《高等代数(二次型与线性空间部分)》

数学系05级《高等代数（二次型与线性空间部分）》
试题及答案
（2006年3月27日，满分：120分）
命题人：胡付高
一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）
１．若向量组12,,,s αααL 与向量组12,,,t βββL 都线性无关，则12,,,s αααL ,12,,,t βββL 也线性无关； （×）
2．n 维线性空间V 中任何n 个线性无关的向量都是V 的一组基； （√）
3．对n 维线性空间V 中任何非零向量α，在V 中一定存在1n -个向量121,,,n βββ-L ，使得 1121,,,,n αβββ-L 作成V 的一组基； （√）
4．三个子空间123,,V V V 的和123V V V ++为直和的充要条件是{}1230V V V ⋂⋂=； （×）
5．把复数域看成实数域R 上的线性空间，它与2R 是同构的； （√）
6．线性空间V 的两组基12,,,n αααL 到12,,,n βββL 的过渡矩阵是可逆的； （√）
7．V 的任意两个子空间的交12V V ⋂与并12V V ⋃都是V 的子空间； （×）
8．集合{}
,0n n W A A P A ⨯=∈=作成n n P ⨯的子空间； （×） 9．实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负； （×）
10．设n 元实二次型的正负惯性指数分别为,s t ，则必有s t n +≤． （√）
二、填空题（每小题2分，共20分）
1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂=123m m m +-．
2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是12dim dim V V =．
3．两个复对称矩阵合同的充分必要条件是 它们的秩相等 ．
4．设实二次型的秩为r ，负惯性指数为q ，符号差为m ，则r 、q 、m 的关系是2r m q =+．
5．22⨯级实对称矩阵的所有可能的规范型是：
001010101010,,,,000000010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
6．设基12,,,n αααL 到基12,,,n βββL 的过渡矩阵是A ，而基12,,,n βββL 到基12,,,n γγγL 的过渡矩阵是B ，则12,,,n γγγL 到12,,,n αααL 的过渡矩阵是11B A --．
7．已知,,αβγ为线性空间V 的三个线性无关的向量，则子空间(,)(,)L L αββγ+的维数为 3 ．
8．若1212dim()dim dim V V V V +=+，则12V V ⋂={}0．
9．设三维线性空间V 的基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，向量η在基123,,βββ下的坐标为(1,2,3)，在η在基123,,ααα下的坐标为(4,2,0)．
10．n 元实二次型2221212(,,,)(1)(2)()n n f x x x a x a x a n x =-+-++-L L 正定的充分必要条件是
常数a 满足a n >．
三、简述下列定义（共12分）
1．n 级矩阵A 、B 合同：如果存在可逆矩阵C ，使得'B C AC =
2．子空间的和12V V +={}12,1,2i i V i ααα+∈=
3．生成子空间123(,,)L ααα={}112233,1,2,3i k k k k P i ααα++∀∈=
4．子空间的直和：12V V +中每个向量α的分解式12ααα=+（,1,2i i V i α∈=）是唯一的．
四、（10分）设β可由12,,,r αααL 线性表出，但不能由121,,,r ααα-L 线性表出，证明：
121121(,,,,)(,,,,)r r r L L αααααααβ--=L L ．
证明 只需证明向量组{}121,,,,r r αααα-L 与{}121,,,,r αααβ-L 等价：易知{}121,,,,r αααβ-L 可由与{}121,,,,r r αααα-L 线性表示，另一方面，由于β可由12,,,r αααL 线性表出，故有 1122r r k k k βααα=+++L ，且0r k ≠，（否则β可121,,,r ααα-L 线性表出，矛盾），于是 11111r r r r r r
k k k k k αααβ--=----+L ，因而{}121,,,,r r αααα-L 可由{}121,,,,r αααβ-L 线性表出，故向量组{}121,,,,r r αααα-L 与{}121,,,,r αααβ-L 等价，最后不难得到结论．
五、（1）讨论：λ取什么值时，二次型2222123123()()x x x x x x λ++-++是正定的．
