工程数学线性代数课后答案 同济第五版
工程数学线性代数课后答案__同济第五版
9设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值
证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1
因为|A｜等于所有特征值之积又|A｜1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值
10设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值
证明设x是AB的对应于0的特征向量则有
类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量
由于（nr）(nt）n(nrt）n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使
k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0
记k1a1k2a2knranr（l1b1l2b2lnrbnr)
P[diag（1510）5diag（159）]P1
Pdiag（40)P1
。
(2)设 ，求(A）A106A95A8
解求得正交矩阵为
使得P1APdiag（115)APP1于是
（A）P（）P1P(106958)P1
P[8(E）（5E)]P1
Pdiag(1158）diag(204）diag（640）P1
Pdiag（1200）P1
(1）f2x123x223x334x2x3
解二次型的矩阵为 由
得A的特征值为122531
当12时,解方程(A2E)x0由
得特征向量(100）T取p1(100）T
当25时解方程（A5E）x0由
得特征向量(011)T取 。
当31时解方程(AE）x0，由
得特征向量（011）T取
于是有正交矩阵T(p1p2p3)和正交变换xTy使
（AE）p0，即 ，
工程数学线性代数课后答案__同济第五版
向量 p2 就是对应
于特征值 21 的特征值向量 对于特征值 39 由
A
9E
8 2 3
2 8
3
333 ~ 001
1 1 0
1201
得方程(A9E)x0 的基础解系 p3(1/2 1/2 1)T
应于特征值 39 的特征值向量
向量 p3 就是对
(3)
0 0
10
0 0 1 0
0 1 0 0
10 00
E
所以 H 是正交矩阵
4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵
证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A1AT B1BT
(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE
故 AB 也是正交阵
5 求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)
2 5 1
1 3
0
223 ;
2 1 2 解 | AE| 5 3 3 ( 1)3
9 设 A 为正交阵 且|A|1 证明 1 是 A 的特征值
证明 因为 A 为正交矩阵 所以 A 的特征值为1 或 1
因为|A|等于所有特征值之积 又|A|1 所以必有奇数个特
征值为1 即 1 是 A 的特征值
10 设 0 是 m 阶矩阵 AmnBnm 的特征值 证明 也是 n
阶矩阵 BA 的特征值
k1a1k2a2 knranrl1b1l2b2 lnrbnr0
记
k1a1k2a2 knranr(l1b1l2b2 lnrbnr)
则 k1 k2 knr 不全为 0 否则 l1 l2 lnt 不全为
0而
l1b1l2b2 lnrbnr0
与 b1 b2 bnt 线性无关相矛盾
因此 0
工程数学线性代数课后答案--同济第五版
p1(0 1 1)T p2(1 1 1)T p3(1 1 0)T 求 A.
解 令 P(p1 p2 p3) 则 P1APdiag(2 2 1) APP1
因为
P1
0 1 1
1 1 1
1101
1 1 0
1 1 1
101
所以
A
PP1
0 1 1
1 1 1
110
2 0 0
0 2 0
100101
1 1 1
所以 H 是正交矩阵
4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵
证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A1AT B1BT
故 AB 也是正交阵
(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE
5 求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)
2 5 1
1 3
0
223 ;
2 1 2 解 | AE| 5 3 3 ( 1)3
6 设 A 为 n 阶矩阵 证明 AT 与 A 的特征值相同 证明 因为
|ATE||(AE)T||AE|T|AE| 所以 AT 与 A 的特征多项式相同 从而 AT 与 A 的特征值相同
