江西省吉安三中2016年10月2016～2017学年度高一第一学期期中数学试卷及参考答案教师专用

2016年10月2016～2017学年度江西省吉安三中高一(上)期中数
学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合M＝{﹣1,0,1},N＝{﹣2,0,1},则M∩N＝()
A.{﹣1,0,1}
B.{0,1}
C.{1}
D.{0}
2.给定映射f:(x,y)→(x＋2y,2x﹣y),在映射f下,(3,1)的原像为()
A.(1,3)
B.(5,5)
C.(3,1)
D.(1,1)
3.函数y＝x2﹣2x﹣1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是()
A.﹣1
B.0
C.1
D.2
4.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是()
A.(﹣,＋∞)
B.(﹣,1)
C.(﹣,)
D.(﹣∞,﹣)
5.设f(x)＝,则f(1)＋f(4)＝()
A.5
B.6
C.7
D.8
6.函数f(x)＝a x﹣1＋4(a＞0,且a≠1)的图象过一个定点,则这个定点坐标是()
A.(5,1)
B.(1,5)
C.(1,4)
D.(4,1)
7.定义在R的奇函数f(x),当x＜0时,f(x)＝﹣x2＋x,则f(2)＝()
A.6
B.﹣6
C.2
D.﹣2
8.三个数60.7,(0.7)6,log0.76的大小顺序是()
A.(0.7)6＜log0.76＜60.7
B.(0.7)6＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜(0.7)6
D.log0.76＜(0.7)6＜60.7
9.已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx﹣8,且f(﹣2)＝4,那么f(2)＝()
A.﹣20
B.10
C.﹣4
D.18
10.已知a＞0,b＞0且ab＝1,则函数f(x)＝a x与g(x)＝﹣log b x的图象可能是()
A. B. C. D.
11.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根,则实
数k的取值范围是()
A.(0,＋∞)
B.(﹣∞,1)
C.(0,1]
D.(1,＋∞)
12.定义在R上的奇函数f(x)在(0,＋∞)上是增函数,又f(﹣3)＝0,则不等式xf(x)＜0的解集为()
A.(﹣3,0)∪(0,3)
B.(﹣∞,﹣3)∪(3,＋∞)
C.(﹣3,0)∪(3,＋∞)
D.(﹣3,3)
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分.)
13.已知f(x＋1)＝x2﹣2x,则f(2)＝.
14.若幂函数y＝(m2﹣2m﹣2)x﹣4m﹣2在x∈(0,＋∞)上为减函数,则实数m的值是.
15.函数f(x)＝(x﹣x2)的单调递增区间是.
16.关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是{x|﹣＜x＜},则a＋b＝.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.求下列各式的值:
(1)2×﹣;
(2)lg200＋lg25＋5(lg2＋lg5)3﹣().
18.已知集合A＝{x|2≤2x≤16},B＝{x|log3x＞1}.
(1)分别求A∩B,(∁R B)∪A;
(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a},若C⊆A,求实数a的取值范围.
19.已知:f(x)＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x).
(1)求f(0);
(2)判断此函数的奇偶性;
(3)若f(a)＝ln2,求a的值.
20.(1)设函数,求证:函数f(x)在(﹣∞,＋∞)上是增函数;
(2)若f(x)＝(log4x﹣3)•log44x＞m在区间[1,2]上恒成立,求实数m的取值范围.
21.若f(x)是定义在(0,＋∞)上的增函数,且对于任意x＞0满足f ()＝f(x)﹣f (y). (1)求f(1)的值;
(2)若f(6)＝1,试求解不等式f(x＋5)﹣f ()＜2.
22.已知函数g(x)＝ax2﹣2ax＋b＋1(a＞0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝.
(1)求a、b的值;
(2)若不等式f(2x)﹣k•2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求实数k的取值范围.
2016年10月2016～2017学年度江西省吉安三中高一(上)
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合M＝{﹣1,0,1},N＝{﹣2,0,1},则M∩N＝()
A.{﹣1,0,1}
B.{0,1}
C.{1}
D.{0}
【知识考查点】交集及其运算.
