2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练(十五)含解析

课时达标训练（十五）
［即时达标对点练]
题组1 利用导数公式求函数的导数
1．给出下列结论：
①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin π3′＝cos 错误!;③若y ＝错误!,则y ′＝－错误!；④错误!′＝错误! .
其中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知f (x ）＝x α(α∈Q *)，若f ′（1)＝错误!，则α等于（ ）
A.错误!
B.错误!
C.错误! D 。

错误!
题组2 利用导数的运算法则求导数
3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )
A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x
B ．y ′＝cos 2x －sin 2x
C ．y ′＝2cos x ·sin x
D ．y ′＝cos x ·sin x
4．函数y ＝错误!的导数为________．
5．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈（0，＋∞），其中a 为实数,f ′(x )为f (x ）的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．
6．求下列函数的导数．
（1）y ＝sin x －2x 2；（2)y ＝cos x ·ln x ；（3）y ＝错误!.
题组3 利用导数公式研究曲线的切线问题
7．曲线y＝x e x＋2x＋1在点（0，1)处的切线方程为________．8．若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝错误!处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．
9．已知函数f（x）＝ax3＋x＋1的图象在点（1，f(1)）处的切线过点（2，7），则a＝________．
10．在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．
［能力提升综合练］
1．f0(x）＝sin x，f1（x)＝f′0（x),f2（x)＝f′1（x)，…，f n＋1（x）＝f′n(x),n∈N，则f2 017（x）＝( )
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
2．已知曲线y＝错误!－3ln x的一条切线的斜率为错误!，则切点的横坐标为（)
A．3 B．2 C．1 D.错误!
3．曲线y＝错误!－错误!在点M错误!处的切线的斜率为( )
A．－错误! B.错误!C．－错误!D。

错误!
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1 B．±1 C．－1 D．－2
5．已知函数f(x)＝f′错误!cos x＋sin x，则f错误!＝________．
6．设f（x)＝x（x＋1)（x＋2）…(x＋n),则f′(0)＝________．7．已知曲线y＝x＋ln x在点（1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a ＋2)x＋1相切，则a＝________．
8．设f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′（x）满足f′（1)＝2a,f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R。

求曲线y＝f（x）在点(1，f(1)）处的切线方程．
9．已知两条直线y＝sin x，y＝cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
答案
即时达标对点练
1。

解析：选B 因为（cos x)′＝－sin x,所以①错误．sin 错误!＝错误!,而错误!′＝0，所以②错误。

错误!′＝错误!＝错误!＝错误!，所以③错误。

错误!′＝－错误!＝错误!＝错误!x－错误!＝错误!，所以④正确．
2. 解析：选D ∵f(x）＝xα，
∴f′(x)＝αxα－1.
∴f′(1）＝α＝错误!.
3. 解析：选B y′＝（sin x·cos x）′＝cos x·cos x＋sin x·（－sin x)＝cos2x－sin2x。

4。

解析：y′＝错误!′＝错误!
＝错误!＝错误!。

答案：错误!
5. 解析:f′(x)＝a错误!＝a（1＋ln x)．
由于f′（1）＝a（1＋ln 1）＝a，又f′（1)＝3,所以a＝3.
答案：3
6。

解：(1)y′＝（sin x－2x2）′＝（sin x）′－(2x2）′
＝cos x－4x.
(2)y′＝(cos x·ln x)′
＝(cos x）′·ln x＋cos x·（ln x）′
＝－sin x·ln x＋错误!.
(3)y′＝错误!′
＝错误!
＝e x·sin x－e x·cos x
sin2x
＝错误!.
7. 解析：y′＝e x＋x e x＋2，则曲线在点（0,1）处的切线的斜率
为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1。

答案:y＝3x＋1
8. 解析：因为f′（x)＝sin x＋x cos x，所以f′错误!＝sin 错误!＋错误! cos 错误!＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－错误!，所以根据题意得1×错误!＝－1，解得a＝2。

答案：2
9。

解析:∵f′(x）＝3ax2＋1，
∴f′（1)＝3a＋1.
又f(1）＝a＋2，
∴切线方程为y－（a＋2)＝(3a＋1)(x－1）．
∵切线过点(2,7),∴7－（a＋2)＝3a＋1,解得a＝1.
答案：1
10。

解:设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10,所以3x错误!－10＝2，解得x0＝±2。

又点P在第一象限内,所以x0＝2,又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为（2，1）．
能力提升综合练
1. 解析：选C 因为f1(x)＝(sin x）′＝cos x,f2（x)＝（cos x）′＝－sin x，f3（x)＝（－sin x）′＝－cos x,f4（x）＝(－cos x)′＝sin x，f5(x）＝（sin x)′＝cos x,所以循环周期为4，因此f2 017（x）＝f1(x）
＝cos x.
2。

解析：选A 因为y′＝错误!－错误!，所以根据导数的几何意义可知，错误!－错误!＝错误!，解得x＝3（x＝－2不合题意，舍去)．
3. 解析：选B y′＝错误!
＝错误!,把x＝错误!代入得导数值为错误!,即为所求切线的斜率．
4。

解析：选A 设切点为（x0,y0），则y0＝3x0＋1，且y0＝ax3，0＋3，所以3x0＋1＝ax错误!＋3…①。

对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax20＝3，ax2，0＝1…②,由①②可得x0＝1，所以a＝1.
5。

解析：∵f′（x）＝－f′错误!sin x＋cos x，
∴f′错误!＝－f′错误!×错误!＋错误!，
得f′错误!＝错误!－1。

∴f(x）＝(2－1）cos x＋sin x.
∴f错误!＝1。

答案：1
6。

解析：令g(x）＝(x＋1）(x＋2）…（x＋n），
则f(x)＝xg（x),
求导得f′（x)＝x′g(x）＋xg′(x）＝g(x)＋xg′（x)，
所以f′（0)＝g(0）＋0×g′(0）＝g（0)＝1×2×3×…×n。

答案：1×2×3×…×n
7. 解析：法一：∵y＝x＋ln x，
∴y′＝1＋错误!，y′错误!x＝1＝2。

∴曲线y＝x＋ln x在点（1，1）处的切线方程为y－1＝2（x－1)，
即y＝2x－1。

∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2）x＋1相切,
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行）．
由错误!消去y，得ax2＋ax＋2＝0。

由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2）x＋1相切于点（x0，ax错误!＋（a＋2）x0＋1）．
∵y′＝2ax＋（a＋2)，
∴y′错误!x＝x0＝2ax0＋（a＋2）．
由错误!
解得错误!
答案：8
8. 解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1,所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b。

令x＝1,得f′(1）＝3＋2a＋b，又f′（1)＝2a，3＋2a＋b＝2a，
解得b＝－3，令x＝2得f′（2）＝12＋4a＋b，
又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－错误!。

则f(x）＝x3－错误!x2－3x＋1，从而f(1）＝－错误!。

又f′(1)＝2×错误!＝－3，所以曲线y＝f（x)在点（1，f(1)）处的切线方程为y－错误!＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0。

9。

解：不存在．由于y＝sin x，y＝cos x,设两条曲线的一个公共点为P(x0,y0）,所以两条曲线在P（x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′错误! x＝x0＝cos x0,k2＝y′错误!x＝x0＝－sin x0。

若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·（－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是
sin 2x0＝2，这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。