高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1数系的扩充与负数的引入5.1.1数的概念的扩展北师大版选修
高考数学考点回归总复习课件 数系的扩充与复数的引入
注意:(1)如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则,不能 比较大小.
(2)复数相等的条件是把虚数问题转化为实数问题的重要依据, 是虚数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.
2.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.x轴叫做实
轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上 的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数. 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数 集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也 是一一对应的.
(1 sin cos )2 (cos sin )2
2 sin2 cos2 2 1 sin2 2 .
4
故|
z1
z2
|的最大值为 3 ,最小值为 2
2.
技法二
数形结合思想
【典例2】 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值 为( )
A.1 B. 2 C.2 D. 5
答案:C
2.(2010·陕西)复数
z 在1复i i平面上对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 :因为z i i(1 i) 1 i 1 1 i,所以其对 1 i (1 i)(1 i) 11 2 2
应的点
1 2
,
1 2
位于第一象限, 故选A.
答案:A
3.(2010·湖北)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则
【典例1】 已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数 时,复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点 在第三象限?
2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1数的概念的扩展5.1.2复数的有
2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1数的概念的扩展5.1.2复数的有D1.复数的有关概念(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫作复数，其中a ，b ∈R ，i 叫作虚数单位.a 叫作复数的实部，b 叫作复数的虚部.②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z＝a ＋b i.(2)复数集①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集.②表示：通常用大写字母C 表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数a ＋b i ，a ，b ∈R⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数（a ＝0），非纯虚数（a ≠0）.(2)集合表示：判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数.( )(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数.( )(3)b i是纯虚数.( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√教材整理2 复数的有关概念“1.2复数的有关概念”以下阅读教材P100至P“练习”以上部分，完成下列问题.1011.两个复数相等a＋b i＝c＋d i当且仅当a＝c，且b＝d.2.复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)←―――一一对应复平面内的点Z (a ，b )；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)←――一一对应平面向量OZ →＝(a ，b ).3.复数的模设复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值分别为( )A.x ＝1，y ＝－1B.x ＝0，y ＝－1C.x ＝1，y ＝0D.x ＝0，y ＝0 【解析】 ∵(x ＋y )i ＝x －1，∴⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，∴x ＝1，y ＝－1.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]复数的概念与分类(1)若(－1)＋(＋3＋2)i是纯虚数，则实数x的值是( )A.－1B.1C.±1D.－1或－2(2)已知复数z ＝a ＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为________. (3)当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：①实数？②虚数？③纯虚数？【精彩点拨】 依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解.【自主解答】 (1)∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎨⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1.(2)∵z 是实数，∴a 2－1＝0，∴a ＝±1.【答案】 (1)B (2)±1(3)①当⎩⎨⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数.②当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数.③当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数.利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.[再练一题]1.复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是( )A.