2020年中考数学考点一遍过 考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系(含解析)

考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
（6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都
分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．
(1)d<r⇔点在⊙O内；
(2)d=r⇔点在⊙O上；
(3)d>r⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
相离相切相交
位
置
关
系
图
形
0个1个2个
公
共
点
个
数
d>r d=r d<r
数
量
关
系
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点．
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．
（3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．
外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的
外切三角形．
内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
考向一圆的基本认识
1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
3．在同一个圆中，直径是最长的弦．
4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．
5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．
典例1下列命题中正确的有
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】A
【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；
②半径不是弦，所以②错误；
③直径是最长的弦，正确；
④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．
1．把圆的半径缩小到原来的1
4
，那么圆的面积缩小到原来的
A．1
2
B．
1
4
C．1
8
D．
1
16
2．半径为5的圆的一条弦长不可能是
A．3 B．5 C．10 D．12
考向二垂径定理
1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．
2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．
典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=
A．3cm B．33cm C．53cm D．63cm
【答案】D
【解析】如图，连接OA，
∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，
∴CD是⊙O的直径，
∵CD⊥AB，
∴AE=BE，OE=3，OA=6，
∴AE2233
-=
OA OE
∴AB=2AE=63
故选D．
典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为
A．2 cm B．3cm
C．23cm D．25cm
【答案】C
【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得OD=1
2
OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=3cm，
根据垂径定理得AB=23cm．
故选C．
3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是
A．3 B．6 C．4 D．8
4．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为851
5
米，
大棚顶点C离地面的高度为2.3米．
（1）求该圆弧形所在圆的半径；
（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？
考向三弧、弦、圆心角、圆周角
1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．
2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．
典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为
A．50°B．20°C．30°D．25°
【答案】D
【解析】∠A=1
2
BOC=
1
2
×50°=25°．
故选D．
典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】B
【解析】如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，
∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，
∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．
5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则»BC的长为
A．10
3
πB．
10
9
πC．
5
9
πD．
5
18
π
6．如图，AB是⊙O的直径，»»»
=
BC CD DE
，∠COD=38°，则∠AEO的度数是
A．52°B．57°C．66°D．78°
考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．
2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．
典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合
【答案】C
【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．故选C．
【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切
C．相交D．无法确定
【答案】B
【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11
2
22
AB=⨯=1，
即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．
7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是
A．在⊙O内B．在⊙O上
C．在⊙O外D．以上都有可能
8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．
考向五切线的性质与判定
有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．
典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，
∴∠PBA=90°，
∵∠PBC=50°，
∴∠ABC=40°．
故选B．
典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为
A．7
8
B．
6
7
C．5
6
D．1
【答案】B
【解析】作EH ⊥AC 于H ，EF ⊥BC 于F ，EG ⊥AB 于G ，连接EB ，EC ，设⊙E 的半径为r ，如图，
∵∠C =90°，AB =5，AC =3，∴BC =
22AB AC -=4，而AD 为中线，∴DC =2，
∵以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切，∴EG =EF =r ，∴HC =r ，AH =3–r ， ∵EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ADC ， ∴EH ∶CD =AH ∶AC ，即EH =233
r -（）
， ∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴
()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴6
7
r =．故选B ．
9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于
C ．小于
D ．不能确定
10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．
求证：（1）DB DC =； （2）DE 为⊙O 的切线．
1．下列关于圆的叙述正确的有
①圆内接四边形的对角互补；
②相等的圆周角所对的弧相等；
③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；
④同圆中的平行弦所夹的弧相等．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD=136°，则∠C的度数是
A．44°B．22°C．46°D．36°
3．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC＋∠EAD=180°，则弦BC的长等于
A．41B．34C．8 D．6
4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则圆心坐标是
A ．点（1，0）
B ．点（2，1）
C ．点（2，0）
D ．点(2．5，1)
5．如图，O e 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为
A ．2
B ．23
C ．4
D ．43
