x f 图像的一个对称中心是 （ ）
A ．)0,12(π
B ．)1,3(π
C ．）
0,12
5(π
D ．）（0,12-π 【答案】A
13．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））设函数()sin(2)6
f x x π
=+
,则下列结论正确
的是
（ ）
A ．()f x 的图像关于直线3
x π
=
对称
B ．()f x 的图像关于点(
,0)6
π
对称
C ．()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12
π
上为增函数
D ．把()f x 的图像向右平移12
π
个单位,得到一个偶函数的图像
【答案】C
14．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））函数)2
sin(
sin x x y +=π
的最
小正周期是 （ ）
A ．
π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π
【答案】B
【解析】函数x x x x x y 2sin 2
1
cos sin )2
sin(
sin =
=+=π
,所以周期为π,选 B ．
15．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）当4
x π
=
时,函数
()()()s i n 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
是 （ ）
A ．奇函数且图像关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B ．偶函数且图像关于点(),0π对称
C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称
D ．偶函数且图像关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
【答案】C 当4
x π
=
时,函数()()()s i n 0f
x A x
A ϕ=+>取得最小值,即
2,4
2
k k Z π
π
ϕπ+=-
+∈,即32,4k k Z π
ϕπ=-+∈,所
以
()()3s
i n ()0
4
f
x A x
A
π
=->,
所以333()s i
n ()s i n 44
4y f x A x A x πππ=-=--=-,所以函数为奇函数且图像关于直线2
x π=对称,选
C ．
16．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）函数2cos ()4
y x π
=+
的图象沿x 轴向右平移a 个
单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为
（ ）
A ．π
B ．
34
π C ．
2
π
D ．
4
π
【答案】D 2
1cos(2)1sin 2112cos ()sin 242222
x x y x x π
π++-=+===-,函数向右平移a 个单位得到
函数为1111
sin 2()sin(22)2222y x a x a =--=--,要使函数的图象关于y 轴对称,则有
2,2a k k Z ππ-=+∈,即,42k a k Z ππ=--∈,所以当1k =-时,得a 的最下值为4
π,选 D ．
17．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））已知函数
()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2
x π
=
时,
()f x 取得最大值,则
（ ） A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数 B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数 C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数 D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数
【答案】A 【解析】由26T ππω=
=,所以13ω=,所以函数1
()2sin()3
f x x ϕ=+,当2x π=时,函数取得最大值,即
12322
k ππ
ϕπ⨯+=+,所以23k πϕπ=+,因为πϕπ-<≤,所以3πϕ=,1()2sin()33f x x π=+,由1222332k x k πππππ-+≤+≤+,得56622
k x k ππππ-+≤≤+,
函数的增区间为5[6,6]22k k ππ
ππ-
++,当0k =时,增区间为5[,]22ππ-,所以()f x 在区间[2,0]π-上是增函数,选A
18．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =
4π和x =54
π
是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ= （ ）
A ．
4
π
B ．
3
π C ．
2π D ．
34
π 【答案】A 【解析】由题意可知
5244T πππ=-=,所以函数的周期为2T π=.即22T ππω
==,所以1ω=,所以()s i n (f x x ϕ=+,所以由()s i n ()144f π
πϕ=+=,即242
k ππ
ϕπ+=+,所以
24
k π
ϕπ=
+,所以当0k =时,4
π
ϕ=
,所以选A ．
19．（山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学）设函数
()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛
⎫>< ⎪⎝
⎭的最小正周期为π,
且()()f x f x -=,则
（ ）
A ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
D ．()f x 在3,
44
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 【答案】A 【解析】因为()()(
)sin cos )4
f x x x x π
ωϕωϕωϕ=+++=++且函数的最小正周
期为π,所以2T π
πω=
=,所以2ω=,即函数(
))4
f x x π
ϕ=++,又函数()()f x f x -=,所
以函数为偶函数,所以,4
2
k k Z π
π
ϕπ+=
+∈,即,4
k k Z π
ϕπ=
+∈,因为||2