【试题分析】由M与N,求出两集合的交集即可.
【试题解答】解:∵M＝{﹣1,0,1},N＝{﹣2,0,1},
∴M∩N＝{0,1}.
故选B
2.给定映射f:(x,y)→(x＋2y,2x﹣y),在映射f下,(3,1)的原像为()
A.(1,3)
B.(5,5)
C.(3,1)
D.(1,1)
【知识考查点】映射.
【试题分析】设点(3,1)的元素原象是(x,y),由题设条件建立方程组能够求出象(3,1)的原象.
【试题解答】解:设原象为(x,y),
则有,
解得x＝1,y＝1,
则(3,1)在 f 下的原象是(1,1).
故选D.
3.函数y＝x2﹣2x﹣1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是()
A.﹣1
B.0
C.1
D.2
【知识考查点】二次函数在闭区间上的最值.
【试题分析】函数y＝x2﹣2x﹣1是一条以x＝1为对称轴,开口向上的抛物线,在闭区间[0,3]上先减后增,所以当x＝1时,函数取最小值;当x＝3时,函数取最大值,代入计算即可
【试题解答】解:∵y＝x2﹣2x﹣1＝(x﹣1)2﹣2
∴当x＝1时,函数取最小值﹣2,
当x＝3时,函数取最大值2
∴最大值与最小值的和为0
故选B
4.函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是()
A.(﹣,＋∞)
B.(﹣,1)
C.(﹣,)
D.(﹣∞,﹣)
【知识考查点】对数函数的定义域;函数的定义域及其求法.
【试题分析】依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x＋1＞0,进而可求得x的范围.
【试题解答】解:要使函数有意义需,
解得﹣＜x＜1.
故选B.
5.设f(x)＝,则f(1)＋f(4)＝()
A.5
B.6
C.7
D.8
【知识考查点】函数的值.
【试题分析】直接利用分段函数求解函数值即可.
【试题解答】解:f(x)＝,
则f(1)＋f(4)＝21＋1＋log24＝5.
故选:A.
6.函数f(x)＝a x﹣1＋4(a＞0,且a≠1)的图象过一个定点,则这个定点坐标是()
A.(5,1)
B.(1,5)
C.(1,4)
D.(4,1)
【知识考查点】指数函数的单调性与特殊点.
【试题分析】由题意令x﹣1＝0,解得x＝1,再代入函数解析式求出y的值为5,故所求的定点是(1,5).
【试题解答】解:令x﹣1＝0,解得x＝1,则x＝1时,函数y＝a0＋4＝5,
即函数图象恒过一个定点(1,5).
故选B.
7.定义在R的奇函数f(x),当x＜0时,f(x)＝﹣x2＋x,则f(2)＝()
A.6
B.﹣6
C.2
D.﹣2
【知识考查点】函数奇偶性的性质.
【试题分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可.
【试题解答】解:∵定义在R的奇函数f(x),当x＜0时,f(x)＝﹣x2＋x,
∴f(2)＝﹣f(﹣2)＝﹣[﹣(﹣2)2﹣2]＝6,
故选:A.
8.三个数60.7,(0.7)6,log0.76的大小顺序是()
A.(0.7)6＜log0.76＜60.7
B.(0.7)6＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜(0.7)6
D.log0.76＜(0.7)6＜60.7
【知识考查点】对数值大小的比较.
【试题分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出
【试题解答】解:60.7＞1,0＜(0.7)6＜1,log0.76＜0,
可得60.7＞(0.7)6＞log0.76.
故选:D.
9.已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx﹣8,且f(﹣2)＝4,那么f(2)＝()
A.﹣20
B.10
C.﹣4
D.18
【知识考查点】函数的值.
【试题分析】由已知得f(﹣2)＝﹣32a﹣8b﹣2c﹣8＝4,从而32a＋8b＋2c＝﹣12,由此能求出f(2).