7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A)R(B)n 证明 A 与 B 有公共的特征值 有公 共的特征向量
证明 设 R(A)r R(B)t 则 rtn 若 a1 a2 anr 是齐次方程组 Ax0 的基础解系 显然它们是 A 的对应于特 征值0 的线性无关的特征向量
(AE)p0
即
2 5 1
1 a
b
2 3 2
111
000
解之得 1 a3 b0
(2)问 A 能不能相似对角化？并说明理由
解由
工程数学线性代数(同济大学第五版)课后习题答案【精品共223页文档
223
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
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工程数学线性代数(同济大学 第五版)课后习题答案【精品
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
{教育管理}工程数学线性代数课后答案同济五版
{教育管理}⼯程数学线性代数课后答案同济五版{教育管理}⼯程数学线性代数课后答案同济五版第五章相似矩阵及⼆次型1.试⽤施密特法把下列向量组正交化:(1) ;解根据施密特正交化⽅法,,,.(2) .解根据施密特正交化⽅法,,,.2.下列矩阵是不是正交阵:(1);解此矩阵的第⼀个⾏向量⾮单位向量,故不是正交阵.(2) .解该⽅阵每⼀个⾏向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵. 3.设x为n维列向量,x T x=1,令H=E-2xx T,证明H是对称的正交阵.证明因为H T=(E-2xx T)T=E-2(xx T)T=E-2(xx T)T=E-2(x T)T x T=E-2xx T,所以H是对称矩阵.因为H T H=HH=(E-2xx T)(E-2xx T)=E-2xx T-2xx T+(2xx T)(2xx T)=E-4xx T+4x(x T x)x T=E-4xx T+4xx T=E,所以H是正交矩阵.4.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵.证明因为A,B是n阶正交阵,故A-1=A T,B-1=B T,(AB)T(AB)=B T A T AB=B-1A-1AB=E,故AB也是正交阵.5.求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);解,故A的特征值为λ=-1(三重).对于特征值λ=-1,由,得⽅程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.(2);解,故A的特征值为λ1=0,λ2=-1,λ3=9.对于特征值λ1=0,由,得⽅程Ax=0的基础解系p1=(-1,-1,1)T,向量p1是对应于特征值λ1=0的特征值向量.对于特征值λ2=-1,由,得⽅程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1,1,0)T,向量p2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量.对于特征值λ3=9,由,得⽅程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2,1/2,1)T,向量p3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.(3).解,故A的特征值为λ1=λ2=-1,λ3=λ4=1.对于特征值λ1=λ2=-1,由,得⽅程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,0,0,-1)T,p2=(0,1,-1,0)T,向量p1和p2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性⽆关特征值向量.对于特征值λ3=λ4=1,由,得⽅程(A-E)x=0的基础解系p3=(1,0,0,1)T,p4=(0,1,1,0)T,向量p3和p4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性⽆关特征值向量. 6.设A为n阶矩阵,证明A T与A的特征值相同.证明因为|A T-λE|=|(A-λE)T|=|A-λE|T=|A-λE|,所以A T与A的特征多项式相同,从⽽A T与A的特征值相同.7.设n阶矩阵A、B满⾜R(A)+R(B)证明设R(A)=r,R(B)=t,则r+t若a1,a2,,a n-r是齐次⽅程组Ax=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性⽆关的特征向量.