|a |＝|b |B.a <0且a ＝－bC.a >0且a ≠bD.a >0且a ＝±b 【解析】 要使复数z 为纯虚数，则⎩⎨⎧a 2－b 2＝0，a ＋|a |≠0，∴a >0，a ＝±b .故选D.【答案】 D复数相等(1)下列命题：①若a＋b i＝0，则a＝b＝0；②x＋y i＝2＋2i⇔x＝y＝2；③若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y ＝1.其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3(2)已知x，y∈R，(x＋2y－1)＋(x－3y＋4)i＝10－5i，求x，y.【精彩点拨】根据复数相等的充要条件求解.【自主解答】(1)命题①，②中未明确a，b，x，y是否为实数，从而a，x不一定为复数的实部，b，y不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y∈R，从而y2－1，－(y－1)是实数，根据复数相等的条件得⎩⎨⎧y 2－1＝0，－（y －1）＝0，∴y ＝1，故③正确. 【答案】 B(2)因为x ，y ∈R ，所以(x ＋2y －1)，(x －3y ＋4)是实数，所以由复数相等的条件得⎩⎨⎧x ＋2y －1＝10，x －3y ＋4＝－5，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝4.所以x ＝3，y ＝4.1.复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，其中a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1＝z 2⇔a ＝c 且b ＝d .2.复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：①等式两边整理为a ＋b i(a ，b ∈R)的形式；②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；③解方程组，求出相应的参数.[再练一题]2.(1)(2016·重庆高二检测)若(x －y )＋(2x －3)i ＝(3x ＋y )＋(x ＋2y )i(其中x ，y 为实数)，则x ＝________，y ＝________.(2)已知(2x ＋8y )＋(x －6y )i ＝14－13i ，则xy ＝________.【解析】 (1)由复数相等的意义得⎩⎨⎧x －y ＝3x ＋y ，2x －3＝x ＋2y ，所以⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.(2)由复数相等的意义，得⎩⎨⎧2x ＋8y ＝14，x －6y ＝－13，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.所以xy ＝－2.【答案】 (1)1 －1 (2)－2[探究共研型] 复数的几何意义探究1 若向量OZ1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，如何求OZ →1＋OZ →2对应的复数？【提示】 因为向量OZ1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ →1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5，4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.探究 2 若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R)在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？【提示】 a 满足⎩⎨⎧a ＋1＞0，a －1＜0，即－1＜a ＜1. (1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( )A.－ 3B.3iC.±3iD.± 3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小.【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解.(2)用求模的公式直接计算.【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.【答案】 D(2)因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ， 所以|z 1|＝62＋82＝10，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋（－2）2＝32. 因为10>32， 所以|z 1|>|z 2|.1.复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.2.计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算.3.两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.[再练一题]3.(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是________.(2)已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a 的取值范围.【解析】(1)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，所以OA→＝(4，3)，OB→＝(－2，－5)，又AB→＝OB→－OA→＝(－2，－5)－(4，3)＝(－6，－8)，所以向量AB→表示的复数是－6－8i.【答案】－6－8i(2)∵z＝3＋a i(a∈R)，|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<4，∴a2<7，∴a∈(－7，7).[构建·体系]数系的扩充和复数的概念—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—复数的概念—复数的分类—复数相等的充要条件—复数的几何意义—⎪⎪⎪⎪⎪—复平面的概念—复数的几何意义—复数的模1.给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3 【解析】 复数的平方不一定大于0，故①错误；2i －1的虚部为2，故②错误；2i 的实部是0，③正确，故选B.【答案】 B2.已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |等于( )A.5B.8C.6D.11【解析】|z|＝（2）2＋（－3）2＝11.