2020-2021学年陕西师范大学附属中学高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

2020-2021学年陕西师范大学附属中学高二下学期期中数学
（理）试题
一、单选题
1．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）.
A ．3A =
B ．1M M =+
C ．20B A +-=
D ．0x y += 【答案】B
【分析】直接根据赋值语句的定义得到答案.
【详解】根据赋值语句的定义，变量=表达式，知ACD 不是赋值语句，B 满足. 故选：B.
【点睛】本题考查了赋值语句的定义，属于简单题.
2．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）
A ．1cos 2ρθ=
B ．sin 2ρθ=
C ．cos 2ρθ=
D ．1sin 2ρθ= 【答案】C
【解析】把极坐标方程化为直角坐标方程，再判断是否相切．
【详解】由题意圆的直角坐标方程为224x y y +=，即22(2)4x y +-=，圆心上(0,2)C ，半径为2r =，
A 中直线方程是12x =
，B 中直线方程是2y =，C 中直线方程是2x =，D 中直线方程是12
y =，只有直线2x =与圆相切． 故选：C ．
【点睛】方法点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系．在极坐标系中两者位置关系的差别是不方便的，解题方法是把极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标系中判断直线与圆的位置关系．
3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养优于乙B．乙的数据分析素养优于数学建模素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数学运算最强
【答案】D
【分析】根据雷达图逐个判断每个选项即可.
【详解】A：甲的数据分析素养优于乙，故A正确；
B：乙的数据分析优于数学建模素养；故B正确；
C：甲的六大素养整体水平优于乙，故C正确；
D：甲的六大素养中，直观想象，数据分析与逻辑推理能力最强，故D错误.
故选：D.
【点睛】本题考查对雷达图的理解，属于基础题.
4．具有线性相关关系的变量x、y的回归方程为2
=-，则下列选项正确的是（）
y x
A．当4
x=时，y的预测值为2-
B．若x增加1个单位，则y增加2个单位
C．变量x与y呈正相关关系
D．变量x与y是函数关系
【答案】A
【分析】将4
x=代入回归直线方程可判断A选项的正误；利用回归系数可判断B选项的正误；由已知条件结合回归方程可判断C、D选项的正误.
【详解】对于A选项，当4
x=时，242
y=-=-，即y的预测值为2-，A选项正确；对于B选项，由回归方程可知，若x增加1个单位，则y减少1个单位，B选项错误；对于C、D选项，由于具有线性相关关系的变量x、y的回归方程为2
=-，则变量x
y x
与y呈正相关关系，而不是函数关系，C、D选项均错误.
故选：A.
【点睛】本题考查回归方程有关命题正误的判断，属于基础题.
5．为了了解公司800名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为1，2，3，…，800，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取100人征求意见，有下述三个结论：①若25号员工被抽到，则105号员工也会被抽到；②若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取了10人；③若88号员工未被抽到，则10号员工一定未被抽到；其中正确的结论个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】B
【解析】根据系统抽样的定义和性质，依次判断每个选项得到答案.
【详解】将这800人分为100组，每组8人，即分段间隔为8；因为
10525108
-=，故①正确；
若32号员工被抽到，则1到100号的员工中被抽取的号码为8，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96，共计12人，故②错误；
若88号员工未被抽到，则10号员工可能被抽到，故③错误.
故选：B .
【点睛】本题考查系统抽样，考查数学建模能力以及必然与或然思想. 6．在n
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含6x 的项系数为（ ）
A ．45
B ．-45
C ．120
D ．-120 【答案】A
【分析】先由只有第六项的二项式系数最大，求出n =10；再由展开式的所有项的系数和为0，用赋值法求出a = -1,用通项公式求出6x 的项的系数. 【详解】∵在n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， ∴在n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式有11项，即n =10； 而展开式的所有项的系数和为0，
令x =1，代入=0n
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()101=0a +，所以a = -1. ∴101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式的通项公式为：()101021101011r
r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，
要求含6x 的项，只需10-2r =6，解得r =2，所以系数为()221010914521
C ⨯-==⨯. 故选：A
【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
7．阅读如图的算法框图，输出结果S 的值为（ ）
A ．0
B ．12
C ．2
D ．32 【答案】C 【解析】由程序框图知，该程序的功能是计算32021sin
sin sin 666S πππ=+++，而()2+1()sin 6n f n π
=的周期为6T =，且一个周期内和为0，进一步可求得结果．
【详解】由程序框图知，该程序的功能是计算32021sin
sin sin 666S πππ=+++， 由函数()2+1()sin 6n f n π
=的周期性，知该等式中每连续6个的值的和等于0，
而101116863=⨯+，所以这个值等于前3个的和，
即35sin sin sin 2666
S π
ππ=++=． 故选：C.