类似地,设b1,b2,,b n-t是齐次⽅程组Bx=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值λ=0的线性⽆关的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,,a n-r,b1,b2,,b n-t必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,,k n-r,l1,l2,,l n-t,使k1a1+k2a2++k n-r a n-r+l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0.记γ=k1a1+k2a2++k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2++l n-r b n-r),则k1,k2,,k n-r不全为0,否则l1,l2,,l n-t不全为0,⽽l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0,与b1,b2,,b n-t线性⽆关相⽭盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意⼀个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是⽅程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.因为|A|等于所有特征值之积,⼜|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m?n B n?m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA 的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(Bx)=λ(Bx),从⽽λ是BA的特征值,且Bx是BA的对应于λ的特征向量.11.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3,求|A3-5A2+7A|.解令?(λ)=λ3-5λ2+7λ,则?(1)=3,?(2)=2,?(3)=3是?(A)的特征值,故|A3-5A2+7A|=|?(A)|=?(1)×?(2)×?(3)=3?2?3=18.12.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,求|A*+3A+2E|.解因为|A|=1?2?(-3)=-6≠0,所以A可逆,故A*=|A|A-1=-6A-1,A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.令?(λ)=-6λ-1+3λ2+2,则?(1)=-1,?(2)=5,?(-3)=-5是?(A)的特征值,故|A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|?(A)|=?(1)×?(2)×?(-3)=-1?5?(-5)=25.13.设A、B都是n阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA相似.证明取P=A,则P-1ABP=A-1ABA=BA,即AB与BA相似.14.设矩阵可相似对⾓化,求x.解由,得A的特征值为l1=6,l2=l3=1.因为A可相似对⾓化,所以对于l2=l3=1,齐次线性⽅程组(A-E)x=0有两个线性⽆关的解,因此R(A-E)=1.由知当x=3时R(A-E)=1,即x=3为所求.15.已知p=(1,1,-1)T是矩阵的⼀个特征向量.(1)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值;解设l是特征向量p所对应的特征值,则(A-lE)p=0,即,解之得l=-1,a=-3,b=0.(2)问A能不能相似对⾓化？并说明理由.解由,得A的特征值为λ1=λ2=λ3=1.由知R(A-E)=2,所以齐次线性⽅程组(A-E)x=0的基础解系只有⼀个解向量.因此A不能相似对⾓化.16.试求⼀个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对⾓阵: (1);解将所给矩阵记为A.由=(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩阵A的特征值为λ1=-2,λ2=1,λ3=4.对于λ1=-2,解⽅程(A+2E)x=0,即,得特征向量(1,2,2)T,单位化得.对于λ2=1,解⽅程(A-E)x=0,即,得特征向量(2,1,-2)T,单位化得.对于λ3=4,解⽅程(A-4E)x=0,即,得特征向量(2,-2,1)T,单位化得.于是有正交阵P=(p1,p2,p3),使P-1AP=diag(-2,1,4).(2) .解将所给矩阵记为A.由=-(λ-1)2(λ-10),得矩阵A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=10.对于λ1=λ2=1,解⽅程(A-E)x=0,即,得线性⽆关特征向量(-2,1,0)T和(2,0,1)T,将它们正交化、单位化得,.