2018年山东省高考理科数学试题及答案

绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：
如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第Ⅰ卷（共50分）
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =
（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --
（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =
（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞
（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单
位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，
其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组
为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .
根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不
少于22.5小时的人数是
（A ）56 （B ）60
（C ）120 （D ）140
（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的
最大值是
（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A ）1233
+π（B ）1233+π（C ）1236+π（D ）216+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件学.科.网
（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是
（A ）2
π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=
13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94
（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12
x >
时，
11()()22
f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2
（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是
（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值
为________.
(12)若（a x 2+1x
）3的展开式中x 3的系数是—80，则实数a=_______. （13）已知双曲线E 1：22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.
（14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 .
（15）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m
≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，学.科网若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.
三、解答题：本答题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A
+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;
（Ⅱ）求cos C 的最小值.
17.在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线. （I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；
（II ）已知EF =FB =
12
AC =23AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.
（18）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）另1
(1).(2)
n n n n n a c b ++=+求数列{}n c 的前n 项和T n . （19）（本小题满分12分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。

已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。

各轮结果亦互不影响。

假设“星队”参加两轮活动，求：
（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX
(20)(本小题满分13分)
已知()221()ln ,x f x a x x a R x
-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）当1a =时，证明()3()'2
f x f x +
＞对于任意的[]1,2x ∈成立
（21）本小题满分14分） 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=＞＞ 的离心率是32
，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点。

（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，学科&网直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M.
（i ）求证：点M 在定直线上;
（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG 的面积为1S ，PDM 的面积为2S ，求
12
S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.
2018年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学试题参考答案
一、选择题
（1）【答案】B
（2）【答案】C
（3）【答案】D
（4）【答案】C
（5）【答案】C
（6）【答案】A
（7）【答案】B
（8）【答案】B
（9）【答案】D
（10）【答案】A
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（11）【答案】3
（12）【答案】-2
（13）【答案】2
（14）【答案】34
（15）【答案】(3,)+∞
三、解答题
（16）
解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+，
即()2sin sin sin A B A B +=+.
因为A B C π++=,
所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.
从而sin sin =2sin A B C +.
由正弦定理得2a b c +=.
()∏由()I 知2
a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab
+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立.
故 cos C 的最小值为12
. 考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.
（17）
（I ）证明：设FC 的中点为I ,连接,GI HI ,
在CEF △,因为G 是CE 的中点，所以,GI F //E
又,F E //OB 所以,GI //OB
在CFB △中，因为H 是FB 的中点，所以//HI BC ，
又HI GI I ⋂=,所以平面//GHI 平面ABC ，
因为GH ⊂平面GHI ，所以//GH 平面ABC .
（II ）解法一：
连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，
又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 由题意得(0,23,0)B ，(23,0,0)C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ， 所以223,FM FB BM =-= 可得(0,3,3)F 故(23,23,0),(0,3,3)BC BF =--=-.
设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量.
由0,0m BC m
BF
⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可得23230,330
x y y z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩ 可得平面BCF 的一个法向量3(1,1,),3
m =- 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n = 所以7cos ,7
||||m n m n m n ⋅<>==. 所以二面角F BC A --的余弦值为
77. 解法二：
连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ，
则有//'FM OO ,
又'OO ⊥平面ABC ，
所以FM ⊥平面ABC,
可得223,FM FB BM =-=
过点M 作MN BC 垂直于点N ，连接FN ，
可得FN BC ⊥,
从而FNM ∠为二面角F BC A --的平面角.
又AB BC =,AC 是圆O 的直径， 所以6sin 45,2
MN BM == 从而422FN =，可得7cos .7
FNM ∠= 所以二面角F BC A --的余弦值为
77. 考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
（18）
（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，
当
1=n 时，1111==S a ，
所以56+=n a n .
设数列{}n b 的公差为d ，
由⎩⎨⎧+=+=322
211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d b 321721111，可解得3,41==d b ， 所以13+=n b n . （Ⅱ）由（Ⅰ）知1
1(66)3(1)2(33)
n n n n n c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，
得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，
345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，
两式作差，得
234123[22222(1)2]
n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯ 22
4(21)3[4(1)2]21
32n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以223+⋅=n n n T
考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法
（19）
(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，
记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，
记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”. 由题意，.E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD =++++
由事件的独立性与互斥性，
()()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =++++
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P P A P B P C P D C P D =++++
323212323132=24343434343432.3
⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭= , 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23
. (Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性，得
()1111104343144
P X ==⨯⨯⨯= , ()31111211105124343434314472
P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭, ()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= , ()32111132134343434312
P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= , ()3231321260542=4343434314412
P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ , ()32321643434
P X ==⨯⨯⨯=. 可得随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 1144 572 25144 112 512
14 所以数学期望15251512301234614472144121246
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望
(20)
（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；
3232/
)1)(2(22)(x x ax x x x a a x f --=+--=. 当0≤a ， )1,0(∈x 时，0)(/
>x f ，)(x f 单调递增； /(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.
当0>a 时，/3(1)22()()()a x f x x x x a a -=+-.
（1）20<<a ，12>a
， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(
+∞a 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a
时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a
，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a 时，120<<
a ， 当)2,0(a
x ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)1,2(
a 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，
当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；
当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,
1(a 内单调递减，在),2(+∞a
内单调递增； 当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增； 当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a
内单调递减，在),1(+∞内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，
/22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+
23312ln 1x x x x x
=-++--，]2,1[∈x ， 令1213)(,ln )(32--+=
-=x x x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则)()()()(/x h x g x f x f +=-，
由01)(/≥-=x
x x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24326'()x x h x x
--+=， 设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，
因为10)2(,1)1(-==ϕϕ，
所以在]2,1[上存在0x 使得),1(0x x ∈ 时，)2,(,0)(0x x x ∈>ϕ时，0)(<x ϕ， 所以函数()h x 在),1(0x 上单调递增；在)2,(0x 上单调递减， 由于21)2(,1)1(==h h ，因此21)2()(=≥h x h ，
当且仅当2=x 取得等号， 所以23)2()1()()(/
=+>-h g x f x f ， 即2
3)()(/+>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 恒成立。

考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想.
（21） （Ⅰ）由题意知2
322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1=
=b a ， 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .
（Ⅱ）（i ）设)0)(2
,(2
>m m m P ，由y x 22=可得x y =/， 所以直线l 的斜率为m ，
因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即2
2
m mx y -=.
设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程2
22241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩
得014)14(4
322=-+-+m x m x m ， 由0>∆，得520+<<m 且1
4423
21+=+m m x x ， 因此1
42223
210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(222
0+-=m m y ， 因为m
x y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程⎪⎩
⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-， 即点M 在定直线4
1-=y 上. （ii ）由（i ）知直线l 方程为2
2
m mx y -=， 令0=x 得22m y -=，所以)2
,0(2
m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(4
1||2121+==m m m GF S ， )
14(8)12(||||2122
202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ，。