福建省莆田市高二数学下学期期中试题 理(2021年整理)

福建省莆田市2016-2017学年高二数学下学期期中试题理
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福建省莆田市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题（每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1。

如果复数i
z +-=
12
，则（ ） A ．2=z B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为i +1 内的2.函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()'f x 在(),a b 数有
图象如图所示，则函数()f x 在区间(),a b 内的极小值点的个（ ）
A ．4
B ．3
C 。

2
D ．1
3．过点()20P -，的双曲线C 与椭圆221259
x y +=的焦点相同，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）
A ．x y 33±
= B ．x y 3±= C 。

1
2
y x =± D ．2y x =± 4.函数x x x f ln )(=，则（ )
A ．在),0(∞上递增
B ．在),0(∞上递减
C 。

在)1,0(e 上递增
D ．在)1
,0(e
上递减
5.已知函数21()3x f x e x +=-，则(0)f '=（ ) A ．0 B ．2- C ．23e -
D ．3e -
6.已知向量()1,1,0a =,()1,0,2b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．15
C ．35
D ．7
5
的值 为
7。

已知直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM 可表示为（ ）
A ．1122a b c -++
B ．11
22a b c ++
C ．1122a b c --+
D ．11
22
a b c -+
9．()
1
2-1
sin +1x x dx -=⎰（ )
A ．
2π B ．π C 。

4
π
D ．0 10。

函数()x x ax x f ln 421
2--=在区间),1[+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ )
A ．()4,∞-
B ．(]4,∞-
C ．()5,∞-
D ．(]5,∞-
11.椭圆22
1164
x y +=上的一点A 关于原点的对称点为B ，F 为它
的
右焦点，若AF BF ⊥,则AFB ∆的面积是（ ) A ．2 B 。

4 C 。

1 D 。

32
12. 已知函数1
()()ln x f x x e =+,正数,,a b c 满足a b c <<,且()()()0f a f b f c ⋅⋅>，若实数0x 是方程
()0f x =的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )
A ．0x c >
B ．0x b >
C ．0x c <
D ．0x a < 二、填空题（每小题5分，四题共20分。

答案请写在答题卡上)
13。

已知i 为虚数单位,复数i z 2
3
21+-=的共轭复数为z ，则=+z z .
14．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为 ．
15.（重点班）有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则此直线平行于平面内的所有直
线；已知直线//b 平面α,直线a ⊂平面α，则直线//b 直线a ” ．结论显然是错误的，这是因为 .
(1)．大前提错误 （2）．推理形式错误 （3）．小前提错误 （4）．以上都错误 15。

（普通班)函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ．
16。

（重点班）若数列{}n a 是等差数列，对于)(1
21n n a a a n
b +++= ，则数列{}n b 也是等差数列。

类比上述性质,若数列{}n
c 是各项都为正数的等比数列,对于0>n
d ，则n d = 时，数列{}n d 也是等比数列。

16。

(普通班)已知复数z 与(z +1）2
－2i 均是纯虚数,则z = 。

三、解答题（ 共70分,17题10分，18-22各12分，解答时应按要求写出证明过程或演算步
骤．）
17．(本小题满分10分）
(1)若复数2(1)ai +在复平面上对应的点在第四象限,试求实数a 的取值范围． （2）已知z C ∈，2z i +和
2z
i
-都是实数．求复数z ;
18.（本题满分12分）
已知函数2()ln b
f x a x x
=-
在1x =处有极值1． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．
19. （本题满分12分）
如图,四边形ABEF 为矩形，AC BC =，22===FC AF AB ，2=OC ．O 为AB 的中
点 ．
（Ⅰ)求证：ABC FA 平面⊥； (Ⅱ)求二面角F CE B --的余弦值． 20．(本题满分12分)
设抛物线)0(2:2>=p px y C 过点)22,2(-M . （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）过点)0,1(F 作相互垂直的两条直线1l ，2l ,曲线C 与1l 交于点1P ，2P ,与2l 交于点1Q ，2Q 。

