最新港澳台华侨生联考：数学二轮复习：综合练习4(含答案)

bn n 1
3
6 b2 .
1 1 n N 。记数列 cn 的前 n 项和为 S n . an bn


（i）求 S n ；（ii）求正整数 k ，使得对任意 n N ，均有 S k S n ． 解：（I）由题意， a1a2 an

2 n N ， b b
Ａ． x | 0 x 1
5. 设 a，b 是非零向量，若函数 f ( x ) ( xa b) ( a xb) 的图象是一条直线，则必有（ A． a ⊥ b B． a ∥ b C． | a || b | D． | a || b | ）A
6. 将 5 本不同的书全发给 4 名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ A．
1 24
B． 2
1 29
C． 2
1 210
1 ，则该数列的前 10 项和为（ 8 1 D． 2 11 2
）B
4. 设 P 和 Q 是两个集合， 定义集合 P Q x | x P，且x Q ， 如果 P x | log 2 x 1 ， 那么 P Q Q x | x 2 1 ， 等于（ ）B Ｂ． x | 0 x ≤1 Ｃ． x |1 ≤ x 2 Ｄ． x | 2 ≤ x 3 ）A
2
5π 6
6 5 5
17. 用 x 1 除多项式 p x 的余式为 2， 用 x 2 除多项式 p x 的余式为 1， 则用 x 3x 2 除多项式 p x
的余式为____________. x 3
18. 平面 ax by z 1 0 与 x 2 y z 3 0 互相垂直， 且其交线经过点 1, 1, 2 ， 则 a b __________
即有 b 当 t (1 3ln t ) 0 ，即 0 t e 时， h(t ) 0 ； 当 t (1 3ln t ) 0 ，即 t e 3 时， h(t ) 0 ．
1 1 3 故 h(t ) 在 0，e 为增函数，在 e 3， ∞ 为减函数， 1 1 3
（II）（i）由（I）知， cn
1 1 1 1 1 1 1 n (n N ) ； n (n N ) ，所以 S n n 1 2 an bn 2 n n 1 n n 1 1 1 ，而 n n 1 2 n
π π
， 4) ． ∴ m f ( x ) max 2 且 m f ( x ) min 2 ，∴1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (1
20. 已知数列 an 和 bn 满足 a1a2 an （1）求 an 与 bn ； （2）设 cn
2 n N .若 a 为等比数列，且 a 2, b

1 3
三、计算题 1. 已知函数 f ( x ) 2sin
2
π π π x 3 cos 2 x ， x ， ． 4 4 2
（I）求 f ( x ) 的最大值和最小值； （II）若不等式 f ( x ) m 2 在 x ， 上恒成立，求实数 m 的取值范围． 4 2 北京博飞华侨港澳台学校
2
π π
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解：（Ⅰ）∵ f ( x ) 1 cos

π π 2 x 3 cos 2 x 1 sin 2 x 3 cos 2 x 1 2sin 2 x ． 3 2 π 2π π
B．2
的图象和函数 g ( x ) log 2 x 的图象的交点个数是（ C．3 D．4
）C
10．设 F1，F2 分别是椭圆
x2 y2 1 （ a b 0 ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 P, 使线段 PF1 的中垂线 a 2 b2
1
北京3 n n 1
2
6 ，知 a3
2
b3 b2
8，
n
又由 a1 2 ，得公比 q 2 （ q 2 舍去），所以数列 an 的通项公式为 an 2 (n N ) ， 所以 a1a2 a3 a n 2
n n 1 2

