人教版数学八年级下册教案：20.2 数据的波动

20.2 数据的波动
一、教学目标
1．核心素养
进一步理解极差、方差的概念||，让学生学会收集、整理、分析数据||，逐步地掌握统计思想||，培养学生收集数据提取信息的能力||，学会构建模型分析数据||，解释数据蕴含的结论．
2．学习目标
（1）20.2.1 了解极差、方差的意义||，会求一组数据的极差、方差．
（2）20.2.2 让学生经历知识的形成过程||，感悟极差、方差在实际生活中的应用；会用方差的计算公式来比较两组数据的波动大小．
3．学习重点
会求一组数据的极差、方差||，理解方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题．
4．学习难点
方差的意义、方差公式的理解．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1
阅读教材P124—P130||，思考：什么是极差？什么是方差、标准差？
2．预习自测
1．下列是某中学课外活动小组学生的年高情况：145||，152||，156||，162||，140||，158||，163||，152（单位：cm ）．这组数据的中位数和极差分别是（ ）
A ． 154||，23
B ． 154||，15
C ． 156||，22
D ． 152||，23
2．某中学有甲、乙两个艺术体操队的队员的平均身高都为169cm ||，方差分别是S 甲2、S 乙2||，且S 甲2＞S 乙2||，则两个队的队员的身高较整齐的是（ ） A ． 甲队 B ． 乙队 C ． 两队一样整齐 D ． 不能确定
3．若一组数据的标准差是3||，则这组数据的方差是（ ）
A ．
B ． 3
C ．
D ．9
预习自测
1． A
2. B
3. D （二）课堂设计 1．知识回顾
（1）如果有n 个数： ||，那么这组数据的平均数
||，这个平均数叫做这组数据的算术平均数．
（2）一般地||，在求n 个数的算术平均数时||，如果1x 出现1f 次||，2x 出现2
f 次||，…k x 出现k f 次（这里1f +2f +…k f =n ）那么这n 个数的平均数是
k
k
k f f f f f x f x f x f x x ............321332211+++++++=
||，x 也叫这k 个数的加权平均数||，其中1f ||，
2f …k f 分别叫1x ||，2x …k x 的权．
n x
x x x ......,,321n x x x x x n ++++=. (321)
2．问题探究
问题探究一 什么是极差、方差? ●活动一 极差的意义
问题1：在日常生活中||，我们经常利用温差来描述气温的变化情况||，例如||，某日在不同时段测得乌鲁木齐和广州的气温情况如下：
那么这一天两地的温差分别是多少？观察温差信息你能发现什么？
解析：乌鲁木齐24-10=14℃||，广州25-20=5℃||，这两个温差告诉我们||，这一天中乌鲁木齐的气温变化幅度较大||，广州的气温变化幅度较小．
小结：实际生活中||，人们除了关心数据的“平均水平”外||，往往还关注数据的离散程度||，即它们相对于“平均水平”的偏离情况||，极差就是刻画数据离散程度的一个统计量．
极差定义：用一组数据中的最大数据减去最小的数据所得到的差来反映这组数据的变化范围||，这个差就称为极差． 极差计算公式：min max x x x -=∆．
说明：极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量||，其特点是计算简单．极差是利用了一组数据两端的信息||，但不能反映出中间数据的分散情况||，仅由两个数据评判一组数据是不科学的||，还需要了解其他的统计量．
●活动二 方差、标准差的意义
问题2：在一次芭蕾舞比赛中||，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》||，参加表演的女演员的身高（单位：cm ）分别是：
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
议一议：题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？在求方差之前先要求哪个统计量？
讨论结果：“整齐”即波动小||，所以要研究两组数据波动大小||，就要计算出数据的方差．先求出平均数||，再求出方差． 解析：甲、乙两团女演员的平均身高分别是：
S 2甲=
5
.18
)165167(2)165166(2)165165(2)165164()165163(2
2222=-+⨯-+⨯-+⨯-+-||，
S 2乙=
5
.28
2
)166168()166167(2)166165(2)166165()166163(22222=⨯-+-+⨯-+⨯-+-||，
因为S 2甲<S 2
乙
||，所以甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐． 方差的定义：一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差．
方差的意义：方差是反映一组数据波动大小的量||，它表示的是一组数据偏离平均值的情况．一组数据的方差越大||，说明这一组数据的波动越大||，即方差越大||，数据组的波动就越大． 方差计算公式：()()()[]
2222121
x x x x x x n
s n -⋅⋅⋅+-+-=
．
补充：
标准差的定义：方差的算术平方根叫做标准差．标准差和方差的关系：标准差＝方差 ||，方差＝标准差2||，特别要注意标准差和方差一样都是非负数． 标准差的意义：标准差和方差一样||，也是反映一组数据波动大小的指标．同样||，标准差越大||，数据组的波动就越大． 标准差的计算公式：()()()[]
222211
x x x x x x n
s n -+⋅⋅⋅+-+-=
极差、方差与标准差异同点：
共同点：极差、方差与标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 不同点：极差表示一组数据波动范围的大小||，一组数据极差越大||，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大||，则平均值的离散程度越大||，稳定性也越小；反之||，则它与其平均值的离散程度越小||，稳定性越好． 问题探究二 方差的应用． 重点★
●活动一
问题3：小红的奶奶开了一个牛奶销售店||，主要经营“学生奶”“酸牛奶”“原味奶”||，可奶奶经营不善||，经常有品种的牛奶滞销（没卖完）或脱销（量不够）||，造成了浪费或亏损||，细心的小红结合所学的统计知识帮奶奶统计了一个星期牛奶的销售情况||，并绘制了下表：
星期
销量（瓶）
品种
星期
一
星期二
星期三
星期
四
星期
五
星期六
星期
天
（1）计算各品种牛奶的日平均销售量||，并说明哪种牛奶销量最高；
（2）计算各品种牛奶的方差（保留两位小数）||，并比较哪种牛奶销量最稳定； （3）假如你是小红||，你会对奶奶有哪些好的建议.
