专题06 第二章 复习与检测(核心素养练习)(解析版)

专题六 第二章 复习与检测 核心素养练习
一、核心素养聚焦
考点一 数学运算-解一元二次不等式 例题7、解不等式x 2－5x ＋6>0； 【答案】{x |x >3，或x <2}
【解析】方程x 2－5x ＋6＝0有两个不等实数根x 1＝2，x 2＝3，又因为函数y ＝x 2－5x ＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x 轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x |x >3，或x <2}． 考点二----- 数学建模-基本不等式的应用
例题8.某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
【解析】设使用x 年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．
因此，汽车使用x 年总的维修费用为0.2＋0.2x
2x 万元．
设汽车的年平均费用为y 万元，则有
y ＝10＋0.9x ＋0.2＋0.2x
2x
x ＝10＋x ＋0.1x 2x ＝1＋10x ＋x
10≥1＋2
10x ·x
10
＝3. 当且仅当10x ＝x
10，即x ＝10时，y 取最小值．
即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．
二、学业质量测评
一、选择题
1．（2018·全国高一专题练习（理））若0a b <<，则下列不等式错误的是（ ） A ．
11
a b
> B ．
11
a b a
>- C ．a b >
D ．22a b >
【答案】B
【解析】∵0a b <<，∴
11
a b
>，故A 对； ∵0a b <<，∴0b <-，0a a b <-<，∴
11a a b
>-，故B 错； ∵0a b <<，∴0a b ->->，即||||a b ->-，∴||||a b >，故C 对； ∵0a b <<，∴0a b ->->，∴2
2
()()a b ->-，即22a b >，故D 对； 故选B ．
2．（2019·全国高一课时练习）不等式()
20x x ->的解集（ ) A.{}
0x x B. {|2}x x < C. {20}x x x <或 D.{|02}x x <<
【答案】D
【解析】()20x x ->，如果展开，其二次项系数为负，对应抛物线开口向下，大于0解集为“两根之间”，故解集为{|02}x x <<，所以正确选项为D 。

3．（2019·全国高一课时练习）若关于x 的不等式20mx ->的解集是{|2}x x >，则实数m 等于（ ） A.－1 B.－2 C.1 D.2
【答案】C
【解析】由题意不等式20mx ->的解集是{|2}x x >，
所以方程20mx -=的解是2，则220m -=，解得1m =，故选C. 4．（2019·全国高一课时练习）已知实数01a <<，则（ ) A.2
1
a a a a
>
>>- B.2
1
a a a a
>>
>- C.2
1 a a a a
>>>- D.2
1 a a a a
>>>-
【答案】C 【解析】
01a <<，201a ∴<<，
1
1a
>，10a -<<， 由于01a <<，在不等式上同时乘以a 得20a a <<，因此，21
a a a a
>>>-，故选：A. 5．（2019·全国高一课时练习）正实数,x y ，满足
11
2x y
+=，则2x y +的( )
A ．最小值为
3
2
B ．最大值为
3
2
+
C ．最小值为3+
D ．最大值为3+
【答案】A
【解析】()(111121
2233222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=
++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
所以2x y +的最小值为3
2
故选:A.
6．（2019·全国高一课时练习）函数233
(1)1
x x y x x ++=>-+的最小值为 （ ）
A.3
B.2
C.1?
D.1-
【答案】A
【解析】1x >-，则10x +>，()()()2
2111331113111
x x x x y x x x x ++++++===+++≥+++，当0x =时取“=”，所以正确选项为A 。

7．（2019·全国高一课时练习）“0a >”是“一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立”的( ) A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立，则0a >且240b ac =-<，
反之，0a >时，如：2320x x ++>不恒成立， 故选:B.
8．（2019·全国高一课时练习）不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．［－4，4］ B ．（－4，4）
C ．（－∞，－4］∪［4，＋∞）
D ．（－∞，－4）∪（4，＋∞） 【答案】D
【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4，故选D.