对于λ3=10,解⽅程(A-10E)x=0,即,得特征向量(-1,-2,2)T,单位化得.于是有正交阵P=(p1,p2,p3),使P-1AP=diag(1,1,10).17.设矩阵与相似,求x,y;并求⼀个正交阵P,使P-1AP=Λ.解已知相似矩阵有相同的特征值,显然λ=5,λ=-4,λ=y是Λ的特征值,故它们也是A的特征值.因为λ=-4是A的特征值,所以,解之得x=4.已知相似矩阵的⾏列式相同,因为,,所以-20y=-100,y=5.对于λ=5,解⽅程(A-5E)x=0,得两个线性⽆关的特征向量(1,0,-1)T,(1,-2,0)T.将它们正交化、单位化得,.对于λ=-4,解⽅程(A+4E)x=0,得特征向量(2,1,2)T,单位化得.于是有正交矩阵,使P-1AP=Λ.18.设3阶⽅阵A的特征值为λ1=2,λ2=-2,λ3=1;对应的特征向量依次为p1=(0,1,1)T,p2=(1,1,1)T,p3=(1,1,0)T,求A.解令P=(p1,p2,p3),则P-1AP=diag(2,-2,1)=Λ,A=PΛP-1.因为,所以.19.设3阶对称阵A的特征值为λ1=1,λ2=-1,λ3=0;对应λ1、λ2的特征向量依次为p1=(1,2,2)T,p2=(2,1,-2)T,求A.解设,则Ap1=2p1,Ap2=-2p2,即,---①.---②再由特征值的性质,有x1+x4+x6=λ1+λ2+λ3=0.---③由①②③解得,,,,.令x6=0,得,x2=0,,,.因此.20.设3阶对称矩阵A的特征值λ1=6,λ2=3,λ3=3,与特征值λ1=6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T,求A.解设.因为λ1=6对应的特征向量为p1=(1,1,1)T,所以有,即---①.λ2=λ3=3是A的⼆重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知R(A-3E)=1.利⽤①可推出.因为R(A-3E)=1,所以x2=x4-3=x5且x3=x5=x6-3,解之得x2=x3=x5=1,x1=x4=x6=4.因此.21.设a=(a1,a2,,a n)T,a1≠0,A=aa T.(1)证明λ=0是A的n-1重特征值;证明设λ是A的任意⼀个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则有Ax=λx,λ2x=A2x=aa T aa T x=a T aAx=λa T ax,于是可得λ2=λa T a,从⽽λ=0或λ=a T a.设λ1,λ2,,λn是A的所有特征值,因为A=aa T的主对⾓线性上的元素为a12,a22,,a n2,所以a12+a22++a n2=a T a=λ1+λ2++λn,这说明在λ1,λ2,,λn中有且只有⼀个等于a T a,⽽其余n-1个全为0,即λ=0是A的n-1重特征值.(2)求A的⾮零特征值及n个线性⽆关的特征向量.解设λ1=a T a,λ2==λn=0.因为Aa=aa T a=(a T a)a=λ1a,所以p1=a是对应于λ1=a T a的特征向量.对于λ2==λn=0,解⽅程Ax=0,即aa T x=0.因为a≠0,所以a T x=0,即a1x1+a2x2++a n x n=0,其线性⽆关解为p2=(-a2,a1,0,,0)T,p3=(-a3,0,a1,,0)T,,p n=(-a n,0,0,,a1)T.因此n个线性⽆关特征向量构成的矩阵为.22.设,求A100.解由,得A的特征值为λ1=1,λ2=5,λ3=-5.对于λ1=1,解⽅程(A-E)x=0,得特征向量p1=(1,0,0)T.对于λ1=5,解⽅程(A-5E)x=0,得特征向量p2=(2,1,2)T.对于λ1=-5,解⽅程(A+5E)x=0,得特征向量p3=(1,-2,1)T.令P=(p1,p2,p3),则P-1AP=diag(1,5,-5)=Λ,A=PΛP-1,A100=PΛ100P-1.因为Λ100=diag(1,5100,5100),,所以.23.在某国,每年有⽐例为p的农村居民移居城镇,有⽐例为q的城镇居民移居农村,假设该国总⼈⼝数不变,且上述⼈⼝迁移的规律也不变.把n年后农村⼈⼝和城镇⼈⼝占总⼈⼝的⽐例依次记为x n和y n(x n+y n=1).(1)求关系式中的矩阵A;解由题意知x n+1=x n+qy n-px n=(1-p)x n+qy n,y n+1=y n+px n-qy n=px n+(1-q)y n,可⽤矩阵表⽰为,因此.(2)设⽬前农村⼈⼝与城镇⼈⼝相等,即,求.解由可知.由,得A的特征值为λ1=1,λ2=r,其中r=1-p-q.对于λ1=1,解⽅程(A-E)x=0,得特征向量p1=(q,p)T.对于λ1=r,解⽅程(A-rE)x=0,得特征向量p2=(-1,1)T.令,则P-1AP=diag(1,r)=Λ,A=PΛP-1,A n=PΛn P-1.于是,.24.(1)设,求?(A)=A10-5A9;解由,得A的特征值为λ1=1,λ2=5.对于λ1=1,解⽅程(A-E)x=0,得单位特征向量.对于λ1=5,解⽅程(A-5E)x=0,得单位特征向量.