【点睛】易错点点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框
图是条件分支结构还是循环结构；
(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
8．骰子（tou zi ），在北方很多地区又叫色子（shai zi ），是中国传统民间娱乐用来投掷的博具，最早可以追溯至战国时期，通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，骰子是容易制作和取得的乱数产生器.汉代班固在《弈旨》一文中云：“博悬于投，不专在行.”也就是说，它们都是要通过掷骰子这种带有很大偶然性的方式来进行游戏.
这种“悬于投”的特点，也成为中国古代的“博”与“弈”之间一个重要的分界线.现投掷两枚质地均匀的骰子（六面骰），其向上的点数分别记为a ，b ，则直线0ax y a b -+-=在y 轴上的截距不大于在x 轴上截距的概率为（ ）
A ．712
B ．512
C ．56
D ．724
【答案】A
【分析】由题意结合截距的概念可求得直线在y 轴、x 轴上的截距，进而可得直线在y 轴上的截距大于在x 轴上的截距等价于a b >，求出所有基本事件数及满足a b >的基本事件数，由古典概型概率公式即可得直线在y 轴上的截距大于在x 轴上的截距的概率，再由对立事件的概率关系即可得解.
【详解】由题意直线0ax y a b -+-=在y 轴上的截距为-a b ，在x 轴上的截距为b a a
-， 若直线0ax y a b -+-=在y 轴上的截距大于在x 轴上的截距， 则b a a b a -->，由0a >可得a b >， 又(),a b 的所有取值有36个，其中满足a b >的有()2,1，
()3,1，()3,2，()4,1，()4,2，()4,3，()5,1，()5,2，()5,3，()5,4，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，共15个， 则直线在y 轴上的截距大于在x 轴上的截距的概率11553612
P ==， 则直线在y 轴上的截距不大于在x 轴上截距的概率157111212P P =-=-
=. 故选：A.
【点睛】本题考查了直线截距及古典概型概率的求解，考查了对立事件概率关系的应用及转化化归思想，属于中档题.
9．关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰试验.受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值,试验步骤如下：
①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对
(,)(01,01)x y x y <<<<；
②若卡片上的x ,y 能与1构成锐角三角形,则将此卡片上交；
③统计上交的卡片数,记为m ；
④根据统计数m 估计π的值.假如本次试验的统计结果是218m =,那么可以估计π的值约为（ ）
A ．389124
B ．391124
C ．389125
D ．391125
【答案】D
【分析】根据x ,y 能与1构成锐角三角形可求得,x y 满足的不等式,进而利用几何概型的方法列式求解π即可.
【详解】因为实数对(,)(01,01)x y x y <<<<与1构成锐角三角形,设边长为1的边对应
的角度为θ,则2221cos 02x y xy θ+-=>,即221x y +>. 根据几何概型的方法可知22
112184110001π⨯=-,故218782411003025091125π⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭.
故选：D
【点睛】本题主要考查了随机模拟法与几何概型求解圆周率值的问题,需要根据题意确定,x y 满足的不等式,再根据面积的比列式化简求解.属于中档题.
10．罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（ ）
A ．87
B ．95
C ．100
D ．103
【答案】D
【分析】将6根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解.
【详解】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108,180,801,810）.
2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有1248
C⨯=个.
3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有1248
C⨯=个；除0外的两个数字不同，则
+=个.
有24424
C⨯=个，所以共有82432
1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）. 1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有113
C C A=⨯⨯⨯=个.
243243248
2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相
+=同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有1236
C⨯=个，共有268个.
