最优投资组合--马科维茨投资组合理论

最优投资组合--马科维茨投资组合理论
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⼀：马科维茨投资组合理论
投资组合（Portfolio）是由投资⼈或⾦融机构所持有的股票、、产品等组成的集合。

投资组合的⽬的在于分散风险，按粗略的分类有三种不同的模式可供运⽤，即积极的、中庸的和保守的。

投资组合理论[1]：若⼲种组成的，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低。

⼈们进⾏投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进⾏选择。

投资组合理论⽤均值-⽅差来刻画这两个关键因素。

其中均值是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资⽐例。

⽅差是指投资组合的收益率的⽅差。

我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。

那么在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢?投资组合理论主要通过研究"理性投资者"优化投资组合。

所谓理性投资者:是指在给定期望风险⽔平下对期望收益进⾏最⼤化，或者在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化。

⼆：求解最优投资组合过程
本⽂最优投资组合思想是：在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化的投资。

利⽤的是马克维茨的均值-⽅差模型：
本⽂实现最优投资组合的主要步骤：
1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益
2：得到标准差最⼩时的期望收益
3：根据1，2所得的期望收益，获取预估期望收益范围，在预估期望收益范围内取不同值，获取其最⼩⽅差，得到预估期望收益与最⼩⽅差的关系即获得最⼩⽅差边界。