9．（2018·全国高二单元测试）若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则,a b 的值为（ ）
A ．8,10a b =-=-
B ．4,9a b =-=-
C ．1,9a b =-=
D ．1,2a b =-=
【答案】B 【解析】
根据题意可得|8x ＋9|<7⇒－2<x<
，
故由{x|－2<x<}是不等式ax 2＋bx>2的解集可知x 1＝－2，x 2＝
是一元二次方程ax 2＋bx －2＝0的两根，根据根与系数的关系可知x 1x 2＝＝⇒a ＝－4，x 1＋x 2
＝＝⇒b ＝－9，故选B.
10．（2018·全国高一专题练习（理））已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |1
4
x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x ＜4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x ＜－1} D ．{x |－1≤x ≤3}
【答案】D 【解析】
依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.
11．（2014·全国高三专题练习（理）)63a -≤≤的最大值为（ ）
A.9
B.
9
2
C.3
D.
2
【答案】B
【解析】因为63a -≤≤，所以30,60a a ->+>
369
22
a a -++≤=
当且仅当36a a -=+，即3
2
a =-时，等号成立， 故选B.
12．（2017·全国高三专题练习）当1x >时，不等式1
1
x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞
C ．[3,)+∞
D ．(,3]-∞
【答案】D 【解析】
当1x >时，不等式11`x a x +
≥-恒成立，1
1`
a x x ∴≤+-对一切非零实数1x >均成立，
由于11
112131`1`
x x x x +
=-++≥+=-- 当且仅当2x =时取等号，故1
1`
x x +-的最小值等于33a ∴≤
则实数a 的取值范围为](
3-∞，
故答案选D 二、填空题
13．（2014·全国高三专题练习（文））已知a>b,a -1
a >
b -1b
同时成立,则ab 应满足的条件是 . 【答案】ab&gt;0或ab&lt;-1 【解析】 ((a -
1
a )-(
b -1b )=()()1a b ab ab
-+>0, 由a>b 知
1
ab ab
+>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab>0或ab<-1. 14．（2014·全国高三专题练习（文））已知a ＞b ＞0，给出下列四个不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b －
1；
；④a 3＋b 3＞2a 2b .其中一定成立的不等式序号为________． 【答案】①②③ 【解析】
因为a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2，故①正确；a ＞b ＞0⇒a ＞b －1⇒2a ＞2b －
1，故②正确；因为a ＞b ＞0⇒ab ＞b 2
＞0b ＞0，而2－)2＝a －b －a －b ＋b )＞0，所以③正确；因为当a ＝3，b ＝2时，a 3＋b 3＝35＜2a 2b ＝36，故④不正确． 15．（2019·北京高三专题练习（理））已知0,0,236a b a b >>+=，则32
a b
+的最小值为____________． 【答案】4 【解析】
236a b +=，
()3213219412366124666b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛
⎫∴+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当323b a ==时取等号，
32
a b
∴+的最小值为4，故答案为4. 16．（2017·上海中学高一期中）关于x 的不等式210x kx k -+-<，当(1,2)x ∈时恒成立，则实数k
的取值范围是____ 【答案】[
)3,+∞
【解析】由210x kx k -+-<得：()2
11x k x -<-
当()1,2x ∈时，10x -> 21
11
x k x x -∴>=+-
又()12,3x +∈ 3k ∴≥，即k 的取值范围为[
)3,+∞ 三、解答题
17．（2011·山东高二期中）已知,0p R a b ∈>>,比较下列各题中两个代数式值的大小： （1）(2 +1)(3)p p -与(6)(+3)+10p p -；
（2）2222
a b a b
-+与a b a b -+． 【答案】（1）(2 +1)(3)p p ->(6)(+3)+10p p -；（2）2222
a b a b
->+a b
a b -+． 【解析】(1) 因为2
(21)(3){(6)(3)10}25p p p p p p +---++=-+
2(1)40,{21)(3(6)(3)10p p p p p =-+>+->-++∴.