+++++=个.
综上可知，可组成的三位数共有48323488103
故选：D.
【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类、分步计数原理的应用，注意分类时要做到“不重不漏”，属于难题.
二、填空题
11．下列两个变量之间具有相关关系的是______．
①正方形的边长a和面积S；
②一个人的身高h和右手一拃长x；
③真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t；
④一个人的身高h和体重x．
【答案】②④
【分析】根据相关关系是表示两个变量之间有一定的关系，但不是确定的关系，判断即可．
【详解】对于①，正方形的边长a和面积S是函数关系，不是相关关系；
对于②，一般情况下，一个人的身高h和右手一拃长x是正相关关系；
对于③，真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t是函数关系，不是相关关系；
对于④，一般情况下，一个人的身高h和他的体重x是正相关关系．
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了两个变量间的相关关系，考查了理解辨析能力，属于一般题目. 12．1099被1000整除的余数为________.
【答案】1
【解析】利用二项式定理展开101099(1001)=-可求解．
【详解】10101012210101099(1001)(1100)1100100100C C =-=-=-⨯+⨯-+，展开式中从第
二项开始都是1000的倍数，因此它除以1000后余数为1．
故答案为：1．
13．辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷赘”“全国道德模范”称号的几位先进入物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇，“时代楷模”毛相林、张连刚，林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰，朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有
__________种.
【答案】38
【分析】根据题意，把不同的发言情况分成3类，对每一类先选人，再排列即可.
【详解】从所有先进入物代表选出两位荣誉称号不同的代表给全国人民拜年，不同的发言情况有3类：
（1）2人来自“人民英雄”“时代楷赘”有12326C A =种；
（2）2人来自“人民英雄”“全国道德模范”有12428C A =种；
（3）2人来自“时代楷赘”“全国道德模范”有11234224C C A =种；
所以6+8+24=38种.
故答案为：38.
【点睛】计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合． 14．某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m ，n ，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则||m n -的值为________．
【答案】4
【分析】根据平均数可得10m n +=，根据方差公式可得22(5)(5)8m n -+-=，令
5m t =+，5n t =-，代入化简即可求得t ，即为||m n -的值.
【详解】由这组数据的平均数为5，可得56425m n ++++=，10m n +=， 根据方差公式得22222(5)(5)(65)(45)255(5)m n -+--+-+=+⨯-，
所以：22(5)(5)8m n -+-=
设5m t =+，5n t =-，则228t =，解得2t =±，
∴||2||4m n t -==，
故答案为:4．
【点睛】本题考查了平均数与方差的定义与简单应用，属于基础题.
15．由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则
13
a b >的概率为______． 【答案】16672000 【解析】根据题意，{}11000A x N x *=∈≤≤，且,a b A ∈，要使得13a b >，即：13
a b >，分类讨论当1,2,3a =时，对应的b 的值，得出所有取法，即可求出
13a b >的概率. 【详解】解：由题可知，{}11000A x N x *=∈≤≤，且,a b A ∈， 要使得13a b >，即：13
a b >，则有： 当1a =时，1b =或2，有2种取法；
当2a =时，b 的取值增加3、4、5，有2+3种取法；
当3a =时，b 的取值增加6、7、8，有223+⨯种取法；
当333a =时，b 有23323+⨯种取法；
当3341000a ≤≤时，b 都有1000种取法. 故()()()2223223233236671000131000a P b ++++⨯+++⨯+⨯⎛⎫>= ⎪⎝⎭
()2333216636671000166710002000
⨯+⨯+⨯==. 故答案为：16672000
. 【点睛】本题考查古典概型求概率，考查分类讨论思想和计算能力.
三、解答题
16．已知函数()2f x x ax b =-+.
（1）若,a b 都是从集合{}0,1,2,3中任取的一个数，求函数()f x 有零点的概率； （2）若,a b 都是从区间[]0,3上任取的一个数，求()10f >成立的概率.
【答案】（1）7()16P A =（2）7()9P B =． 【详解】试题分析：（1）本题为古典概型且基本事件总数为4416⨯=个，函数()f x 有零点即240a b ∆=-≥即24a b ≥，数出满足条件的时间数目7个；故概率为716
．（2）由条件知是两个变量，且事件个数有无穷个，故为几何概型，找到总事件表示的区域和题干条件满足的条件，根据面积之比得到结果.