π
ϕ<
,所以当0
k =
时,4πϕ=
,所以()s i n (2)2s i 2
)2c o s 244
2
f
x x
x x ππ
π
=+++=,当02
x π
<
<
时,02x π<<,此时函数()2f x x =单调递减,选
（ ）
A ．
20．（山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中
0,2
A π
ϕ><
)的图象如图所示,则函数()f x 的解析式为
（ ）
A ．()sin(2)3
f x x π
=- B ．()sin(2)6
f x x π
=+ C ．()sin(2)3
f x x π
=+
D ．()sin(4)6
f x x π
=+
【答案】C
21．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知函数
①sin cos ,y x x =+②cos y x x =,则下列结论正确的是 （ ）
A ．两个函数的图象均关于点(,0)4
π
-
,成中心对称
B ．①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向右平移4
π
个单位即得② C ．两个函数在区间(-
4π,4
π
)上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C
22．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]
4
,3[π
π-
上单调递增,则ω的最大值等于 （ ）
A ．
3
2 B ．
23 C ．2 D ．3 【答案】B 因为函数在[,]44T T -上递增,所以要使函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4
,3[π
π-上单调递
增,则有34T π-≥-,即43T π≥,所以243T ππω=≥,解得32
ω≤,所以ω的最大值等于23
,选 B ．
二、填空题
23．（山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科)）函数）
（ππ
2,0),3
sin(
2∈-=x x y 的单调递增区间为______________
【答案】]61165[
ππ， 【解析】由)3sin(2)3sin(2ππ--=-=x x y 知当≤-≤+322πππx k π
π
k 223+即)(2611265Z k k x k ∈+≤≤+ππππ时,y 为增函数. )2,0(π∈x ,∴函数的增区间为]6
11,65[ππ.
24．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数
2()2sin ()3cos 21,,442f x x x x πππ⎡⎤
=+--∈
⎢⎥⎣⎦
,则)(x f 的最小值为_________.
【答案】1
【 解析】2()2sin (
)3cos 211cos 2()3cos 2144
f x x x x x π
π
=+--=-+--
cos(2)3cos 2sin 23cos 22sin(2)23
x x x x x ππ
=-+-=-=-
,因为
42x π
π
≤≤
,所以22633x πππ≤-≤
,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123
x π
≤-≤,所以
12sin(2)23
x π
≤-
≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.
25．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）函数sin(
)(0)2
y x π
ϕϕ=+>的部分图象如图所
示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,则tan APB ∠_______________.
【答案】2
-
函数的最大值是
1,周期242
T π
π
=
=,则14
T
AD =
=,3,1BD PD ==,则tan 1,tan 3,AD BD
APD BPD PD PD
∠=
=∠==所以tan tan()APB APD BPD ∠=∠+∠ tan tan 1321tan tan 113APD BPD APD BPD ∠+∠+===--∠⋅∠-⨯. 26．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设()y f t =是某港口水的深度y(米)关于
时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数sin()y h A x ωφ=++的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是_______. 【答案】 5.0 2.5sin
6
y t π
=+
由数据可知函数的周期12T =,又212T π
ω
==
,所以6
π
ω=
.函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即
7.5, 2.5h A h A +=-=,解得 5.0, 2.5h A ==,所以函数为() 5.0 2.5sin()6
y f x t π
φ==++,又
(3) 5.0 2.5sin(3)7.56y f πφ==+⨯+=,所以sin()cos 12
π
φφ+==,即2,k k Z φπ=∈,所以最能近
似表示表中数据间对应关系的函数是 5.0 2.5sin
6
y t π
=+.
27．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数()3sin(2)3
f x x π
=-
的图
象为C,关于函数()f x 及其图象的判断如下: ①图象C 关于直线112
x π
=对称; ②图象C 关于点2(
,0)3
π
对称; ③由3sin 2y x =得图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C; ④函数f(x)在区间(5,
1212ππ
-
)内是增函数;
⑤函数|()1|f x +的最小正周期为
2
π. 其中正确的结论序号是_________.(把你认为正确的结论序号都填上) 【答案】①②④ 三、解答题
28．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知函数
)
()4sin cos 03f x x x πωωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π.