6．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为
A ．32
B ．34
C ．36
D ．38
7．已知在⊙O 中，AB =BC ，且»¼34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．
8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．
9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于
14 cm ，则PA =__________cm ．
10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O
的内接正十边形的一边，»DE的度数为__________．
11．如图，半圆O的直径是AB，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，若∠DEF=60°，则tan∠ABD=__________．
12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果半径的长为3，tan D=3
4
，求AE的长．
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
14．如图1，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是⊙O 外一点且满足∠DCA =∠B ，连接AD ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若AD ⊥CD ，CD =2，AD =4，求直径AB 的长；
（3）如图2，当∠DAB =45°时，AD 与⊙O 交于E 点，试写出AC 、EC 、BC 之间的数量关系并证明．
1．（2019•吉林）如图，在O e 中，»AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为»AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为
A ．30°
B ．45°
C ．55°
D ．60°
2．（2019•贵港）如图，AD 是O e 的直径，»»AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是
A ．40︒
B ．50︒
C ．60︒
D ．70︒
3．（2019•广元）如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，
8AC =，则BD 的长为
A ．25
B ．4
C ．213
D ．4.8
4．（2019•益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是
A ．PA =P
B B ．∠BPD =∠APD
C ．AB ⊥PD
D ．AB 平分PD
5．（2019•福建）如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB
等于
A ．55°
B ．70°
C ．110°
D ．125°
6．（2019•重庆）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为
A ．60°
B ．50°
C ．40°
D ．30°
7．（2019•甘肃）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =
A ．54°
B ．64°
C ．27°
D ．37°
8．（2019•仙桃）如图，AB 为O e 的直径，BC 为O e 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点
E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O e 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④
ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
9．（2019•娄底）如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．
10．（2019•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为__________．
11．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．
（1）求证：∠BAC=2∠CAD；
（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．
12．（2019•河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E 是»BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
①若AB=4，且点E是»BD的中点，则DF的长为__________；
②取»AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．
1．【答案】D
【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的
1
4
后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==
， ∴2
2211π116π16
r
S S r ==
，故选D ． 2．【答案】D
【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，
又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B
【解析】如图，连接OA ，∵O e 的直径为10，5OA ∴=， ∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，1
2
AM AB =
， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．
变式训练
4．【解析】（1）如图所示：
CO ⊥AB 于点D ，
设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2， 则（x –2．3）2+（
8515
×12）2=x 2
，解得x =3． 答：圆弧形所在圆的半径为3米；
（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，
可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN 223 2.4-=1.8（米）， 故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B
【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：
100π210
π1809
⨯=，故选B ．
6．【答案】B
【解析】∵»»»=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°，
∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A
【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA 223 3.823.445+<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．
8．【答案】2
【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，
又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．
【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B
【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．
∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =
12•OB •AH =1
2
•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．
【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，
∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，
∵D 为BC 中点，OA OB =，
∴
OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．
1．【答案】B
【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；
③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B
【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C
【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，
∵∠BAC +∠BAF =180°，∠BAC +∠EAD =180°，∴∠BAF =∠DAE ，∴BF =DE =6， ∵CF 是直径，∴∠ABF =90°，CF =2×5=10， ∴BC 228CF BF -=．故选C ． 4．【答案】C
【解析】根据勾股定理可知A 、B 、C 点到（2，052，0）或者通过AB 、BC 的垂直平分线求解也可以．故选C ． 5．【答案】C
【解析】如图，作直径DE ，连接CE ，
考点冲关
则∠DCE=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，
∴
1
2
DC DE
==4，
故选C．
6．【答案】B