4：最⼩⽅差边界位于最⼩⽅差资产组合上⽅为有效边界
5；获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML
6：得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重
三：实证数据⽤例：
1：获取10股股票历史收盘价记录（2014.07.01—2017.07.01）（附件：stocks.xlsx）
stocks=['601166', #兴业银⾏
'600004', #⽩云机场
'300099', #精准信息
'601328', #交通银⾏
'601318', #中国平安
'601398', #中设股份
'000333', #美的集团
'600036', #招商银⾏
'600016', #民⽣银⾏
'601818'] #光⼤银⾏
1.1：股票历史收盘价趋势折线图如下：
2：计算预期收益率：连续复利收益率即对数收益率（附件：stock_revs.xlsx）
revs=np.log(data/data.shift(1))
3：⽤蒙特卡洛模拟产⽣⼤量随机组合，得到随机权重投资组合散点图如下：
4：最优投资组合步骤：
4.1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益
def max_sharpe(weights):
return -getPortfolioInformation(weights)[2]
opts=sco.minimize(max_sharpe,numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)
getPortfolioInformation(opts['x']).round(4) #opts['x'] ：得到夏普⽐率最⼤时的权重，收益率，标准差，夏普⽐率
#此时权重：[ 3.21290938e-01 5.00704152e-02 8.67642540e-02 0.00000000e+00 5.41874393e-01 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+00
0.00000000e+00 5.15579333e-16]
# [收益率= 0.478 标准差=0.251 夏普⽐率=1.904]
4.2： minimize:优化，最⼩化风险：⽅差最⼩化
def min_variance(weights):
return getPortfolioInformation(weights)[1] ** 2
optv=sco.minimize(min_variance, numb * [1. / numb,],method='SLSQP', bounds=bnds,constraints=cons)
#此时权重：[ 1.18917047e-01 1.00755105e-01 1.04406546e-01 4.08438380e-02 4.53999968e-02 0.00000000e+00 0.00000000e+00 9.16150836e-18 5.89677468e-01 1.52059355e-17]
# [收益率= 0.309 标准差= 0.22 夏普⽐率=1.405]
4.3：获取有效边界
4.3.1：获取最⼩⽅差边界曲线图，最⼩⽅差资产组合，随机组合散点图：
指定收益率范围 [0.1545, 0.5736 ],求最⼩⽅差：
def min_sd(weights):
return getPortfolioInformation(weights)[1]
tvols = []
infor_min_sd=[]
#获取在指定期望收益下的最⼩标准差：
for tret in trets:
cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: getPortfolioInformation(x)[0] - tret},
{'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x)-1})
res = sco.minimize(min_sd, numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)
infor_min_sd.append(res) # tret 唯⼀的
tvols.append(res['fun']) #获取函数返回值，即最⼩标准差
tvols = np.array(tvols)
ind_min_sd = np.argmin(tvols) #最⼩⽅差组合处进⾏划分，分两段
evols = tvols[:ind_min_sd]
erets = trets[:ind_min_sd]
tck = sci.splrep(erets,evols ) #B-Spline样条曲线函数 #前⼀个必须是唯⼀
y2 = np.linspace(np.min(erets), np.max(erets), 100)
x2 = sci.splev(y2, tck)
evols = tvols[ind_min_sd:]
erets = trets[ind_min_sd:]
tck = sci.splrep(evols, erets)
x3 = np.linspace(np.min(evols), np.max(evols), 100)
y3 = sci.splev(x3, tck)
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')
plt.plot(x2, y2,'g',label=u"最⼩⽅差边界")
plt.plot(x3, y3,'g',label=u"最⼩⽅差边界")
plt.axhline(y=rev_min_variance,color='b',label=u"最⼩⽅差资产组合") #最⼩⽅差资产组合
plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)
plt.xlabel('Expect Volatility')
plt.ylabel('Expect Return')
plt.show()
结果显⽰如下
4.3.2：获取有效边界曲线图：
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')
plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")
plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=8.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=8.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)
plt.xlabel('Expect Volatility')
plt.ylabel('Expect Return')
plt.show()
5：获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML
5.1： B-Spline样条曲线的参数
tck = sci.splrep(evols, erets)
5.2： B-Spline样条曲线函数
def f(x):
return sci.splev(x, tck, der=0)
5.3： B-Spline样条曲线函数⼀阶导数
def df(x):
return sci.splev(x, tck, der=1)
5.4：构造⾮线性函数，使函数fun(x)⽆限逼近0向量, risk_free_return：⽆风险收益，默认为0.00
def fun(x, risk_free_return=0.00):
e1 = risk_free_return - x[0]
e2 = risk_free_return + x[1] * x[2] - f(x[2])
e3 = x[1] - df(x[2])
return e1, e2, e3
5.5 利⽤最⼩⼆乘法⽆限逼近0，⽆风险收益率：0，斜率：0.5，初始⾃变量：zone
X = sco.fsolve(fun, [0.00, 0.50, zone])
plt.figure(figsize=(12, 6))
#圆点为随机资产组合
plt.scatter(pvols, prets,c=prets/ pvols,s=5, marker='.')#随机组合散点集
plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")
plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'g*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差
#设定资本市场线CML的x范围从0到1.5最⼤夏普利率时标准差值
x = np.linspace(0.0, 1.5*zone)
#带⼊公式a+b*x求得y,作图
plt.plot(x, X[0] + X[1] * x, lw=1.5)
#标出资本市场线与有效边界的切点，绿星处
plt.plot(X[2], f(X[2]), 'r*', markersize=5.0)
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)
plt.axvline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)
plt.xlabel('expected volatility')
plt.ylabel('expected return')
plt.colorbar(label='Sharpe ratio')
plt.show()
#最⼤夏普⽐率点： (0.251241778282 ,0.478266895458) #切点： (0.251147161667, 0.4781282509275755)
结果图如下：
6: 得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重:
根据收益率差绝对值最⼩选取权重进⾏投资：
rev_result=f(X[2])
flag=0
temp=abs(trets[0]-rev_result)
length=len(trets)
for i in range(1,length):
if abs(trets[i]-rev_result)<temp:
temp=trets[i]-rev_result
flag=i
weight_result=infor_min_sd[flag]['x']
all=0 #最终为 1.0
for i in range(10):
all=all+weight_result[i]
print('{:.5f}'.format(weight_result[i]))
# weight_result=[ 0.00000 0.04802 #⽩云机场
0.00000 0.85880 #交通银⾏ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.09318 #民⽣银⾏ 0.00000 ]
故最终投资股票是：
0.04802 #⽩云机场
0.85880 #交通银⾏
0.09318 #民⽣银⾏。