解析：根据平均数、方差的计算公式计算即可||，同时要注意方差越小数据越稳定.
解：（1）学生奶x =3||，酸牛奶x =80||，原味奶x =40||，酸牛奶销量高||， （2）12.57||，91.71||，96.86||，学生奶销量最稳定. （3）建议学生奶平常尽量少进或不进||，周末可进几瓶. 3．课堂总结
【知识梳理】 1．基础知识导图 2．本节注意之点
⑴一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差||，方差是反映一组数据波动大小的量||，它表示的是一组数据偏离平均值的情况．即()()()[]
2222121
x x x x x x n
s n -⋅⋅⋅+-+-=
． ⑵极差、方差与标准差异同点：
共同点：极差、方差与标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 不同点：极差表示一组数据波动范围的大小||，一组数据极差越大||，则它的波动
范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大||，则平均值的离散程度越大||，稳定性也越小；反之||，则它与其平均值的离散程度越小||，稳定性越好．
【重难点突破】
⑵ 求方差的口诀：求方差||，有公式；先平均||，再求差；求平方||，再平均；
所得数||，是方差；
⑵方差公式：()()()[]
2222121
x x x x x x n
s n -⋅⋅⋅+-+-=
比较复杂||，学生理解和记忆这个公式都会有一定的困难||，以致应用时常常出现计算的错误||，为了突破这一难点||，安排几个环节||，将难点化解．①首先应使学生知道为什么要学习方差和方差公式||，目的不明确学生很难对本节课内容产生兴趣和求知欲望．通过问题2、3的解答让学生从中体会到进行数据分析时经常要去了解一组数据的波动程度||，仅仅知道平均数是不够的；②波动性可以通过什么方式表现出来？让学生知道描述数据波动性的方法||，引出方差产生的必要性． 4．随堂检测
1．9名高中学生的体重（单位：㎏）分别是50||，51||，67||，60||，48||，53||，52||，41||，68||，这组数据的极差是（ ） A.24 B.27 C. 26
D.25
【知识点：极差；数学思想：】 【答案】B.
2．运动员在一次射击选拔赛中||，甲、乙、丙、丁4人各射击20次||，平均成绩一样||，方差分别是S甲2=0.45||，S乙2=0.15||，S丙2=0.35||，S丁2=0.29||，这4人中成绩发挥不最稳定的是（）
A．丁B．甲C．丙D．乙
【知识点：方差；数学思想：】
【答案】B.
3．下列有一组数据：13||，x||，14||，16||，17||，它们的平均数是15||，那么这组数据的方差是（）
A．B．C．10 D．2
【知识点：方差||，算术平均数；数学思想：】
【答案】D.
4．某地近7天每天平均气温（℃）统计如下：14||，13||，14||，18||，20||，21||，12．关于这7个数据下列说法不正确的是（）
A．极差是9 B．中位数是18 C．众数是14D．平均数是16 【知识点：中位数||，众数||，平均数||，极差；数学思想：】
【答案】B.
5．我市某区启动了“关爱留守儿童项目”．某中心校为了了解各年级留守儿童的数量||，对一到六年级留守儿童数量进行了统计||，每个年级的留守儿童人数分别为20||，25||，20||，27||，28||，30．对于这组数据||，下列说法错误的是（）A．众数是20 B．平均数是25 C．中位数是27 D．方差是
【知识点：方差||，加权平均数||，中位数||，众数；数学思想：】
【答案】C
【解析】20出现了2次||，出现的次数最多||，则众数是20；
平均数是：（20+25+20+27+28+30）÷6=25；
把这组数据从小到大排列为20||，20||，25||，27||，28||，30||，最中间的数是（25+27）÷2=26||，则中位数是26；
方差是：s2=[（20﹣25）2+（25﹣25）2+（27﹣25）2+（28﹣25）2+（30﹣25）2]==．
则下列说法错误的是C．故选：C．。