高中数学必修经典习题含答案

第三章经典习题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

满分150
分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷选择题共60分
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的
1．sin2错误!－cos2错误!的值为
A．－错误! B.错误!
C．－错误! D.错误!
答案C
解析原式＝－ cos2错误!－sin2错误!＝－cos错误!＝－错误!.
2．函数f x＝sin2x－cos2x的最小正周期是
A.错误!3 B．π
C．2π D．4π
答案B
解析f x＝sin2x－cos2x＝错误!sin 2x－错误! ,故T＝错误!＝π.
3．已知cosθ＝错误!,θ∈0,π ,则cos 错误!＋2θ＝
A．－错误!B．－错误!
C.错误!
D.错误!
答案C
解析cos 错误!＋2θ＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×错误!×错误!＝错误!.
4．若tanα＝3,tanβ＝错误!,则tan α－β等于
A．－3 B．－错误!
C．3 D.错误!
答案D
解析tan α－β＝错误!＝错误!＝错误!.
5．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是
A.错误!
B.错误!
C.错误!D．1＋错误!
答案A
解析原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋错误!sin30°＝错误!.
6．y＝cos2x－sin2x＋2sin x cos x的最小值是
A.错误!B．－错误!
C．2 D．－2
答案B
解析y＝cos2x＋sin2x＝错误!sin 2x＋错误! ,∴y max＝－错误!.
7．若tanα＝2,tan β－α＝3,则tan β－2α＝
A．－1 B．－错误!
C.错误!
D.错误!
答案D
解析tan β－2α＝tan β－α－α＝错误!＝错误!＝错误!.
8．已知点P cosα,sinα ,Q cosβ,sinβ ,则|错误!|的最大值是
A.错误!B．2
C．4 D.错误!
答案B
解析错误!＝ cosβ－cosα,sinβ－sinα ,则|错误!|＝错误!＝错误!,故|错误!|的最大值为2.
9．函数y＝错误!的最小正周期为
A．2π B．π
C.错误!
D.错误!
答案C
解析y＝错误!＝tan 2x＋错误! ,∴T＝错误!.
10．若函数f x＝sin2x－错误!x∈R ,则f x是
A．最小正周期为错误!的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
答案D
解析f x＝sin2x－错误!＝－错误! 1－2sin2x＝－错误!cos2x,∴f x的周期为π的偶函数．
11．y＝sin 2x－错误!－sin2x的一个单调递增区间是
A．－错误!,错误!B．错误!,错误!π
C．错误!π,错误!π D．错误!,错误!
答案B
解析y＝sin 2x－错误!－sin2x＝sin2x cos错误!－cos2x sin 错误!－sin2x＝－ sin2x cos错误!＋cos2x sin错误!＝－sin 2x＋错误! ,其增区间是函数y＝sin 2x＋错误!的减区间,即2kπ＋错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!,∴kπ＋错误!≤x≤kπ＋错误!,当k＝0时,x∈错误!,错误!．
12．已知sin α＋β＝错误!,sin α－β＝错误!,则log错误!
错误!2等于
A．2 B．3
C．4 D．5
答案C
解析由sin α＋β＝错误!,sin α－β＝错误!得错误!,∴错误!,
∴错误!＝5,
∴log错误!错误!2＝log错误!52＝4.
第Ⅱ卷非选择题共90分
二、填空题本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上
13． 1＋tan17° 1＋tan28° ＝________.
答案2
解析原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°,又tan 17°＋28° ＝错误!＝tan45°＝1,∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°,代入原式可得结果为2.
14．2012·全国高考江苏卷设α为锐角,若cos错误!＝错误!,则sin错误!的值为______．
答案错误!
解析∵α为锐角,∴错误!<α＋错误!<错误!,∵cos错误!＝错误!,∴sin错误!＝错误!；
∴sin错误!＝2sin错误!cos错误!＝错误!,
cos 2α＋错误!＝cos α＋错误!2－sin2α＋错误!＝错误!
∴sin错误!＝sin错误!＝sin错误!cos错误!－cos错误!sin错误!＝错误!.
15．已知cos2α＝错误!,则sin4α＋cos4α＝________.
答案错误!
解析cos2α＝2cos2α－1＝错误!得cos2α＝错误!,由cos2α＝1－2sin2α＝错误!得sin2α＝错误!或据sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝错误! ,代入计算可得．
16．设向量a＝错误!,sinθ ,b＝ cosθ,错误! ,其中θ∈ 0,错误! ,若a∥b,则θ＝________.
答案错误!
解析若a∥b,则sinθcosθ＝错误!,即2sinθcosθ＝1,∴sin2θ＝1,又θ∈ 0,错误! ,∴θ＝错误!.
三、解答题本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．本题满分10分已知cosα－sinα＝错误!错误!,且π<α<错误!π,求错误!的值．
解析因为cosα－sinα＝错误!,所以1－2sinαcosα＝错误!,所以2sinαcosα＝错误!.
又α∈π,错误! ,故sinα＋cosα＝－错误!＝－错误!,
所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!.
18．本题满分12分设x∈ 0,错误! ,求函数y＝cos 2x－错误!＋2sin x－错误!的最值．
解析y＝cos 2x－错误!＋2sin x－错误!
＝cos2 x－错误!＋2sin x－错误!
＝1－2sin2x－错误!＋2sin x－错误!＝－2 sin x－错误!－错误! 2＋错误!.
∵x∈ 0,错误! ,∴x－错误!∈－错误!,错误!．
∴sin x－错误!∈－错误!,错误! ,
∴y max＝错误!,y min＝－错误!.
19．本题满分12分已知tan2θ＝2tan2α＋1,求证：cos2θ＋sin2α＝0.
证明cos2θ＋sin2α＝错误!＋sin2α＝错误!＋sin2α＝错误!＋sin2α＝错误!＋sin2α＝错误!＋sin2α＝－sin2α＋sin2α＝0.
20．本题满分12分已知向量a＝ cos错误!,sin错误! ,b＝ cos 错误!,－sin错误! ,c＝错误!－1 ,其中x∈R.
1 当a⊥b时,求x值的集合；
2 求|a－c|的最大值．
解析 1 由a⊥b得a·b＝0,即cos错误!cos错误!－sin错误! sin错误!＝0,则cos2x＝0,得x＝错误!＋错误!k∈Z ,∴x值的集合是{x|x＝错误!＋错误!,k∈Z}．
2 |a－c|2＝ cos错误!－错误!2＋ sin错误!＋1 2
＝cos2错误!－2错误!cos错误!＋3＋sin2错误!＋2sin错误!＋1
＝5＋2sin错误!－2错误!cos错误!＝5＋4sin 错误!－错误! ,则|a－c|2的最大值为9.∴|a－c|的最大值为3.
21．设函数f x＝错误!cos 2x＋错误!＋sin2x
Ⅰ求函数f x的最小正周期；
Ⅱ设函数g x对任意x∈R,有g x＋错误!＝g x,且当x∈错误!时,g x＝错误!－f x；求函数g x在－π,0 上的解析式。

