菲翔学校高考数学解答题定时训练15试题

墨达哥州易旺市菲翔学校解答题训练
〔十五〕
1、在ABC ∆中，角
,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(cos
,sin ),22
A A m = (cos
,sin )22B B n =-,且满足1
2
m n ⋅=-。

(1) 求角C 的大小； (2)假设2,5a b
c -==,求ABC ∆的面积.
2、甲、乙两同学进展投篮比赛，每一简每人各投两次球，规定进球数多者该局获胜，进球数一样那么为平局.甲每次投进的概率为2/3乙每次投进的概率为1/2，甲、乙之间的投篮互相HY. (1)求甲、乙两同学进展一场比赛的结果不是平局的概率；
(2)设3局比赛中，甲每局进两球获胜的局数为ξ。

求ξ的分布列及数学期望. 3、如图1,,,E F G 分别是边长为2的正方形ABCD 所在边的中点，
沿EF 将CEF ∆截去后，又沿EG 将多边形折起，使得平面DGEF ⊥平面ABEG 得到如图2所示的多面体.
(1)求证：FG ⊥平面BEF (2)求二面角A BF E --的大小； (3)求多面体ADG BFE -的体积 4、
'()f x 是函数
*
()ln (0,)2n
x f x x x n N =+
>∈的导函数，数列{}n
a 满足11'11,()n a a f x +== (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)假设(21)(21)
n n
n
n a b a --=
，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim()n n n S b →∞+• 17．解〔1〕∵m ·n =2
1
)22cos(2sin 2sin 2cos 2cos -=+-=+-B A B A B A ，………3分 ∴212cos
=+B A ．注意到220π<+<B A ，∴32π
=+B A ，得3
π=C ．………6分
〔2〕由c 2=a 2+b 2
－2ab cos
3
π
，得5=〔a －b 〕2
+ab ，ab =1，………9分
因此△ABC 的面积4
3
sin 21=
=
∆C ab S ABC
．…………………12分 18．解〔1〕设“一局比赛出现平局〞为事件A ， 那么2211
22222112112113()(
)()()()()323323236
P A C C =⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅=
，…………………4分 所以23
()1()36
P A P A =-=，即一局比赛的结果不是平局的概率为2336．………6分
〔2〕设“在一局比赛中甲进两球获胜〞为事件B ． 因为
可取0，1，2，3，…………………7分
所以32
8(0)()327
P ξ===
，123124(1)()339P C ξ==⋅⋅=， 2
23122(2)()339
P C ξ==⋅⋅=，311(3)()327P ξ===
．…………………9分 分布列为
ξ
0 1 2 3 P
27
8
9
4 9
2 271 127
139229412780=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ．…………12分 19．解〔1〕证明∵面DGEF ⊥面ABEG ，且BE ⊥GE ， ∴BE ⊥面DGEF ，得BE ⊥FG ．
又∵GF 2
+EF 2
=〔2〕2
+〔2〕2
=4=EG 2
，
∴∠EFG =90，有EF ⊥FG ．
而BE ∩EF =E ，因此FG ⊥平面BEF ．4分
〔2〕如下列图，建立空间直角坐标系，那么A 〔1，0，0〕，B 〔1，2，0〕，E 〔0，2，0〕，F 〔0，1，1〕，
于是，FA =(1,－1,－1)，FB =(1,1,－1)，FE =(0,1,－1)．
设相交两向量FA 、FB 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，
x
E
F
D
G
B
A z
y
那么由n 1⊥FA ，得x 1－y 1－z 1=0；由n 1⊥FB ，得x 1+y 1－z 1=0． 解得y 1=0，x 1=z 1，因此令n 1=〔1，0，1〕．
事实上，由〔1〕知，平面BEF 的一个法向量为n 2=〔0，1，1〕． 所以cos<n 1,n 2>=
21
1
111111001||||2121=+⋅+⨯+⨯+⨯=⋅⋅n n n n ，两法向量所成的角为3π，
从而图2中二面角A －BF －E 大小为
3
2π
．………………8分 另法如图，补成直三棱柱，利用三垂线定理求出二面角H －
BF －E 的大小为
3
π
，进而求得二面角A －BF －E 的大小为
3
2π． 〔3〕连结BD 、BG 将多面体ADG －BFE 分割成一个四棱 锥B －EFDG 和一个三棱锥D －ABG ，那么多面体的体积
=V B －EFDG +V D －ABG ．
6
5
3121112213111)21(2131=+=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅．………………12分 另法补成直三棱柱或者过F 作ADG 的平行截面FKM ，那么 多面体的体积=V 柱－V F －BEH =
65或者=V 柱+V F －BEMK =6
5
． 解〔1〕∵
n
x x x f 2ln )(+
=，∴n x x f 211)(+='，
结合)
(11n n a f a '=+，可得11211+=
+n n n a a ，
11112n n n a a +∴-=，………………3分 因此)11()11()11()11(111
2232111a a a a a a a a a a n n n n n -+-++-+-=---- =
1221)2
1
(121212121----=++++n n n ， 所以1)2
1(21--=n n a ，即1221-=-n
n n a ，n ∈N *．………………6分 〔2〕111
(21)(2)(21)()2
n n
n b n n a -=-⋅-
=-⋅， 21111
1135()(21)()222n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，
1
2
n S =21111113()(23)()(21)()2222n n n n -⨯+⨯++-⋅+-⋅，
2111111
12[()()](21)()22222
n n n S n -∴=++++--⋅，………………9分 F
D
G
B
E
A
H
113111[1()]1112224(21)()6()(21)()122212
n n n n n S n n -----=+⋅--=---⋅-=12326-+-n n ，
∴6)2
46(lim )(lim 1
=-
=+-∞
→∞
→n n n n n b S ．………………12分。