（2）证明当3λ=时，上述二次型是半正定的．（共14分）
解 （1）二次型可化为222123121323(1)(1)(1)222x x x x x x x x x λλλ-+-+----，它对应的矩阵是
111111111λλλ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭
由二次型是正定的⇔它的矩阵的所有顺序主子式全大于零，可得到10λ->，(2)0λλ->，2(3)0λλ->，它等价于3λ>，即二次型是正定的3λ⇔>．
（2）当3λ=时，二次型可化为222121323()()()0x x x x x x -+-+-≥，故二次型是半正定的．
注 对（2）还可以用求二次型标准型的方法得到结论，求得它的正惯性指数为2，负正惯性指数为0．
六、设A 、B 是两个固定的n 级矩阵，证明：
（1）{}
,n n W X X P AX XB ⨯=∈=是n n P ⨯的一个子空间； （2）当A B =是主对角元两两互异的对角矩阵时，W 是什么样的子空间，并求W 的维数及一组基（可以只写结果，不必说明理由）．（共14分）
解 （1）因为0W ∈，故W φ≠，对,X Y W ∀∈，即AX XB =，AY YB =，得
()()A X Y AX AY XB YB X Y B +=+=+=+，于是X Y W +∈，设k P ∈，又由
()()()()A kX k AX k XB kX B ===，得到kX W ∈，因此W n n P ⨯的一个子空间；
（2）W 是所有n 级对角矩阵作成的子空间，它的一组基可取为1122,,,nn E E E L ，dim W
n =．
七、设1(1,1,3,7)α=-，2(2,1,0,1)α=-，3(1,1,1,1)α=-，4(1,2,1,0)α=
（1）分别写出生成子空间12(,)L αα与34(,)L αα的基和维数；
（2）求1234(,,,)L αααα的一组基和维数；
（3）求1234(,)(,)L L αααα⋂的维数．（共15分）
解 （1）12,αα为12(,)L αα的一组基，34,αα为34(,)L αα的一组基，它们的维数都为2； （2）由12111211111201033011001471100000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u u u u u u u u u u r 初等行变换，1234(,,,)L αααα的一组基可取为
123,,ααα，故它的维数为3；
（3）注意到12341234(,)(,)(,,,)L L L αααααααα+=，由维数公式即得1234(,)(,)L L αααα⋂的维数=2231+-=．
八、补充题（共15分，本题得分可以计入总分）
设[]n P x 表示数域P 上次数小于n 的多项式及零多项式作成的线性空间，a P ∈．
（1）验证{}1()()0,()[]n V f x f a f x P x ==∈是[]n P x 的一个子空间；
（2）求1V 的一组基及维数；
（3）记2V P =，则2V 也是数域P 上的一个子空间，试证明：12[]n P x V V =⊕．
证明 （1）因为10V ∈，所以1V φ≠，设1(),()f x g x V ∈，k P ∈，则()0,()0f a g a ==，且()()[]n f x g x P x +∈，因此()()0f a g a +=，()0kf a =，故1()()f x g x V +∈，1()k f x V ∈，即1V 是[]n P x 的一个子空间；
（2）对()[]n f x P x ∀∈，()f x 一定可以表成形式
210121()()()()n n f x c c x a c x a c x a --=+-+-++-L （*）
若1()f x V ∈，则0()0f a c ==，即得21121()()()()n n f x c x a c x a c x a --=-+-++-L ，注意到
21(),(),,()n x a x a x a ----L 都属于1V ，且线性无关，它们构成了1V 的一组基，1dim 1V n =-；
（3）2V 是一个一维子空间，1为它的一组基，由（*）式即得12[]n P x V V ⊆+，故12[]n P x V V =+， 又1212dim()dim []dim dim n V V P x n V V +===+，故12[]n P x V V =⊕． 注 对（2）式也可以用数学分析中Taylor 公式()1()()()!
k n k k f a f x x a n ==-∑得到（*）；对（3）也可以设12()f x V V ∀∈⋂，则210121()1()()()n n f x c c x a c x a c x a --=⋅=-+-++-L ，比较两端次数得
0,0,1,2,,1i c i n ==-L ，即()0f x =，从而{}120V V ⋂=，即12V V +为直和．。