于是有正交矩阵,使得P-1AP=diag(1,5)=Λ,从⽽A=PΛP-1,A k=PΛk P-1.因此(A)=P(Λ)P-1=P(Λ10-5Λ9)P-1=P[diag(1,510)-5diag(1,59)]P-1=P diag(-4,0)P-1.(2)设,求?(A)=A10-6A9+5A8.解求得正交矩阵为,使得P-1AP=diag(-1,1,5)=Λ,A=PΛP-1.于是(A)=P(Λ)P-1=P(Λ10-6Λ9+5Λ8)P-1=P[Λ8(Λ-E)(Λ-5E)]P-1=P diag(1,1,58)diag(-2,0,4)diag(-6,-4,0)P-1=P diag(12,0,0)P-1.25.⽤矩阵记号表⽰下列⼆次型:(1)f=x2+4xy+4y2+2xz+z2+4yz;解.(2)f=x2+y2-7z2-2xy-4xz-4yz;解.(3)f=x12+x22+x32+x42-2x1x2+4x1x3-2x1x4+6x2x3-4x2x4.解.26.写出下列⼆次型的矩阵:(1) ;解⼆次型的矩阵为.(2) .解⼆次型的矩阵为.27.求⼀个正交变换将下列⼆次型化成标准形:(1)f=2x12+3x22+3x33+4x2x3;解⼆次型的矩阵为.由,得A的特征值为λ1=2,λ2=5,λ3=1.当λ1=2时,解⽅程(A-2E)x=0,由,得特征向量(1,0,0)T.取p1=(1,0,0)T.当λ2=5时,解⽅程(A-5E)x=0,由,得特征向量(0,1,1)T.取.当λ3=1时,解⽅程(A-E)x=0,由,得特征向量(0,-1,1)T.取.于是有正交矩阵T=(p1,p2,p3)和正交变换x=Ty,使f=2y12+5y22+y32.(2)f=x12+x22+x32+x42+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4.解⼆次型矩阵为.由,得A的特征值为λ1=-1,λ2=3,λ3=λ4=1.当λ1=-1时,可得单位特征向量.当λ2=3时,可得单位特征向量.当λ3=λ4=1时,可得线性⽆关的单位特征向量,.于是有正交矩阵T=(p1,p2,p3,p4)和正交变换x=Ty,使f=-y12+3y22+y32+y42.28.求⼀个正交变换把⼆次曲⾯的⽅程3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1化成标准⽅程.解⼆次型的矩阵为.由,得A的特征值为λ1=2,λ2=11,λ3=0,.对于λ1=2,解⽅程(A-2E)x=0,得特征向量(4,-1,1)T,单位化得.对于λ2=11,解⽅程(A-11E)x=0,得特征向量(1,2,-2)T,单位化得.对于λ3=0,解⽅程Ax=0,得特征向量(0,1,1)T,单位化得.于是有正交矩阵P=(p1,p2,p3),使P-1AP=diag(2,11,0),从⽽有正交变换,使原⼆次⽅程变为标准⽅程2u2+11v2=1.29.明:⼆次型f=x T Ax在||x||=1时的最⼤值为矩阵A的最⼤特征值. 证明A为实对称矩阵,则有⼀正交矩阵T,使得TAT-1=diag(λ1,λ2,,λn)=Λ成⽴,其中λ1,λ2,,λn为A的特征值,不妨设λ1最⼤.作正交变换y=Tx,即x=T T y,注意到T-1=T T,有f=x T Ax=y T TAT T y=y TΛy=λ1y12+λ2y22++λn y n2.因为y=Tx正交变换,所以当||x||=1时,有||y||=||x||=1,即y12+y22++y n2=1.因此f=λ1y12+λ2y22++λn y n2≤λ1,⼜当y1=1,y2=y3==y n=0时f=λ1,所以f max=λ1.30.⽤配⽅法化下列⼆次形成规范形,并写出所⽤变换的矩阵.(1)f(x1,x2,x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3;解f(x1,x2,x3)=x12+3x22+5x32+2x1x2-4x1x3=(x1+x2-2x3)2+4x2x3+2x22+x32=(x1+x2-2x3)2-2x22+(2x2+x3)2.令,即,⼆次型化为规范形f=y12-y22+y32,所⽤的变换矩阵为.(2)f(x1,x2,x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3;解f(x1,x2,x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3=(x1+x3)2+x32+2x2x3;=(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2.令,即,⼆次型化为规范形f=y12-y22+y32,所⽤的变换矩阵为.(3)f(x1,x2,x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3.解f(x1,x2,x3)=2x12+x22+4x32+2x1x2-2x2x3..令,即,⼆次型化为规范形f=y12+y22+y32,所⽤的变换矩阵为.31.设f=x12+x22+5x32+2ax1x2-2x1x3+4x2x3为正定⼆次型,求a.解⼆次型的矩阵为,其主⼦式为a11=1,,.因为f为正主⼆次型,所以必有1-a2>0且-a(5a+4)>0,解之得. 32.判别下列⼆次型的正定性: (1)f=-2x12-6x22-4x32+2x1x2+2x1x3;解⼆次型的矩阵为.因为,,,所以f为负定.(2)f=x12+3x22+9x32+19x42-2x1x2+4x1x3+2x1x4-6x2x4-12x3x4.解⼆次型的矩阵为.因为,,,,所以f为正定.33.证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=U T U,即A与单位阵E合同.。