【试题解答】解:∵f(x)＝ax5＋bx3＋cx﹣8,且f(﹣2)＝4,
∴f(﹣2)＝﹣32a﹣8b﹣2c﹣8＝4,
解得32a＋8b＋2c＝﹣12,
∴f(2)＝32a＋8b＋2c﹣8＝﹣12﹣8＝﹣20.
故选:A.
10.已知a＞0,b＞0且ab＝1,则函数f(x)＝a x与g(x)＝﹣log b x的图象可能是()
A. B. C. D.
【知识考查点】对数函数的图象与性质.
【试题分析】推导出g(x)＝﹣log b x＝log x,＝a,由此利用指数函数、对数函数的图象和性质能求出结果.
【试题解答】解:g(x)＝﹣log b x＝log x,
∵a＞0,b＞0且ab＝1,
∴当a＞1时,＝a＞1,此时函数f(x)＝a x的图象过点(0,1),图象在x轴上方,是增函数,
g(x)＝﹣log b x的图象过点(1,0),图象在y轴左侧,是增函数,B满足条件;
当0＜a＜1时,＝a∈(0,1),此时函数f(x)＝a x的图象过点(0,1),图象在x轴上方,是增减数,
g(x)＝﹣log b x的图象过点(1,0),图象在y轴左侧,是减函数,都不满足条件.
故选:B.
11.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根,则实
数k的取值范围是()
A.(0,＋∞)
B.(﹣∞,1)
C.(0,1]
D.(1,＋∞)
【知识考查点】根的存在性及根的个数判断.
【试题分析】由题意画出图形,数形结合得答案.
【试题解答】解:由题意画出函数图象如图,
由图可知,要使方程f(x)＝k有两个不等的实根,
则实数k的取值范围是(0,1].
故选:C.
12.定义在R上的奇函数f(x)在(0,＋∞)上是增函数,又f(﹣3)＝0,则不等式xf(x)＜0的解集为()
A.(﹣3,0)∪(0,3)
B.(﹣∞,﹣3)∪(3,＋∞)
C.(﹣3,0)∪(3,＋∞)
D.(﹣3,3)
【知识考查点】奇偶性与单调性的综合.
【试题分析】由题意和奇函数的性质判断出:f(x)在(﹣∞,0)上的单调性、图象所过的特殊点,画出f(x)的示意图,将不等式等价转化后,根据图象求出不等式的解集.【试题解答】解:∵f(x)在R上是奇函数,在(0,＋∞)上是增函数,
∴f(x)在(﹣∞,0)上也是增函数,
由f(﹣3)＝0得,﹣f(3)＝0,即f(3)＝0,
由f(﹣0)＝﹣f(0)得,f(0)＝0,
作出f(x)的示意图,如图所示:
∵xf(x)＜0等价于或,
∴由图象得,0＜x＜3或﹣3＜x＜0,
∴xf(x)＜0的解集为:(﹣3,0)∪(0,3),
故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,满分20分.)
13.已知f(x＋1)＝x2﹣2x,则f(2)＝﹣1.
【知识考查点】函数解析式的求解及常用方法.
【试题分析】首先,换元令x＋1＝t,得到x＝t﹣1,然后,得到函数解析式,然后,求解f(2)的值即可.
【试题解答】解:令x＋1＝t,
∴x＝t﹣1,
∴f(t)＝(t﹣1)2﹣2(t﹣1)＝t2﹣4t＋3,
∴f(x)＝x2﹣4x＋3,
∴f(2)＝﹣1
故答案为:﹣1
14.若幂函数y＝(m2﹣2m﹣2)x﹣4m﹣2在x∈(0,＋∞)上为减函数,则实数m的值是m＝3.
【知识考查点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【试题分析】根据给出的函数为幂函数,由幂函数概念知m2﹣m﹣1＝1,再根据函数在(0,＋∞)上为减函数,得到幂指数应该小于0,求得的m值应满足以上两条.【试题解答】解:因为函数y＝(m2﹣2m﹣2)x﹣4m﹣2既是幂函数又是(0,＋∞)的减函数,
所以,⇒,解得:m＝3.