【答案】 D3.下列命题正确的是__________(填序号).①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；②若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③实数集的补集是虚数集.【解析】①由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题.②当a＝0时，a i＝0为实数，故②为假命题.③由复数集的分类知，③正确，是真命题.【答案】 ③4.复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________.【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3. 【答案】 (3，＋∞)5.已知复数z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i ，则当实数m 为何值时，复数z(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.【解】 z ＝(m 2＋3m ＋2)＋(m 2－m －6)i.(1)令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2，即m＝3或m ＝－2时，z 为实数.(2)令m 2－m －6≠0，解得m ≠－2且m ≠3，所以m ≠－2且m ≠3时，z 是虚数.(3)由⎩⎨⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－m －6≠0，解得m ＝－1， 所以m ＝－1时，z 是纯虚数.我还有这些不足： (1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
高中数学选修课件第五章§数系的扩充与复数的引入
1 2 3
三角表示法的原理
将复数表示为模长和辐角的形式，利用三角函数 的性质和运算规则进行复数的运算。
三角表示法的应用
通过三角函数的加减、乘除、乘方等运算，可以 方便地进行复数的各种运算，特别适用于处理复 数的乘除和乘方运算。
三角表示法的优点
三角表示法在处理复数的乘除和乘方运算时具有 独特的优势，能够大大简化运算过程。
共轭复数概念及性质
共轭复数定义
若z=a+bi是一个复数，那么它的共轭复数是a-bi，记作z'或 z*。
共轭复数性质
两个共轭复数的和是它们实部的两倍；两个共轭复数的差是 它们虚部的两倍的虚数；一个复数与其共轭复数的乘积是该 复数的模的平方。
03
复数运算规则与技巧
加减运算规则及示例演练
01
02
03
示例演练
通过具体例题展示复数乘除运算的步骤和结果，强调运算过程中的 注意事项。
极坐标形式下的乘除运算
在极坐标形式下，复数的乘除运算可以转化为模长和辐角的运算， 简化计算过程。
乘方和开方运算简介
乘方运算定义
复数的乘方运算是指数与 复数的连续相乘。
开方运算定义
复数的开方运算是指求得 某个复数的平方根、立方 根等。
加减运算基本规则
实部与实部相加，虚部与 虚部相加；减法同理。
示例演练
通过具体例题展示复数加 减运算的步骤和结果，强 调运算过程中的注意事项 。
共轭复数的应用
在加减运算中，利用共轭 复数可以简化计算过程， 提高计算效率。
乘除运算规则及示例演练
乘除运算基本规则
乘法按照分配律展开，除法需通过乘以其共轭复数实现。
控制系统设计
在控制系统设计中，复数被用 于表示系统的传递函数、根轨 迹等特性，以便进行系统分析 和设计。
高中数学数系的扩充与复数的引入数系的扩充与负数的引入复数的有关概念
(1)当实数 x 满足 2
即-3<x<2 时,点 Z 位于第三象
-2-15 < 0,
限.
2 + -6 > 0,
(2)当实数 x 满足 2
-2-15 < 0,
即 2<x<5 时,点 Z 位于第四象限.
(3)当实数 x 满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即 3x+6=0,x=-2 时,点 Z
分析:复数a+bi(a,b∈R)表示的点为Z(a,b),根据点满足的条件列出关系式,
可求x的值.
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题型一
题型二
题型三
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型四
解:因为 x 是实数,所以 x2+x-6,x2-2x-15 也是实数.
题型二
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题型四
复数与复平面内的点
【例2】 当实数x取什么值时,复平面内表示复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i的
点Z:
(1)位于第三象限;
(2)位于第四象限;
(3)位于直线(zhíxiàn)x-y-3=0上.
由复数相等的充要条件,得
20 + = 0,
0 = 2,
= - 2,
或 0
= -2 2
= 2 2.
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入教材基础素材
§1 数系的扩充与复数的引入复数是16世纪人们在研究求解一元二次、三次方程的问题时引入的。
现在它已在数学、力学、电学以及其他科学里获得了广泛的应用。
复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,在初等数学范围内，它与平面解析几何、三角函数、指数和对数等也有密切的联系,为解决一些问题提供了方便。
高手支招1细品教材一、虚数单位i状元笔记i就是-1的一个平方根，-i是-1的另一个平方根。
1.我们把平方等于—1的数用i表示，规定i2=—1，其中的i叫做虚数单位.虚数单位的引入是为了使方程x2+1=0,即x2=—1有解,使实数的开方运算总可以实施(即让负数能开平方根），实数集的扩充就从引入平方等于—1的“新数”开始.2。
i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算仍然成立.i可以与实数进行四则混合运算，是扩充数集的原则之一，这里只提加、乘运算，不提减、除运算，并不是对减、除运算不成立，这和后面在讲复数的四则运算时，只对加法和乘法法则作出规定,而把减法、除法运算分别定义为加法、乘法的逆运算的做法一致的,即在四则运算中突出加、乘运算,这样处理更为科学、合理，分清了主次。
二、复数的概念1.复数与复数集我们把形如a+bi （a ，b ∈R )的数叫做复数.其中i 做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi ｜a,b ∈R ｝叫做复数集。
2。
