2021_2022学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
学习目标核心素养
1.了解直线与平面的三种位置关系，并会用
图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)
2.了解不重合的两个平面之间的两种位置
关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难
点)
通过对直线与平面位置关系和对平面与平
面位置关系的学习，培养逻辑推理、直观想
象的数学核心素养．
1．直线与平面的位置关系
位置关系直线在平面内
直线在平面外
直线与平面相交直线与平面平行公共点无数个公共点1个0个
符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α
图形表示
[提示]不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．
2．两个平面的位置关系
位置关系平行相交
图示
表示法α∥βα∩β＝a
公共点个数0个无数个
思考：分别位于两个平行平面内的两条直线的位置关系是什么？
[提示]分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面．
1．直线l与平面α有两个公共点，则( )
A．l∈αB．l∥α
C．l与α相交D．l⊂α
D[根据公理1可知，l⊂α.]
2．若M∈平面α，M∈平面β，α、β为不同的平面，则平面α与β的位置关系是( ) A．平行B．相交
C．重合D．不确定
B[由公理可知，平面α与平面β相交．]
3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则下列说法正确的是________(填序号).
①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交．
①[若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．]
直线与平面位置关系的判定
【例1】(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
B[直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．]
(2)下列说法中，正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；
②经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
C[易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
[跟进训练]
1．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
A[如图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，
AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．]
平面与平面位置关系的判定
[探究问题]
1．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？
[提示]因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？
[提示]不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条直线a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.
【例2】(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行B．相交
C．平行或相交D．不能确定
C[逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示).
]
(2)完成下列作图：
①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．
②在图中分别画出三个两两相交的平面．
[解] ①如图所示，
②如图所示，
1．平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．2．常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.
[跟进训练]
2．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分． 8 4 [三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．
]
3.
试画出相交于一点的三个平面．
[解] 如图所示(不唯一).
1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式
(1)按公共点的个数分类⎩
⎪⎨⎪⎧直线与平面平行——直线与平面没有公共点
直线与平面不平行⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交——直线与平面 有唯一公共点直线在平面内——直线与平面有
无数公共点
(2)按是否在平面内分类⎩⎪⎨⎪
⎧直线在平面内
直线在平面外⎩
⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行
2
．判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法 (1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断；
(2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果； (3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，达到准确的判断位置关系的目的．
1.已知直线a 在平面α外，则( )
A．a∥α
B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α＝A
D．直线a与平面α至多有一个公共点
D[直线a在平面α外，则直线a与平面α平行或相交，故直线a与平面α至多有一个公共点．选D.]
2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．仅有一条直线不相交
B．仅有两条直线不相交
C．无数条直线相交
D．任意一条直线不相交
D[直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的任一直线均无公共点．]
3．下列命题正确的是( )
A．直线a∥α，直线b⊂α，则a∥b
B．若a⊂α，b⊄α，则a与b没有公共点
C．若a⊄α，则a∥α或a与α相交
D．若a∥α，b∥α，则a∥b
C[A中条件下，a与b还可能异面；B中b⊄α时，可能b与α相交，那么a与b也可能相交；D中，a与b可能平行，可能相交，也可能异面，只有C是正确的．] 4．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
①②[①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．]
5．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系．
[解] 根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．。