故答案为:m＝3.
15.函数f(x)＝(x﹣x2)的单调递增区间是[,1).
【知识考查点】复合函数的单调性.
【试题分析】令t＝x﹣x2＞0,求得函数的定义域为(0,1),根据复合函数的单调性,本题即求二次函数t在(0,1)上的减区间.再利用二次函数的性质可得t＝x﹣x2 ＝﹣﹣在(0,1)上的减区间
【试题解答】解:令t＝x﹣x2＞0,求得0＜x＜1,故有函数的定义域为(0,1),且f(x)
＝h(t)＝t,
故本题即求二次函数t在(0,1)上的减区间.
利用二次函数的性质可得t＝x﹣x2 ＝﹣﹣在(0,1)上的减区间为[,1),
故答案为:[,1).
16.关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是{x|﹣＜x＜},则a＋b＝﹣14.【知识考查点】一元二次不等式的应用.
【试题分析】利用不等式的解集与方程解的关系,结合韦达定理,确定a,b的值,即可得出结论.
【试题解答】解:∵不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|﹣},
∴﹣和为方程ax2＋bx＋2＝0的两个实根,且a＜0,
由韦达定理可得,
解得a＝﹣12,b＝﹣2,
∴a＋b＝﹣14.
故答案为:﹣14.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.求下列各式的值:
(1)2
×﹣;
(2)lg200＋lg25＋5(lg2＋lg5)3﹣().
【知识考查点】对数的运算性质.
【试题分析】(1)根据指数幂的运算性质计算即可.
(2)根据对数的运算性质计算即可,
【试题解答】解:(1)原式＝2×﹣2＝2×﹣2＝,
(2)原式＝2＋lg2＋lg5＋5﹣＝2＋1＋5﹣＝.
18.已知集合A＝{x|2≤2x≤16},B＝{x|log3x＞1}.
(1)分别求A∩B,(∁R B)∪A;
(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a},若C⊆A,求实数a的取值范围.
【知识考查点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算.
【试题分析】(1)解指数不等式和对数不等式求出集合A,B,结合集合的交集,交集,补集运算的定义,可得答案.
(2)分C＝∅和C≠∅两种情况,分别求出满足条件的实数a的取值范围,综合讨论结果,可得答案.
【试题解答】解:(1)∵集合A＝{x|2≤2x≤16}＝[1,4],
B＝{x|log3x＞1}＝(3,＋∞).
∴A∩B＝(3,4],
C R B＝(﹣∞,3],
(C R B)∪A＝(﹣∞,4];
(2)∵集合C＝{x|1＜x＜a},C⊆A,
当a≤1时,C＝∅,满足条件;
当a＞1时,C≠∅,则a≤4,即1＜a≤4,
综上所述,a∈(﹣∞,4].
19.已知:f(x)＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x).
(1)求f(0);
(2)判断此函数的奇偶性;
(3)若f(a)＝ln2,求a的值.
【知识考查点】对数的运算性质;函数奇偶性的判断.
【试题分析】(1)根据f(x)＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x),可得f(0)＝ln(1＋0)﹣ln(1﹣0),从而得出结果.
(2)求出函数的定义域为(﹣1,1),再由f(﹣x)＝ln(1﹣x)﹣ln(1＋x)＝﹣f(x),可知此函数为奇函数.
(3)由f(a)＝ln2,可得ln(1＋a)﹣ln(1﹣a)＝,可得﹣1＜a＜1且,由此求得a的值.
【试题解答】解:(1)因为f(x)＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x),所以f(0)＝ln(1＋0)﹣ln(1﹣0)＝0﹣0＝0.
(2)由1＋x＞0,且1﹣x＞0,知﹣1＜x＜1,所以此函数的定义域为:(﹣1,1).
又f(﹣x)＝ln(1﹣x)﹣ln(1＋x)＝﹣(ln(1＋x)﹣ln(1﹣x))＝﹣f(x),由上可知此函数为奇函数.
