2015年山西省忻州一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=log2（﹣x2+2x）}，B={y|y≥1}，则A∩∁U B=（）
A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}
2．（5分）在复平面内，复数z满足z（1+i）=1+i，则z的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x
的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）
4．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）
A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3
6．（5分）已知锐角α，β满足：sinα﹣cosα=，tanα+tanβ+tanα•tanβ=，则α，β的大小关系是（）
A．α＜βB．α＞βC．＜α＜βD．＜β＜α
7．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
8．（5分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）
A．﹣1 B．﹣C．D．1
9．（5分）已知f（x）=无极值，则b的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），对∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）
A． B． C．[3，+∞）D．（0，3]
12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），
且有f（x）+xf′（x）＜x，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（﹣2）＞0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）随机抽取某产品n件，测得其长度分别为x1，x2，…x n，则图所示的程序框图输出的s表示的样本的数字特征是．
14．（5分）已知变量x，y满足，则的最大值是．
15．（5分）若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），别称数列{a n}为调和数列，已知数列{}为调和数列且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=．16．（5分）函数f（x）=的值域是．
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知，，函数
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求函数f（x）的值域．
18．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，sin（C﹣
）=cosC
（Ⅰ）求的值；
．
（Ⅱ）若a+b=ab，求△ABC的面积S
△ABC
20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，EC⊥平面ABCD，CB=CD=CE．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面CBE；
（Ⅱ）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．
21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，）在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若•=0，求直线l的方程．
22．（12分）已知函数f（x）=（a∈R），
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．
2014-2015学年山西省忻州一中高三（上）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|y=log2（﹣x2+2x）}，B={y|y≥1}，则A∩∁U B=（）
A．{x|0＜x＜1}B．{x|x＜0}C．{x|x＞2}D．{x|1＜x＜2}
【解答】解：由A中y=log2（﹣x2+2x），得到﹣x2+2x＞0，即x（x﹣2）＜0，
解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，
∵B={y|y≥1}，全集U=R，
∴∁U B={y|y＜1}，
则A∩∁U B={x|0＜x＜1}．
故选：A．
2．（5分）在复平面内，复数z满足z（1+i）=1+i，则z的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：z（1+i）=1+i，∴z（1+i）（1﹣i）=（1+i）（1﹣i），
∴2z=（）+（）i，
∴z=+i．
复数z的共轭复数为：（，﹣）．在第四象限．
故选：D．
3．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x 的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）
【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零
∴函数的图象是一条连续的曲线
∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数
∴函数f（x）是定义在R上的增函数
因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，
即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，
故选：D．
4．（5分）在△ABC中，“•＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：∵，即||•||cosθ＞0，
∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），
所以两个向量的夹角θ为锐角，
又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，
所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，
反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，
则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．
故选：A．
5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）
A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．
∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．
故选：B．
6．（5分）已知锐角α，β满足：sinα﹣cosα=，tanα+tanβ+tanα•tanβ=，则α，β的大小关系是（）
A．α＜βB．α＞βC．＜α＜βD．＜β＜α
【解答】解：∵sinα﹣cosα=＞0，即sinα＞cosα，tanα＞1，
∴α＞，
∵tanα+tanβ+tanα•tanβ=，即tanα+tanβ=（1﹣tanα•tanβ），
∴tan（α+β）==，
∵α，β为锐角，
∴α+β=，即﹣β＞，β＜，
则α＞β．
故选：B．
7．（5分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，
由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，
满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：
S（A）=
=．
所以P（A）=．
故选：B．
8．（5分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）
A．﹣1 B．﹣C．D．1
【解答】解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵0≤φ≤，∴φ=．
∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，
∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，
由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），
可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=﹣2sin=﹣1．
故选：A．
9．（5分）已知f（x）=无极值，则b的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵f′（x）==，
∴若函数f（x）=无极值，则1﹣b=﹣1，∴b=2．
故选：B．
10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，
∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d==1，
整理得：m+n+1=mn≤，
设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，
解得：x≥2+2或x≤2﹣2，
则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．
故选：D．