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31 43
2 下列矩阵是不是正交阵:
67
1
(1)
1 2 1 3
1 2 1
1 2
1 3 1 2
;
1
解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵
(2)
1 9 8 9 4 9
8 9 1 9
4 9
4 9 4 9 7 9
解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为正交阵
或
BA(B x)(Bx)
从而是 BA 的特征值 且 Bx 是 BA 的对应于的特征向量
11 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A35A27A|
解 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3 是(A)的特征值 故
|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318 12 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A*3A2E|
们也是 A 的特征值 因为4 是 A 的特征值 所以
74
5 2 4 | A 4E| 2 x 4 2 9(x 4)0
4 2 5
解之得 x4
已知相似矩阵的行列式相同 因为
1 2 4
5
| A| 2 4 2 100 || 4 20y
4 2 1
y
所以20y100 y5 对于5 解方程(A5E)x0 得两个线性无关的特征向量(1 0 1)T (1 2
解 因为|A|12(3)60 所以 A 可逆 故
A*|A|A16A1
71
A*3A2E6A13A2E 令()61322 则(1)1 (2)5 (3)5 是(A)的特征值 故
|A*3A2E||6A13A2E||(A)| (1)(2)(3)15(5)25
13 设 A、B 都是 n 阶矩阵 且 A 可逆 证明 AB 与 BA 相
70
类似地 设 b1 b2 bnt 是齐次方程组 Bx0 的基础解系 则它们是 B 的对应
于特征值0 的线性无关的特征向量
由于(nr)(nt)n(nrt)n 故 a1 a2 anr b1 b2 bnt 必线性相关 于
是有不全为 0 的数 k1 k2 knr l1 l2 lnt 使
k1a1k2a2 knranrl1b1l2b2 ln 0 0
故 A 的特征值为121 341 对于特征值121 由
1 0 0 1 1 0 0 1
A
E
0 10
1 1 0
1 1 0
0 10
~
0 00
1 0 0
1 0 0
0 00
得方程(AE)x0 的基础解系 p1(1 0 0 1)T p2(0 1 1 0)T 向量 p1 和 p2 是对
证明 因为 A 为正交矩阵 所以 A 的特征值为1 或 1
因为|A|等于所有特征值之积 又|A|1 所以必有奇数个特征值为1 即
1 是 A 的特征值
10 设0 是 m 阶矩阵 AmnBnm 的特征值 证明也是 n 阶矩阵 BA 的特征值
证明 设 x 是 AB 的对应于0 的特征向量 则有
于是
(AB)xx B(AB)xB(x)
3 设 x 为 n 维列向量 xTx1 令 HE2xxT 证明 H 是对称的正交阵
证明 因为
HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)T E2(xT)TxTE2xxT
所以 H 是对称矩阵
因为
HTHHH(E2xxT)(E2xxT) E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT) E4xxT4x(xTx)xT E4xxT4xxT E
得特征向量(1
2 2)T
单位化得
p3
1 3
(1,
2,
2)T
于是有正交阵 P(p1 p2 p3) 使 P1APdiag(1 1 10)
17
设矩阵
A
1 2 4
2 x 2
124
与
5
4
y
相似
求 x
y
并求一个正
交阵 P 使 P1AP
解 已知相似矩阵有相同的特征值 显然5 4 y 是的特征值 故它
3 3 6
故 A 的特征值为10 21 39 对于特征值10 由
A132
2 1 3
633 ~ 100
2 1 0
3 10
得方程 Ax0 的基础解系 p1(1 1 1)T 向量 p1 是对应于特征值10 的特征值向
量.