(3)由f(a)＝ln2 知ln(1＋a)﹣ln(1﹣a)＝,可得﹣1＜a＜1且,
解得,
所以a的值为.
20.(1)设函数,求证:函数f(x)在(﹣∞,＋∞)上是增函数;
(2)若f(x)＝(log4x﹣3)•log44x＞m在区间[1,2]上恒成立,求实数m的取值范围.【知识考查点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明.
【试题分析】(1)由,可求得f′(x)＝＞0,可证得函数f(x)在
(﹣∞,＋∞)上是增函数;
(2)依题意,可求得当x∈[1,2]时,[f(x)]min＝﹣,f(x)＝(log4x﹣3)•log44x＞m在区间[1,2]上恒成立⇔m＜[f(x)]min,从而可求得实数m的取值范围.
【试题解答】解:(1)证明:∵,
∴f′(x)＝＞0,
∴函数f(x)在(﹣∞,＋∞)上是增函数;
(2)∵1≤x≤2,
∴0≤log4x≤,
又f(x)＝(log4x﹣3)•log44x＝(log4x﹣3)•(1＋log4x)＝﹣2log4x﹣3＝(log4x﹣1)2﹣4,
∴当x＝2,log4x＝时,f(x)取得最小值,为f(2)＝﹣,
∴f(x)＞m在区间[1,2]上恒成立⇔m＜[f(x)]min＝﹣,
即实数m的取值范围为(﹣∞,﹣).
21.若f(x)是定义在(0,＋∞)上的增函数,且对于任意x＞0满足f ()＝f(x)﹣f (y). (1)求f(1)的值;
(2)若f(6)＝1,试求解不等式f(x＋5)﹣f ()＜2.
【知识考查点】抽象函数及其应用.
【试题分析】(1)令x＝y＝1,即可求得f(1)的值;
(2)由f(6)＝1,f ()＝f(x)﹣f (y),可求得f(36)＝2,依题意,可将不等式f(x＋5)﹣f ()
＜2转化为f[x(x＋5)]＜f(36),再利用函数的单调性即可求得不等式f(x＋5)﹣f ()＜2的解集.
【试题解答】解:(1)∵对于任意x＞0满足f ()＝f(x)﹣f (y),
令x＝y＝1,得:f(1)＝0;
(2)若f(6)＝1,则f()＝f(36)﹣f(6),即f(36)＝2f(6)＝2,
∴f(x＋5)﹣f ()＜2⇔f[x(x＋5)]＜f(36),
∵f(x)是定义在(0,＋∞)上的增函数,
∴,解得:0＜x＜4.
∴不等式f(x＋5)﹣f ()＜2的解集为{x|0＜x＜4}.
22.已知函数g(x)＝ax2﹣2ax＋b＋1(a＞0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝.
(1)求a、b的值;
(2)若不等式f(2x)﹣k•2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求实数k的取值范围.
【知识考查点】二次函数在闭区间上的最值;函数的零点与方程根的关系.
【试题分析】(1)由函数g(x)＝a(x﹣1)2＋1＋b﹣a,a＞0,所以g(x)在区间[2,3]上是
增函数,故,
由此解得a、b的值.
(2)不等式可化为2x＋﹣2≥k•2x,故有k≤t2﹣2t＋1,t∈[,2],求出h(t)＝t2﹣2t＋1的最大值,
从而求得k的取值范围.
【试题解答】解:(1)函数g(x)＝ax2﹣2ax＋b＋1＝a(x﹣1)2＋1＋b﹣a,
因为a＞0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故,解得. ….
(2)由已知可得f(x)＝x＋﹣2,所以,不等式f(2x)﹣k•2x≥0可化为2x＋﹣2≥k•2x,
可化为1＋﹣2•≥k,令t＝,则k≤t2﹣2t＋1.
因x∈[﹣1,1],故t∈[,2].故k≤t2﹣2t＋1在t∈[,2]上能成立.
记h(t)＝t2﹣2t＋1,因为t∈[,2],故h(t)max ＝h(2)＝1,所以k的取值范围是(﹣∞,1]. …
2017年2月14日。