(2)(
)
()(
){()
()
2222222222
222
22()()()()}()()
a b a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b -+--+-+-+---==++++++()
22
2()
()ab a b a b a b -=
++ 0a b >>2220,
0,0,0ab a b a b a b ∴>->+>+>
得()222()0()ab a b a b a b ->++，所以2222a b a b a b a b
-->++. 18．（2019·西藏拉萨市北京实验中学高二期中）解下列不等式 （1）253140x x -++≤； （2）()()5239x x -+>. 【答案】（1）[)7,2,5
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
；（2）32,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
【解析】（1）令253140x x -++=，解得7
5
x =-或2x =，所以253140x x -++≤的解集为
[)7,2,5⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦；
（2）由题意，()()2
5239260x x x x -+>⇔+-<， 令2260x x +-=，解得32
x =
或2x =-，所以2260x x +-<的解集为32,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭，
即()()5239x x -+>的解集为32,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
19．（2019·随州市曾都区第一中学高一期中）已知函数2()(2)4()f x x a x a R =-++∈ （1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-；
（2）若对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）4a ≤ 【解析】（Ⅰ）
()24f x a ≤-+ 即()2
220x a x a -++≤，
∴ ()20x a x （）--≤，
（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}
2x x =； （ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}
2x x a ≤≤，
综上所述，（ⅰ）当2a <时，不等式解集为{}
2x a x ≤≤； （ⅱ）当2a =时，不等式解集为{}2；
（ⅲ）当2a >时，不等式解集为{}
2x x a ≤≤ .
（Ⅱ）对任意的[]
()1
410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]
1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.
①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；
②当](1,4x ∈时，2254
111
x x a x x x -+≤=-+
--，
14x <≤，∴ 013x <-≤ ，∴ 4
141
x x -+≥=-， 当且仅当4
11
x x -=
-时，即12x -=，3x =时取“=”,4a ∴≤ .
综上4a ≤ .
20．（2019·陕西高二期中（理））（1）设0x ≥，求函数(2)(3)
1
x x y x ++=+的最小值.
（2）解不等式：
21
12
x x +≥-
【答案】（1）3（2）(]
(),32,-∞-⋃+∞ 【解析】（1）由题意，设1t x =+()1t ≥，则1x t =-，
则(2)(3)1x x y x ++=+()()12t t t ++=232t t t ++=
2
3t t =++3≥，
当2
t t
=
时，即t =时，即1x =时取等号，
所以函数(2)(3)
1x x y x ++=+的最小值为3.
（2）由不等式
2112x x +≥-，可得213
1022
x x x x ++-=≥--，解得3x ≤-或2x >， 所以不等式的解集为(]
(),32,-∞-⋃+∞.
21．（2019·湖北高一期中）如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地（图中ABCD ）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，EFCD 为正方形，设AB x =米，已知围墙（包括EF ）的修建费用均为每米800元，设围墙（包括EF ）的修建总费用为y 元．
（1）求出y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围；
（2）当x 为何值时，围墙（包括EF ）的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值． 【答案】（1）400
2400()y x x
=+(0106)x <<；（2）当为20米时，最小．的最小值为96000元．
【解析】（1）设AD t =米，则由题意得600xt =，且t x >2分
故600
t x x
=
>，可得0x <<分
（说明：若缺少“0x <<扣2分）
则600400
800(32)800(32)2400()y x t x x x x
=+=+⨯
=+， 6分 所以关于的函数解析式为400
2400()y x x
=+(0106)x <<． 7分
（2）4002400()240096000y x x =+≥⨯=， 10分 当且仅当400
x x
=
，即20x 时等号成立． 12分
故当为20米时，最小．的最小值为96000元． 14分
22．（2018·山东师范大学附中高二期中）已知函数245
()1
x x f x x -+=-．
（1）求不等式()1f x ≥的解集；
（2）当x ∈（1，+∞）时，求()f x 的最小值及相应x 的值．
【答案】（1）（1，2]∪[3，+∞）（2）()f x 的最小值为2，此时1x =+
【解析】（1）因为()1f x ≥，所以24511
x x x -+≥-，
所以
()()2301
x x x --≥-，
解得：1＜x≤2或x≥3，
故不等式()1f x ≥的解集为：（1，2]∪[3，+∞） （2）当x ∈（1，+∞）时，令x -1=t ，则t ＞0，
则245221x x t x t
-+=+--，
又当t ＞0时，2222t t +
-≥=，
当且仅当2t t =即t =即1x =
故()f x 的最小值为2，此时1x =+。