11．（5分）函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），对∀x1∈[﹣1，2]，∃x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）
A． B． C．[3，+∞）D．（0，3]
【解答】解：设f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在[﹣1，2]上的值域分别为A、B，
由题意可知：A=[﹣1，3]，B=[﹣a+2，2a+2]
∴
∴a≤
又∵a＞0，
∴0＜a≤
故选：A．
12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有f（x）+xf′（x）＜x，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（﹣2）＞0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）
【解答】解：由f（x）+xf′（x）＜x，x＜0，
即[xf（x）]′＜x＜0，
令F（x）=xf（x），
则当x＜0时，F'（x）＜0，
即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
F（x+2014）=（x+2014）f（x+2014），F（﹣2）=（﹣2）f（﹣2），
F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，
∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，
∴x+2014＜﹣2，
即x＜﹣2016．
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）随机抽取某产品n件，测得其长度分别为x1，x2，…x n，则图所示的程序框图输出的s表示的样本的数字特征是平均数．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算依次输入的n个数a1，a2，…，a n的算术平均数，
即S=，
根据统计中的定义，样本数据的算术平均数所表示的样本的数字特征为样本平均数．
故答案为：平均数．
14．（5分）已知变量x，y满足，则的最大值是1．
【解答】解：由题意作出其平面区域：
可看成阴影内的点与原点连线的斜率，
故过点A（2，2）时，有最大值，
最大值为=1．
故答案为：1．
15．（5分）若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），别称数列{a n}为调和数列，已知数列{}为调和数列且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=20．【解答】解：由题意知：
∵数列{}为调和数列
∴
∴{x n}是等差数列
又∵x1+x2+…+x20=200=
∴x1+x20=20
又∵x1+x20=x5+x16
∴x5+x16=20
故答案为20．
16．（5分）函数f（x）=的值域是[﹣，] ．
【解答】解：f（x）=，
令x+1=z，
则y=，
即yz2﹣z+y=0有根，
则y=0或，
解得，﹣y．
故答案为：[﹣，]．
三、解答题（共70分）
17．（10分）已知，，函数
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）．
=．
所以f（x）的最小正周期为π．
（2）∵．∴
∴，
即f（x）的值域为
18．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．
故数列{a n}的通项式为a n=．
（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，
所以数列{}的前n项和为﹣．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，sin（C﹣
）=cosC
（Ⅰ）求的值；
．
（Ⅱ）若a+b=ab，求△ABC的面积S
△ABC
【解答】解：（Ⅰ）∵sin（C﹣）=sinCcos﹣cosCsin=cosC，
∴sinC=cosC，即tanC=，
又C为三角形内角，
∴C=，
∵c=2，
∴由正弦定理得====，
∴a=sinA，b=sinB，
则==；
（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，
又a+b=ab，
∴（ab）2﹣3ab﹣4=0，
解得：ab=4或ab=﹣1（舍去），
=absinC=×4×=．
则S
△ABC
20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，EC⊥平面ABCD，CB=CD=CE．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面CBE；
（Ⅱ）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD，
由余弦定理可知：BD2=CD2+CB2﹣2CD•CB•cos（1800﹣∠DAB）=3CD2，即，…（2分）
在△ABD中，∠DAB=60°，，
则△ABD为直角三角形，且AD⊥DB．则可知AC⊥BC…（4分）
又EC⊥平面ABCD，则EC⊥AC，故AC⊥平面CBE；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC⊥CB，设CB=1，
则，
建立如图所示的空间直角坐标系，，…（9分）
向量为平面BDC的一个法向量．
设向量为平面BDE的法向量，则，即，
取y=1，则，则为平面BDE的一个法向量．…（10分）
，
而二面角E﹣BD﹣C的平面角为锐角，则
二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．…（12分）
21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，）在
椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若•=0，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为=1．
又点（1，）在椭圆上，可得b=1．
则所求椭圆方程为+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4，b2=1，所以c=，椭圆右焦点为（，0）．
则直线AB的方程为y=k（x﹣）．
由可得（1+4k2）x2﹣8k2x+12k2﹣4=0．
由于直线AB过椭圆右焦点，可知△＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
y1y2=k2（x1﹣）（x2﹣）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+3]=．
所以=x1x2+y1y2=．
由=0，即=0，可得k2=，即k=．
所以直线l的方程为y=（x﹣）．
22．（12分）已知函数f（x）=（a∈R），
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）讨论方程f（x）=0解的个数，并说明理由．
【解答】解：（I）若函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．则f′（x）=x﹣≥0在（1，+∞）上恒成立，
即：a≤x2在（1，+∞）上恒成立．所以有a≤1．
（II）当a=0时，f（x）在定义域（0，+∞）上恒大于0，此时方程无解；
当a＜0时，f′（x）=x﹣＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数．
∵f（1）=＞0，f（）=，所以方程有惟一解．
当a＞0时，f′（x）=x﹣=
因为当x时，f′（x）＞0，f（x）在内为减函数；
当x时，f（x）在内为增函数．
所以当x=时，有极小值即为最小值f（）=．
当a∈（0，e）时，f（）=＞0，此方程无解；
当a=e时，f（）==0此方程有惟一解x=．
当a∈（e，+∞）时，f（）=＜0
因为f（1）=＞0且1，所以方程f（x）=0在区间（0，）上有惟一解，因为当x＞1时，（x﹣lnx）′＞0，则函数y=x﹣lnx在（1，+∞）上单调递增，
∴x﹣lnx＞1﹣ln1=1，即x﹣lnx＞1，
所以x＞lnx，f（x）=＞，
因为2a＞＞1，所以f（x）=0，
所以方程f （x ）=0在区间（，+∞）上有惟一解．所以方程f （x ）=0在区间
（e ，+∞）上有两解．
综上所述：当a ∈[0，e ）时，方程无解；当a ＜0或a=e 时，方程有惟一解； 当a ＞e 时方程有两解．
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
n
n a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩． （2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()(0,,,m m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 图象
定义域 R
值域 (0,)+∞
过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况
1(0)
1(0)1(0)
x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x <>==>< 变化对
图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y (0,1)
O 1
y =
（2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥
换
底
公
式
：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
第21页（共21页）。