解析：
（1）,a b 都是从集合{}0,1,2,3中任取的一个数∴本题为古典概型且基本事件总数为4416⨯=个，设“函数()f x 有零点”为事件A
则240A a b ⇔∆=-≥即24a b ≥，包含()()()()()()0,0,2,0,2,1,3,0,3,1,3,27个基本事件，()716
P A ∴=. （2）,a b 都是从区间[]0,3上任取的一个数∴本题为集合概型且所有基本事件的区域为如图所示矩形OABC ，
设“函数()0f x >”为事件B 则()110B f a b ⇔=-+>，即1b a >-，
B ∴包含的基本事件构成的区域为图中阴影部分
()1332272339
P B ⨯-⨯⨯∴==⨯.
17．某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试，先从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照
[)[)[]50,60,60,70,...,90,100分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）
（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计50名学生的成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次成绩不低于70分的人数.
【答案】（1）0.02x =；中位数为
220
3
；平均数为74（2）1200 【解析】（1）由频率分布直方图求出第4组的频率，从而得到0.02x =，从而可估计所抽取的50名学生成绩的平均数和中位数；
（2）先求出50名学生中成绩不低于70分的频率为0.6，由此可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数.
【详解】（1）由频率分布直方图得，第4组的频率为为
1(0.010.030.030.01)100.2-+++⨯= 则0.02x =
故可抽到50名学生成绩的平均数为
(550.01650.03750.03850.02950.01)1074⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=
由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=前三组的频率之和为0.10.30.30.7++=， 故中位数在第3组.
设中位数为t 分，则有()700.030.1t -⨯=，则220
3
t = 即所求中位数为
220
3
（2）由（1）知50学生中不低于70分的的频率为0.30.20.10.6++=，用用样本估计总体，可估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为20000.61200⨯= 【点睛】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，频率分布直方图坐标轴的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.
18．从2020年1月起，我国各地暴发了新型冠状病毒肺炎疫情，某市疫情监控机构统计了2月11日到15日每天新增病例的情况，统计数据如下表：
2月x 日
11 12 13 14 15
其中2月11日这一天新增的25人中有男性15人，女性10人．
(1)为了调查病毒的某项特征，对2月11日这一天的25人按性别分层抽取5人，求男性、女性分别被抽取的人数．
(2)疫情监控机构从这五天的数据中抽取四天的数据作线性回归分析，若抽取的是12，13，14，15日这四天的数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+． （在线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中，()()
()
1
1
2
2
2
1
1
ˆn n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nxy x x y y b x
nx
x x ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-．）
【答案】(1)男性被抽取3人，女性被抽取2人
(2)ˆ 1.49.6y
x =+ 【分析】（1）先计算抽样比
5
25
，再利用男性与女性人数乘以抽样比即可求解； （2）先由表格中的数据计算x 、y ，再由公式计算b 和a 的值，即可求出回归直线的方程；
【详解】(1)由题意知2月11日这一天新增的25人中有男性15人，女性10人， 按性别分层抽取5名，则男性被抽取的人数为5
15325
⨯=， 女性被抽取的人数为5
10225
⨯
=． (2)由题可知13.5x =，28.5y =，
2222
( 1.5)( 2.5)(0.5)0.50.5(0.5) 1.5 2.5 1.4( 1.5)(0.5)0.5ˆ 1.5b
-⨯-+-⨯+⨯-+⨯==-+-++， 28.5 1.413.59.6a y bx =-=-⨯=，
所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.49.6y
x =+． 19．已知某曲线C 的参数方程为2x cos y sin ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数）．
（Ⅰ）若(),P x y
是曲线C 上的任意一点，求2x y +的最大值；
（Ⅱ）已知过C 的右焦点F ，且倾斜角为02παα⎛
⎫≤< ⎪⎝
⎭的直线l 与C 交于,D E 两点，设
线段DE 的中点为M 11FM FE FD ⎫
+=⎪⎪⎝⎭
时，求直线l 的普通方程．
【答案】（Ⅰ
）（Ⅱ
20y -=．
【分析】（Ⅰ
）由2224x y cos sin πϕϕϕ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝
⎭，利用三角函数性质计算求解