【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．
7．【答案】144°
【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC=144°．
8．【答案】100°
【解析】∵∠B=130°，∴∠D=180°－130°=50°，∴∠AOC=2∠D=100°．故答案为100°．
9．【答案】7
【解析】如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B，∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14（cm）；
∴PA=PB=7cm，故答案是：7．
10．【答案】84︒
【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，
∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，
∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610
AOE ︒
∠=
=︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴»DE 的度数为84°．故答案为：84°．
113
【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°， ∵OD =OB ， ∴∠ABD =∠D =30°， ∴tan ∠ABD 3
故答案为：
33
． 12．【解析】（1）连接OC ，如图．
∵点C 为弧BF 的中点，∴弧BC =弧CF ，∴∠BAC =∠FAC ． ∵OA =OC ，∴∠OCA =∠OAC ， ∴∠OCA =∠FAC ，∴OC ∥AE ．
∵AE ⊥DE ，∴OC ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线； （2）在Rt △OCD 中，∵tan D =
3
4
OC CD =，OC =3， ∴CD =4，∴OD 22OC CD +=5，∴AD =OD +AO =8．
在Rt△ADE中，∵sin D=
3
5
OC AE
OD AD
==，∴AE=
24
5
．
13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，
∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．
14．【解析】（1）如图1，连接OC．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∵∠DCA=∠B，
∴∠DCA=∠OCB，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．
（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．
∴22
2425
AC=+=，
由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD AC
AC AB
=，即
25
25
=，
∴AB=5．
（3）2
AC BC EC
=+，
如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．
∵AB是直径，∠DAB=45°，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
又∵∠EAC=∠EBC，
∴△ECB≌△EFA，∴EF=EC，
∵∠ACE=∠ABE=45°，
∴△FEC是等腰直角三角形，
∴
2FC EC =，
∴2AC AF FC BC EC =+=+．
1．【答案】B
【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B
【解析】∵»»AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1
502
BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C
【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =-=-=，
∵OD AC ⊥，∴1
42
CD AD AC ===， 在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．
4．【答案】D
【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；
∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，
只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B
【解析】如图，连接OA ，OB ，
∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．
直通中考
6．【答案】B
【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，且∠C=40°，∴∠ABC=50°，故选B．
7．【答案】C
【解析】∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°-∠AOC=54°，∵∠CDB=
1
2
∠BOC=27°．故选C．
8．【答案】A
【解析】如图，连接DO．
∵AB为O
e的直径，BC为O
e的切线，∴90
CBO
∠=︒，
∵AD OC
∥，∴DAO COB
∠=∠，ADO COD
∠=∠．
又∵OA OD
=，∴DAO ADO
∠=∠，∴COD COB
∠=∠．
在COD
△和COB
△中，
CO CO
COD COB
OD OB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴COD COB
△≌△，∴90
CDO CBO
∠=∠=︒．又∵点D在O
e上，∴CD是O
e的切线，故①正确，
∵COD COB
△≌△，∴CD CB
=，
∵OD OB
=，∴CO垂直平分DB，即CO DB
⊥，故②正确；
∵AB为O
e的直径，DC为O
e的切线，∴90
EDO ADB
∠=∠=︒，
∴90
EDA ADO BDO ADO
∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO
∠=∠，
∵OD OB
=，∴ODB OBD
∠=∠，∴EDA DBE
∠=∠，
∵E E
∠=∠，∴EDA EBD
△∽△，故③正确；
∵90
EDO EBC
∠=∠=︒，E E
∠=∠，∴EOD ECB
△∽△，
∴
ED OD
BE BC
=，∵OD OB
=，
∴ED BC BO BE
⋅=⋅，故④正确，故选A．
9．【答案】1
【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴11
2122
AD AB ==⨯=． 故答案为：1． 10．【答案】2
【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，
则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =
1
2
CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =2
BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，
∴»»AB AC =，∠ABC =∠ACB ，
∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ， ∵BD ⊥AC ，
∴∠ADB =90°-∠CAD ， ∴
1
2
∠BAC =∠CAD ， ∴∠BAC =2∠CAD ． （2）∵DF =DC ， ∴∠DFC =∠DCF ， ∴∠BDC =2∠DFC ， ∴∠BFC =
12∠BDC =1
2
∠BAC =∠FBC ， ∴CB =CF ， 又BD ⊥AC ，
∴AC 是线段BF 的中垂线，AB =AF =10，AC =10． 又BC =5 设AE =x ，CE =10-x ，
由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，
∴AE=6，BE=8，CE=4，
∴DE=
64
8
AE CE
BE
⋅⨯
==3，
∴BD=BE+DE=3+8=11，
如图，作DH⊥AB，垂足为H，
∵1
2
AB·DH=
1
2
BD·AE，
∴DH=
11633
105 BD AE
AB
⋅⨯
==，
∴BH2244 5
BD DH
-=，
∴AH=AB-BH=10-446 55
=，
∴tan∠BAD=
3311
62 DH
AH
==．
12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，
∴∠DAF=∠DBG，
∵∠ABD+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠BAC=45°，
∴AD=BD，
∴△ADF≌△BDG．
（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，
∵点E是»BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，
∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，
∵FH
BF
=sin∠ABD=sin45°=
2
，
∴
2
2
FD
BF
=，即BF=2FD，
∵AB=4，
∴BD=4cos45°=22，即BF+FD=22，（2+1）FD=22，
∴FD=22
21
+
=4-22，
故答案为：4-22．②连接OH，EH，
∵点H是»AE的中点，∴OH⊥AE，
∵∠AEB=90°，
∴BE⊥AE，
∴BE∥OH，
∵四边形OBEH为菱形，
∴BE=OH=OB=1
2 AB，
∴sin∠EAB=BE
AB
=
1
2
，
∴∠EAB=30°．故答案为：30°．。