⑴求)(x f 的解析式;
(2)求)(x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 【答案】解
()
4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππωωω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
22sin cos x x x ωωω=-
sin 2x x ωω=
2sin 23x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
2,12T ππωω
==∴=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=∴32sin 2)(πx x f
(2)46x ππ-≤≤,22633x πππ∴-≤+≤
1sin 2123x π⎛
⎫∴-≤+≤ ⎪⎝
⎭,即()12f x -≤≤,
当2,3
6
x π
π
+=-
即4
x π
=-
时,()min 1f x =-,
当2,3
2
x π
π
+
=
即12
x π
=
时,()max 2f x =
294月模拟检测数学理试题 ）已知函数
,并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值.
(3)已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3
(),f A = 2.b c +=求边a 的最小值.
(2)[,12x ππ∈∴当26x π+=ππ4min (3)2345)62sin(21)(=++=πA A f 21
)62sin(=+∴πA
），6136(62πππ∈+A 6562π
π=+∴A
3
π=∴A
∵b+c=2
∴1)2
(34343)(2
2
2
2
2
=+-≥-=-+=-+=c b bc bc c b bc c b a 当且仅当b=c 时取等号 ∴a 的最小值是1
30．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.
(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3
π
个单位,得)(x g y =的图象,求
x x g x F 323)()(-=
在
4π
=
x 处的切
线方程.
【答案】解:(Ⅰ)(1cos 2)()6
2)326
x f x x x π
+==++,
故f (x )的最小正周期π=T ,
由ππ
ππk x k 26
22≤+
≤+-
得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--
]12
,127[π
πππ (Ⅱ)由题意:()23cos[2()]323sin 2336
g x x x π
π
=-
++=+, x x
x
x g x F 2sin 323
)()(=
-=
, 2
'2sin 2cos 2)(x x
x x x F -=
, 因此切线斜率2'16
)4(π
π-==F k ,
切点坐标为)4
,4(π
π,
故所求切线方程为)4(1642π
π
π--=-x y ,
即08162
=-+ππy x 31．（山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题）已知函数
()()x x f x 23sin cos sin x 2424ππ⎛⎫⎛⎫
=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
(I)求()f x 的最小正周期;www. (Ⅱ)若将()f x 的图象按向量a =(6
π
,0)平移得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[]0,π上的最大值和最小值.
【答案】
32．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）已知向量)
(),0,0,sin a x b x =
=,
记函数()()22f x a b x =++.求:
(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合;
(II)函数()f x 的单调递增区间.
【答案】解:(Ⅰ)x x f 2sin 3)()(2++=b a
212cos 2cos 222x x x x =++=+ =2)6
π2sin(2++x , 当且仅当2
3ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时,()0f x =min , 此时x 的集合是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π| (Ⅱ)由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －,所以)(6
ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6
ππ,3ππ[Z ∈+k k k - 33．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知函数
ππ1()cos()cos()sin cos 334
f x x x x x =+--+ (1)求函数)(x f 的最小正周期和最大值;
(2)求函数()f x 单调递增区间
【答案】【解析】:(Ⅰ)
ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+
1111(cos )(cos )sin 2222224x x x x x =-+-+ 221311cos sin sin 24424
x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+
1(cos 2sin 2)2x x =-cos 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 函数)(x f 的最小正周期为 T π=,
函数)(x f 的最大值为
2
(II)由 222,4
k x k k z ππππ-≤+≤∈ 得 5,88
k x k k z ππππ-≤≤-∈ 函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈ 34．（山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知向量
21cos 213(sin ,sin ),(cos 22,2sin )22x m x x n x x x +=+=-,设函数 (),.f x m n x =⋅∈R
(I)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;
(Ⅱ)若[0,],()2x f x π∈求函数值域.
【答案】。