证明：
12
121114PP Q Q +=; (Ⅲ)在(Ⅱ）中，我们得到关于抛物线的一个优美结论.请你写出关于椭圆22
:143
x y Γ+=的一
个相类似的结论(不需证明）.
21。

（本题满分12分）
已知()ln f x x ax =-，()a R ∈,2()21g x x x =-++． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的1[1,]x e ∈,总存在2[0,3]x ∈,使12()()f x g x =，求实数a 的取值范围．
22。

（本题满分12分）
如图,111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y （120n y y y <<<<)是曲线C ：23y x =
(0y ≥）上的n 个点，点
轴上，且
(,0)i i A a (1,2,3,
,i n =）在x 轴的正半1i i i A A P -∆是正三角形（0A 是坐标原点)．
(Ⅰ） 写出1a ，2a ,3a ；
（Ⅱ) 猜想点(,0)n n A a (n *∈N ）的横坐标n a 关
于n 的表达式；并加以证明.
考场座位
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高二数学理科答题卷
（考试时间：120分钟 总分：150分） 一 选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案
二 填空题
13
14
15（重点班） (普通班） 16(重点班) (普通班) 三 解答题
17、（本小题10分）
18、（本小题12分）
19、（本小题12分)
20、（本小题12分）
21、（本小题12分）
22、（本小题12分）
2016-2017学年下学期期中考高二（理科）数学 参考答案 一、选择题（共12题,共60分） 题号
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
D
B
D
C
D
C
A
A
B
B
A
二、填空题(共4题，共20分）
13. 1322i - 14. 9
2
15. (1) 16。

*12,n n c c c n N ⋅∈
三、解答题（共6题,共70分）
17．（本小题满分10分）解:（1）由22
2(1)12(1)2ai ai ai a ai +=++
=-+（）， ∵2
()z ai +在复平面上对应的点在第四象限，∴2
1020
a a ⎧->⎨
<⎩,∴10a -<< ∴,即实数a 的取值范围是(1,0)-． …………5分 （2）设∵(,)z m ni m n R =+∈，则2(2)z i m n i +=++，
()(2)2222(2)(2)
5
5
z m ni m ni i m n m n i i
i
i i +++-+===+---+，
∵2z i +和
2z i -都是实数， ∴20
20
5
n m n +=⎧⎪
+⎨=⎪⎩
，解得42m n =⎧⎨=-⎩， ∴42z i =-． …………10分
18。

（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由条件得22()+a b
f x x x
'= 。

因为()f x 在1x =处有极值1，
得(1)=1(1)0f f ⎧⎨'=⎩，即2120
b a b -=⎧⎨+=⎩解得=1a ，1=2b - …………………5分
经验证满足题意. …………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1
()ln f x x x
=+，定义域是()0,+∞
22111
()x f x x x x
-'=-= 由()0f x '>,得1x >;()0f x '<，得01x <<。