即可；
（Ⅱ）曲线C 化为普通方程为22
14x y +=，设直线l
的参数方程为sin x tcos y t αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为
参数），联立，由直线参数方程的几何意义可知，121212||1111
||||||||||
t t EF FD t t t t -+=+=，12
2
t t FM +=
，利用韦达定理化简计算即可求得结果. 【详解】解：（Ⅰ）依题意得2x cos ϕ=，sin y ϕ=，
2224x y cos sin πϕϕϕ⎛
⎫+=+=+ ⎪⎝
⎭，
当2,4
2
k k Z ππϕπ=+
∈+
，
即24k π
ϕπ=+
时，,14k Z sin πϕ⎛
⎫∈+= ⎪⎝
⎭，
2x y +
的最大值为
（Ⅱ）2x cos ϕ=，sin y ϕ=，
由于2
2
1cos sin ϕϕ+=，整理得2
214x y +=．
由直线l 的倾斜角为02παα⎛
⎫≤< ⎪⎝
⎭
，依题意易知：)
F
，
可设直线l
的参数方程为sin x tcos y t α
α⎧=⎪⎨=⎪⎩
（t 为参数），
代2214
x y +=得到：(
)22
1310sin t αα++-=， 易知()22
12413160cos sin αα∆=++=>，
设点D 和点E 对应的参数为1t 和2t ，
所以12t t +=
，12
21013t t sin α=-<+， 则
122413t t sin α
-=+，
由参数的几何意义：
121212||1111
4||||||||||
t t EF FD t t t t -+=+==，
11||||EF FD ⎫+=⎪⎝⎭02πα≤<，
122t t FM +=
== 所以2
3
cos α=
，
所以直线l ，
直线l 20y -．
【点睛】关键点睛：本题利用直线参数方程中t 的几何意义解题，关键是能够根据参数t 的几何意义将已知弦长用韦达定理的形式表示.
20．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、
、第100站，共
101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，
棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）． (1)求0P 、1P 、2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ；
(2)求证：{}()11
,2,,99n n P P n --=为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率． 【答案】(1)01P =，112P =，234P =，()1211
2,3,,9922
n n n P P P n --=+=且100981
2
P P =
. (2)证明见解析 (3)10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】（1）根据题意可直接求得0P 、1P 、2P ，然后讨论棋子跳到第()299n n ≤≤站，所包括两种情形，可得出n P 关于2n P -和1n P -的表达式； （2）计算得出()1121
2
n n n n P P P P ----=-
-，结合等比数列的定义可证得结论成立； （3）求得112n
n n P P -⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，利用累加法可求得99P ，即可得解.
【详解】(1)解：棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =，
棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为1
2，所以11
2
P =
； 棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为12；②前两次
掷骰子都出现奇数点，其概率为14
，所以2113
244P =+=；
棋子跳到第()299n n ≤≤站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为21
2
n P -；
②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为11
2
n P -，
故()1211
2,3,,9922
n n n P P P n --=
+=，
棋子跳到100站只有一种情况，棋子先跳到第98站，又掷骰子出现偶数点，其概率为
9812
P ，所以，100
981
2P P =. (2)证明：由（1）可得()11212111
222n n n n n n P P P P P P ------=-+=--且10
12
P P -=-， 所以，数列{}()11
,2,,99n n P P n --=为等比数列，且公比为12
-.
(3)解：由（2）可知1
1111222n n
n n P P --⎛⎫
⎛⎫-=-⋅-=- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以，()()()2
99
990102199981111222P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+-+-++-=+-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
100
10011212113212
⎛⎫-- ⎪
⎛⎫⎝
⎭
==- ⎪⎝⎭
+. 所以，玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现1n n a a m -=+时，构造等差数列； （2）当出现1n n a xa y -=+时，构造等比数列； （3）当出现()1n n a a f n -=+时，用累加法求解； （4）当出现()1
n
n a f n a -=时，用累乘法求解.。