复数的实部与虚部(1)复数通常用字母z 来表示，即z=a+bi （a,b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部,分别用Rez 与Imz 表示,即a=Rez,b=Imz 。
【示例】 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数,哪些是虚数，哪些是纯虚数.4,2-3i ，0，21-+34i,5+2i,6i 。
思路分析：要指出这些复数的实部与虚部,我们首先要弄清楚这些复数的完整形式,如2—3i 本身已是复数的完整形式,其实部与虚部一目了然,然而像4，6i 等形式简化的复数,在指出它们的实部与虚部时可先写出它们的完整的复数形式,如4=4+0i,那么,我们便马上得出4的实部是4，虚部为0;6i=0+6i ，则我们马上可知其实部是0，虚部是6。
高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 5.1.1 数的概念的扩展 5.1.2 复数的有关概念学业
2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1 数的概念的扩展5.1.2 复数的有关概念学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1 数的概念的扩展5.1.2 复数的有关概念学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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5.1.1 数的概念的扩展5。
1。
2 复数的有关概念(建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1.（2016·泰安高二检测)－(2－2i）的虚部是( )A.－2 B。
－错误!C. 2D.2【解析】∵－（2－错误!i)＝－2＋错误!i,∴其虚部是错误!。
【答案】C2.（2016·青岛高二检测）在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于（)A。
第一象限 B.第二象限C.第三象限D。
第四象限【解析】∵sin 2〉0,cos 2〈0，∴复数z对应的点（sin 2，cos 2）在第四象限。
故选D。
【答案】D3.（2016·肇庆高二检测)若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝( )A。
－2＋i B。
2＋iC。
1－2i D。
1＋2i【解析】由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1,故x＋y i＝2＋i。
5.1 数系的扩充与复数的引入 课件(北师大选修2-2)
一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量 OZ ＝ (a，b) 是一一对应的．
2．复数的模 设复数 z＝a＋bi(a， b∈R)在复平面内对应的点是 Z(a， b)，点 Z 到 原点的距离 |OZ|叫作复数 z 的模或绝对值， 记
a2＋b2 . 作|z|，显然，|z|＝
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条
答案：0或2
1 9．求复数 z1＝6＋8i 及 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的 2 模的大小．
1 解：∵z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i， 2 ∴|z1|＝ 62＋82＝10， |z2|＝
1 － 2＋－ 2
3 2 ＝ . 2
2
3 ∵10> ， 2 ∴|z1|>|z2|.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明 确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚 数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0. 2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对
应，可知复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和
平面向量 OZ 之间的关系可用图表示．
解析： 复数 z1， 2 对应的点分别为 Z1(1， 3)， 2(1， 3)， z Z － 关于 x 轴对称． 答案：A
6．已知平面直角坐标系中O是原点，向量 OA ，OB 对应 的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量 BA 的坐标是
( A．(－5,5) C．(5,5) B．(5，－5) D．(－5，－5) )
OB 对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2 解析：向量 OA ，
＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向
量 OA ＝(2，－3)， OB ＝(－3,2)．
高中数学数系的扩充与复数的引入数系的扩充与负数的引入数的概念的扩展
A.M∪R=I
C.∁IM∩R=R
B.∁IM∪R=I
D.M∩∁IR=I
答案:C
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)
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题型三
题型一
复数的概念
【例1】 请写出下列复数的实部和虚部,并指出它们是实数还是虚数,如果是
(6)0 的实部为 0,虚部为 0,它是实数.
反思(fǎn sī)当复数写成代数形式a+bi,且a,b∈R时,才可确定a是实部,b是
虚部.复数2+ai(a∈C)的虚部不一定是a,实部也不一定是2,复数ai也不一定是
虚数.
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HISHISHULI
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IANLITOUXI
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2.复数的分类
根据复数中实数a,b的取值不同,复数可以(kěyǐ)有以下的分类:
实数( = 0)
复数 a+bi
虚数( ≠ 0)
纯虚数( = 0)
非纯虚数( ≠ 0)
【做一做2】 设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则有(
部与虚部,并且分别用Re z与Im z表示,即a=Re z,b=Im z.