………10分所以
函数()f x 的单调减区间是()0,1，单调增区间是()1,+∞ …………………12分 19。

(本题满分12分）（Ⅰ）证明:O 是AB 的中点，故OC AB ⊥． …………1分 因为1AO =，2CO =，所以3AC = 所以222FC FA AC =+即FA AC ⊥ ………3分 因为四边形ABEF 为矩形，所以AF AB ⊥，
又O OC AB =⋂，所以ABC FA 平面⊥． …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ)取EF 的中点D ，以O 为原点,OC ，OB ，OD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),(2,0,0),F E B C - …………6分 从而(2,1,1),(0,2,0),CE EF =-=-
设平面FCE 的法向量(,,)n x y z =，由00
CE n EF n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得(1,0,2)n =，
同理可求得平面CEB 的法向量(1,2,0)m =， …………10分 设,n m 的夹角为θ，则1
cos 3n m
n m =
=θ， …………11分 由于二面角F CE B --为钝二面角，则余弦值为1
3
- …………12分
20．(本题满分12分)解:（Ⅰ）把点)22,2(-M 代入抛物线方程得2=p
所以曲线C 的方程为x y 42=. ……………3分 （Ⅱ)显然直线1l ，2l 的斜率存在且不等于0，
不妨设1l 的方程为()1y k x =-()0k ≠,()111,P x y ，()222,P x y ,
由()
241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()2222240k x k x k -++=， 由韦达定理得:2122
24k x x k
++=，121x x =, ……………5分 因为曲线C 与1l 交于点1P ，2P 且1l 过焦点()1,0F ，
所以12122PP x x =++ 22242k k +=+22
44
k k +=， ……………7分
同理可得2
122
144
1k Q Q k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
=⎛⎫- ⎪⎝⎭
244k =+, ……………8分 所以22212
12111144444k PP Q Q k k +=+=++. ……………9分
（Ⅲ）若1l ,2l 是过椭圆22
:143
x y Γ+=的焦点且相互垂直的两条直线，其中椭圆Γ与1l 交于点1P ，
2P ,与2l 交于点1Q ,2Q ,则
12
12117
12PP Q Q +=。

……………………12分 说明：（只写出
12
1211PP Q Q +为定值，没有指出定值为712扣1分）
21. （本题满分12分）解：(Ⅰ）∵1
()f x a x
'=-（0x >）
∴当0a ≤时，()0f x '>,()f x 单调递增区间为(0,)+∞，没有单调递减区间;……………2分
当0a >时,1(0,)x a ∈时()0f x '>,1
(,)x a
∈+∞时()0f x '<，
∴()f x 单调递增区间为1(0,)a ,单调递减区间为1
(,)a
+∞．………………4分
(Ⅱ）设在区间[1,]e 上()f x 的值域为A ，在[0,3]上()g x 的值域为B, 则依题意A B ⊆ ……………5分
易知()g x 在[0,1]上递增，在[1,3]上递减，max ()(1)2g x g ==，min ()2g x =- ∴[2,2]B =- ………………6分
①当0a ≤时,()f x 在[1,]e 上单调递增,(1)f a =-，()1f e ae =-，[,1]A a ae =-- ∴212
a ae -≥-⎧⎨-≤⎩，得12a e -≤≤∴1
0a e -≤≤
②当1a ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递减，[1,]A ae a =-- 122
ae a -≥-⎧⎨
-≤⎩得32a e -≤≤∴3
1a e ≤≤
③当10a e <≤时，()f x 在[1,]e 上单调递增，可得1
0a e
<≤
④当1
1a e <<时，()f x 在[1,]e 上max ()ln 12f x a =--≤
(1)2f a =-≥-，()12f e ae =-≥-，这时A B ⊆
综上，实数a 的取值范围为13
[,]e e
- ………………………12分
22.【解】（Ⅰ）12a =,26a =,312a =；………………………3分
(Ⅱ）依题意，得12n n n a a x -+=
,132
n n n a a y --=⋅，由此及2
3n
n y x =得 2
1133()22n n n n a a a a ---⎛
⎫⋅=+ ⎪⎝⎭
，即211()2()n n n n a a a a ---=+．………………………5分
由（Ⅰ）可猜想：(1)n a n n =+（n *∈N )．--——-—-————--—-—-—-—--———--—
—-6分
下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立;—---——--—--—--—-—
—7分
（2）假定当n k =时命题成立,即有(1)n a k k =+，--——---—--—8分
则当1n k =+时，由归纳假设及211()2()k k k k a a a a ++-=+得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即
2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=，
解之得1(1)(2)k a k k +=++(1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去），-————-——-—-—-10分 即当1n k =+时,命题成立．——-—--———-—---—11分
由（1)、（2)知：命题成立．………………………12分。