对于特征值21, 由
A
E
2 2 3
2 2 3
733~002
2 0 0
103
得方程(AE)x0 的基础解系 p2(1 1 0)T 向量 p2 就是对应于特征值21 的特
值 有公共的特征向量
8 设 A23A2EO 证明 A 的特征值只能取 1 或 2
证明 设是 A 的任意一个特征值 x 是 A 的对应于的特征向量 则
(A23A2E)x2x3x2x(232)x0 因为 x0 所以2320 即是方程2320 的根 也就是说1 或2
9 设 A 为正交阵 且|A|1 证明1 是 A 的特征值
6 设 A 为 n 阶矩阵 证明 AT 与 A 的特征值相同 证明 因为
|ATE||(AE)T||AE|T|AE| 所以 AT 与 A 的特征多项式相同 从而 AT 与 A 的特征值相同
7 设 n 阶矩阵 A、B 满足 R(A)R(B)n 证明 A 与 B 有公共的特征值 有公 共的特征向量
证明 设 R(A)r R(B)t 则 rtn 若 a1 a2 anr 是齐次方程组 Ax0 的基础解系 显然它们是 A 的对应于特 征值0 的线性无关的特征向量
似
证明 取 PA 则
即 AB 与 BA 相似
P1ABPA1ABABA
14
设矩阵 A432
0 1 0
15x 可相似对角化
求 x
解由
2 0 1 | AE| 3 1 x ( 1)2( 6)
4 0 5
得 A 的特征值为 16 231 因为 A 可相似对角化 所以对于 231 齐次线性方程组(AE)x0 有两个
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
第五章 相似矩阵及二次型
1 试用施密特法把下列向量组正交化
(1) (a1, a2, a3) 111
1 2 3
194
解 根据施密特正交化方法
1 b1 a1 11
b2
a2
[b1,a2] [b1,b1]
b1
011
b3
a3
[[bb11,,ab13]]b1
所以 H 是正交矩阵
4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵
证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A1AT B1BT
故 AB 也是正交阵
(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE
5 求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)
2 5 1
1 3
0
223 ;
68
2 1 2 解 | AE| 5 3 3 ( 1)3
(AE)p0
即
2 5 1
1 a
b
2 3 2
111
000
解之得 1 a3 b0
(2)问 A 能不能相似对角化？并说明理由
72
解由
2 1 2 | AE| 5 3 3 ( 1)3
1 0 2
得 A 的特征值为1231 由
A E 151
1 2 b
321~r 100
0 1 0
101
知 R(AE)2 所以齐次线性方程组(AE)x0 的基础解系只有一个解向量 因此 A
[[bb22,,ab23]]b2
1 3
211
1 1 1
(2) (a1,
a2,
a3)
0 1
1
1 0 1
1 01
解 根据施密特正交化方法
1
b1
a1
0 11
1
b2
a2
[b1,a2] [b1,b1]
b1
1 3
3 21
b3
a3
[b1,a3] [b1,b1]
b1
[b2,a3] [b2,b2]
b2
1 5
征值向量
对于特征值39 由
A9E 283
2 8
3
333
~01 0
1 1 0
1201
69
得方程(A9E)x0 的基础解系 p3(1/2 1/2 1)T 向量 p3 就是对应于特征值39 的 特征值向量
(3)
00 10
0 0 1 0
0 1 0 0
10 00
.
0 0 1
解
| AE|
0 0
1 1
0 0
线性无关的解 因此 R(AE)1 由
(A E)143
0 0 0
14x~r
1 0 0
0 0 0
x 10 3
知当 x3 时 R(AE)1 即 x3 为所求
2 1 2
15
已知
p(1
1
1)T
是矩阵
A
5 1
a b
32 的一个特征向量
(1)求参数 a b 及特征向量 p 所对应的特征值
解 设 是特征向量 p 所对应的特征值 则
3 5 4
233
19 设 3 阶对称阵 A 的特征值为11 21 30 对应1、2 的特征向量依
次为 p1(1 2 2)T p2(2 1 2)T 求 A
75
解
设
A
x1 x2 x3
x2 x4 x5
x3 x5 x6
则 Ap12p1 Ap22p2