(4)复数集:复数的全体组成的集合叫作复数集,记作C,显然R⫋C.
【做一做1】 复数1-i的虚部是(
A.1
B.-1
(完整版)数系的扩充与复数的引入
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
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复数的概念
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复数的概念
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复数的概念
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复数的概念
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
2 7 , 0.618, 2 i, 0
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
数系的扩充
复数的概念
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复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
数系的扩充
复数的概念
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
满足 i2 1
数系的扩充
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1数系的扩充与复数的引入2222数学
未知数。
第十四页，共二十三页。
解：
x 2 3y
根据相等的意义得： 2x y 1
解方程可得：
x 1
y
1
复数相等 转化(zhuǎnhuà) 求方程组解的
的问题 (xiāngděng)
两个复数不能比较(bǐjiào)大小，但它们的模可以 比较大小。
第二十页，共二十三页。
小结 ： (xiǎojié)
＊ 复数(fùshù)定义：
形如 abi(a,bR的)数叫复数，a 叫复数的实部
Re z， b叫复数的虚部Im z。全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C表示。
＊ 复数 abi与实数、虚数、纯虚数及0的关系 ：
探索(tàn suǒ)
复数是由实数扩充得到的，那么(nà me)实数集的性 质和特点能不能推广到复数集呢？
实数的部分性质(xìngzhì)和特点：
(1) 实数可以判定相等或不相等； (2) 实数可以用数轴上的点表示； (3) 不相等的实数可以比较大小； (4) 实数可以进行四则运算； (5) 负实数不能进行开偶次方根运算；
数系的扩充(kuòchōng)和复数的引入
第一页，共二十三页。
复习(fùxí)回顾
数 自然数 系 的 整数 扩 充 有理数
实数
用图形(tú xíng)表示为：
QZ
N
R
(kuòchōng)
第二页，共二十三页。
ห้องสมุดไป่ตู้
新课引入
我们知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根。
即：在实数范围内， x2 1
《数系的扩充和复数的引入》教学设计
《数系的扩充和复数的引入》教学设计教材分析：《数系的扩充和复数的引入》是北师大版普通高中课程标准实验教科书选修2-2的第五章第一节的内容，主要包括数的概念的扩充，复数的相关概念。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识，也为进一步学习打下基础。
通过本节课的学习，要使学生了解熟悉扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
教学目标：1. 知识与技能：使学生体会数的概念是逐步发展的；了解引进复数的必要性；理解复数的基本概念。
2. 过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；3. 情感、态度与价值观：通过对复数的学习，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用；通过数系的扩充历程，使学生体会数学博大精深的文化魅力，激发学生学习数学的兴趣；培养学生勇于知疑问难,善于探索的学习习惯和良好的思维品质教学重点：复数的概念。
教学难点：虚数单位i的引入及复数的概念教学过程：【情景导入】通过人类生产生活的需要及数学内部矛盾的解决需要这两条线索，回顾数的扩充脉络，引入新的问题：在实数集中求方程x2+1=0 的解？启发学生类比前三次数系扩充的问题的解决，得到要解决这个问题可以引入一个新的数。
设计意图：采用观看视频的方式进行情景导入，紧扣主题，通过梳理数系的扩充历程，使学生体会熟悉扩充的必要性，了解熟悉扩充前后的联系，为后面的学习做好铺垫。
【概念形成】1、我们引入新数i，叫做“虚数单位”，并规定：（1）i2=-1;（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法运算律、乘法运算律仍然成立.2、复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数称为复数，通常表示为Z= a+bi(a,b∈R)其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.i称为虚数单位。
全体复数组成的集合叫复数集，通常用C表示。
【高中数学】数系的扩充与复数的引入
【高中数学】数系的扩充与复数的引入知识讲解1. 复数的有关概念 （1）复数的概念形如a+bi (a,b ∈R)的数叫做复数，其中a,b 分别是它的实部和虚部。
若b=0，则a+bi 为实数；若b≠0，则a+bi 为虚数；若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