解析f x＝错误!cos 2x＋错误!＋sin2x＝错误!cos2x－错误! sin2x＋错误! 1－cos2x＝错误!－错误!sin2x
Ⅰ函数f x的最小正周期T＝错误!＝π
Ⅱ当x∈错误!时,g x＝错误!－f x＝错误!sin2x
当x∈错误!, x＋错误!∈错误!g x＝g x＋错误!＝错误!sin2 x＋错误!＝－错误!sin2x
当x∈错误!时,
x＋π ∈错误!g x＝g x＋π ＝错误!sin2 x＋π ＝错误!sin2x 得：函数g x在－π,0 上的解析式为g x＝错误!
22．本题满分12分已知函数f x＝ 1－tan x· 1＋错误!sin 2x ＋错误! ,求：
1 函数f x的定义域和值域；
2 写出函数f x的单调递增区间．
解析f x＝1－错误!1＋错误!sin2x cos错误!＋错误! cos2x sin错误!＝ 1－错误! 2sin x cos x＋2cos2x＝2 cos x－sin x cos x＋sin x＝2 cos2x－sin2x＝2cos2x.
1 函数f x的定义域{x|x≠kπ＋错误!,k∈Z}．
∵2x≠2kπ＋π,k∈Z,∴2cos2x≠－2.
∴函数的值域为－2,2
2 令2kπ－π<2x≤2kπ k∈Z得kπ－错误!<x≤kπ k∈Z．
∴函数f x的单调递增区间是kπ－错误!,kπ k∈Z．。