2
，故数列 bn 的通项公式为， bn n n 1 (n N ) ；
2n 1 2n 1 2n 25
0 ，综上对任意
n N 恒有 S 4 S n ，故 k 4 ．
21. 已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) 北京博飞华侨港澳台学校
1 2 x 2ax ， g ( x ) 3a 2 ln x b ，其中 a 0 ．设两曲线 y f ( x ) ， 2
0) ． 22. 已知双曲线 x y 2 的右焦点为 F ，过点 F 的动直线与双曲线相交于 A，B 两点，点 C 的坐标是 (1，
2 2
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4
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（I）证明 CACB 为常数； （II）若动点 M 满足 CM CA CB CO （其中 O 为坐标原点），求点 M 的轨迹方程． 解：由条件知 F (2， 0) ，设 A( x1，y1 ) ， B ( x2，y2 ) ． （I）当 AB 与 x 轴垂直时，可设点 A，B 的坐标分别为 (2，2) ， (2， 2) ， 此时 CACB (1，2) (1， 2) 1 ． 当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 y k ( x 2)(k 1) ． 代入 x y 2 ，有 (1 k ) x 4 k x (4 k 2) 0 ． 则 x1，x2 是上述方程的两个实根，所以 x1 x2
3 ，则 B
15. 某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A，B，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修 4 门，共有_____种不同的选修方案．（用数值作答） 75 16. 正三棱锥 P ABC 的高为 2 ，侧棱与底面 ABC 成 45 角，则点 A 到侧面 PBC 的距离为_____．
B．
1 2
2
C．
2
5 1 2
D．
2 2
）C
8．由直线 y x 1 上的一点向圆 ( x 3) y 1 引切线，则切线长的最小值为（ A．1 B． 2 2 C． 7 D． 3
9．函数 f ( x ) A．1
4 x 4，
2
x ≤1
x 4 x 3，x 1
11. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ，且 个数是（ A．2 ）D B．3
2
C．4
D．5
12. 已知二次函数 f ( x ) ax bx c 的导数为 f ( x ) ， f (0) 0 ，对于任意实数 x ，有 f ( x ) ≥ 0 ，则 最小值为（ Ａ． 3 ）C Ｂ．
f (1) 的 f (0)
5 2
Ｃ． 2
Ｄ．
3 2
二、填空题 13. 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是 14. 在 △ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，若 a 1 ，b= 7 ， c ； 3π ， ．
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过点 F2 ，则椭圆离心率的取值范围是（ A． 0， ）D

2 2
B． 0，

3 3
C．
2 ， 1 2
D．
3 ， 1 3 An 7 n 45 a ，则使得 n 为整数的正整数 n 的 Bn n3 bn
又∵ x ， ，∴ ≤ 2 x ≤ ，即 2 ≤1 2sin 2 x ≤ 3 ， 6 3 3 3 4 2
π π
π
∴ f ( x) max 3，f ( x) min 2 ．
（Ⅱ）∵ f ( x ) m 2 f ( x ) 2 m f ( x ) 2 ， x ， ， 4 2
3a 2 ( x a)( x 3a) ( x 0) ． x x
故 F ( x ) 在 (0，a) 为减函数，在 ( a， ∞) 为增函数， 于是函数 F ( x ) 在 (0， ∞) 上的最小值是 F (a ) F ( x0 ) f ( x0 ) g ( x0 ) 0 ． 故当 x 0 时，有 f ( x ) g ( x ) ≥ 0 ，即当 x 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) ．
n
（ii）因为 c1 0, c2 0, c3 0, c4 0 ；当 n 5 时， cn
n n 1 2
n

n 1n 2 n 1 n 2 0 ，得 n n 1 5 5 1 1 ，所以当 n 5 时， c
15 64
B．
15 128
C．
24 125
D．
48 125
7. 设 F1，F2 分别是椭圆
x2 y2 1 （ a b 0 ）的左、右焦点， P 是其右准线上纵坐标为 3c （ c 为半焦距） a 2 b2
）D
的点，且 | F1 F2 || F2 P | ，则椭圆的离心率是（ A．
3 1 2
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综合练习四
一、选择题 1. tan 690° 的值为（ Ａ．
3 3
2
）A
3 3
Ｂ．
Ｃ． 3 ）C C． 2i
Ｄ． 3
2i 2. 复数 等于（ 1+i
A． 4i B． 4i
D． 2i
3. 在等比数列 {an } （ n N * ）中，若 a1 1 ， a4 A． 2
∵ f ( x ) x 2a ， g ( x )
3a 2 ，由题意 f ( x0 ) g ( x0 ) ， f ( x0 ) g ( x0 ) ． x
1 2 x0 2ax0 3a 2 ln x0 b， 3a 2 2 即 由 得： x0 a ，或 x0 3a （舍去）． x 2 a 2 0 x0 x0 2a 3a ， x0 1 2 5 a 2a 2 3a 2 ln a a 2 3a 2 ln a ． 2 2 5 2 2 令 h(t ) t 3t ln t (t 0) ，则 h(t ) 2t (1 3ln t ) ．于是 2
3
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y g ( x ) 有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用 a 表示 b ，并求 b 的最大值；（II）求证： f ( x ) ≥ g ( x ) （ x 0 ）． 解：（Ⅰ）设 y f ( x ) 与 y g ( x )( x 0) 在公共点 ( x0，y0 ) 处的切线相同．
1 3 2 3 于是 h(t ) 在 (0， ∞) 的最大值为 h e e 3 ． 2
（Ⅱ）设 F ( x ) f ( x ) g ( x ) 则 F ( x ) x 2a
1 2 x 2ax 3a 2 ln x b( x 0) ， 2