{}{}虚数纯虚数⊂，{}{}{}实数虚数复数 ==C（2）复数相等：a+bi=c+di ⇔=⎧⎨=⎩a c b d(a,b,c,d ∈R).（3）共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔=⎧⎨=-⎩a c b d(a,b,c,d ∈R)两个重要命题：定理：复数是实数的充要条件是；1z z z =定理：复数是纯虚数的充要条件是（）200z z z z +=≠ （4）复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平面上的点来表示复数，一般的，可用Z (a,b) (a,b ∈R)表示复数a+bi (a,b ∈R)或用向量O Z表示复数a+bi.（5）复数的模向量O Z的模叫做复数z=a+bi 的模，记为|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=22a b +。
2、复数的几何意义（1）复数z=a+bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a,b) (a,b ∈R) （2）复数z=a+bi ←−−−→一一对应平面向量O Z(a,b ∈R) 3、复数的运算（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）加法：R d c b a i d b c a di c bi a ∈+++=+++,,,)()()()( 减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+ 乘法：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++除法：)())(())(()()(转化为乘法运算…=-+-+=++=+÷+di c di c di c bia dic bi a di c bi a ，简记为“分母实数化”。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1数系的扩充与复数的引入1222数学
i 引入一个新数：
满足 i2 1
第四页，共十六页。
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并
且规定 ： (guīdìng) （1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，
原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律) 仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做(jiàozuò)复数.
2、（2005年湖南卷）复数(fùshù)Z=i+i2+i3+i4的值是（ B ）
A、-１ B、0 C、1
Ｄ、i
3、（2009年福建卷）复数(fùshù)i2(1+i)的实部是__-_1_____。
第十四页，共十六页。
小结 : (xiǎojié)
1.虚数(xūshù)单位i的引入； 2.复数有关概念：
1、若x，y为实数(shìshù)，且
x2y2yi42i,
求x，y.
i 2、若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)
=0，求x的值.
第十三页，共十六页。
高考真题：
1、（2009年广东(guǎng dōng)卷）下列n的取值中，使 in =1 (i是虚数单位 的是（ C）
A、n=2 B、n=3 C、n=4 D、n=5
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般(yībān)用字母C表示 .
第五页，共十六页。
复数的代数(dàishù)形式：通常用字母 z 表示，即
zab(iaR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨论？ 复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数(fùshù)a+b虚 i 数 b0非 纯纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b00 第六页，共十六页。
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入51数系的扩充与复数的引入第27课时数的概念的扩展作业课件北师
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1数系的扩充与复数的引入第27 课时数的概念的扩展作业课件北师大版选修22
2021/4/17
高中数学第五章数系的扩充与复数的引入51数系的扩充与 复数的引入第27课时数的概念的扩展作业课件北师大版选
第五章 数系的扩充与复数的引入
§1 数系的扩充与复数的引入 第27课时 数的概念的扩展
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤)
12．(12 分)下列数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚 数？实部与虚部分别是什么？
1＋2i,3＋ 2，－32i,5－ 3i，－1＋isin32π，i2. 解：实数有 3＋ 2，i2； 虚数有 1＋2i，－32i,5－ 3i，－1＋isin32π； 纯虚数有－32i； 1＋2i 的实部为 1，虚部为 2；
x≠4 所以xx＝ >3－，1或x＝4，
x2－3x－3>0，
无解，
所以假设不成立．所以复数 z 不可能为纯虚数．源自 谢谢观赏！Thanks!
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
解析：由题设，知 3∈M，∴(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3， ∴mm22－ －35mm－ －16＝ ＝30 ，∴mm＝ ＝46或 或mm＝ ＝－ －11 ，∴m＝－1.
11．已知复数 z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且 z<0，则 k＝ 2.