2012届高考数学知识三角函数复习讲义

2012届高考数学知识三角函数复习讲义
高中数学复习讲义第三三角函数B
第三角函数的图像和性质（一）
【考点导读】
1能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在，正切函数在上的性质；
2了解函数的实际意义，能画出的图像；
3了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
【基础练习】
1 已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期_____6____；初相__________．
2 三角方程2sin( －x)=1的解集为_______________________．
3 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为
______________________．
4 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移__________个单位．
【范例解析】
例1已知函数．
（Ⅰ）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明的图像可由的图像经过怎样变换而得到．
分析：化为形式．
解：（I）由
．
列表，取点，描图：
1 1 1
故函数在区间上的图象是：
（Ⅱ）解法一：把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，再把的图像上所有点的横坐标缩短为原的（纵坐标不变），得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．
解法二：把图像上所有点的横坐标缩短为原的（纵坐标不变），得到的图像，再把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．
例2已知正弦函数的图像如右图所示．
（1）求此函数的解析式；
（2）求与图像关于直线对称的曲线的解析式；
（3）作出函数的图像的简图．
分析：识别图像，抓住关键点．
解：（1）由图知，，，，即．
将，代入，得，解得，即．
（2）设函数图像上任一点为，与它关于直线对称的对称点为，得解得代入中，得．
（3），简图如图所示．
点评：由图像求解析式，比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求．
【反馈演练】
1．为了得到函数的图像，只需把函数，的图像上所有的点
①向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变）；
②向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变）；
③向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的3倍（纵坐标不变）；
④向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的3倍（纵坐标不变）．
其中，正确的序号有_____③______．
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移__ __个单位长度．
3．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则__2____；__________．
4．在内，使成立的取值范围为____________________．
．下列函数：
①；②；
③；④．
其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．
6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段时间的函数解析式．
解：（1）由图示，这段时间的最大温差是℃
（2）图中从6时到14时的图象是函数的半个周期
∴，解得
由图示，
这时，
将代入上式，可取
综上，所求的解析式为（）
7．如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，
当，时，求的值．
解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．
又因为该函数的最小正周期为，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．
第6 三角函数的图像和性质（二）
【考点导读】
1理解三角函数，，的性质，进一步学会研究形如函数的性质；2在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数研究．
【基础练习】
1写出下列函数的定义域：
（1）的定义域是______________________________；
（2）的定义域是____________________．
2．函数f (x) = | sin x +s x |的最小正周期是____________．
3．函数的最小正周期是_______．
4 函数=sin(2x+ )的图象关于点_______________对称．
已知函数在（－，）内是减函数，则的取值范围是______________．
【范例解析】
例1求下列函数的定义域：
（1）；（2）．
解：（1）即，
故函数的定义域为且
（2）即
故函数的定义域为．
点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．
例2．求下列函数的单调减区间：
（1）；（2）；
解：（1）因为，故原函数的单调减区间为．
（2）由，得，
又，
所以该函数递减区间为，即．
点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制．
例3．求下列函数的最小正周期：
（1）；（2）．
解：（1）由函数的最小正周期为，得的周期．
（2）．
点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．
【反馈演练】
1．函数的最小正周期为_____________．
2．设函数，则在上的单调递减区间为___________________．3．函数的单调递增区间是________________．
4．设函数，则的最小正周期为_______________．
．函数在上的单调递增区间是_______________．
6．已知函数．
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）若角在第一象限且，求．
解：（Ⅰ）由得，即．
故的定义域为．
（Ⅱ）由已知条得．
从而
．
7．设函数图像的一条对称轴是直线．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间上的图像
解：（Ⅰ）的图像的对称轴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得
所以函数
（Ⅲ）由
x0
－1010
故函数
第7 三角函数的值域与最值
【考点导读】
1掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；
2求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．
【基础练习】
1函数在区间上的最小值为1 ．
2函数的最大值等于．
3函数且的值域是___________________．
4当时，函数的最小值为4 ．
【范例解析】
例1（1）已知，求的最大值与最小值．
（2）求函数的最大值．
分析：可化为二次函数求最值问题．
解：（1）由已知得：，，则．
，当时，有最小值；当时，有最小值．
（2）设，则，则，当时，有最大值为．
点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．
例2求函数的最小值．
分析：利用函数的有界性求解．
解法一：原式可化为，得，即，
故，解得或（舍），所以的最小值为．
解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．
例3已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范围是．
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
【反馈演练】
1．函数的最小值等于____－1_______．
2．当时，函数的最小值是______4 _______．
3．函数的最大值为_______，最小值为________
4．函数的值域为
．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________．6．已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ）．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为．
第８解三角形
【考点导读】
1掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；
2解三角形的基本途径：根据所给条灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．
【基础练习】
1．在△AB中，已知B＝12，A＝60°，B＝4°，则A＝
2．在中，若，则的大小是______________
3．在中，若，，，则．
【范例解析】
例1在△AB中，a，b，分别为∠A，∠B，∠的对边，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．
分析：利用转化为边的关系．
解：（1）由．
（2）由得．由余弦定理
得：，解得：或，
若，则，得，即矛盾，故．
点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．
例2在三角形AB中，已知，试判断该三角形的形状．
解法一：(边化角)由已知得：，
化简得，
由正弦定理得：，即，
又，，．
又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
解法二：(角化边)同解法一得：，
由正余弦定理得：，
整理得：，即或，
即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．
例3如图，D是直角△AB斜边B上一点，AB=AD，记∠AD= ，∠AB=
（1）证明：；
（2）若A= D，求．
分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系
（1）证明：，，，（2）解：A= D，
，，
点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值
【反馈演练】
1．在中，则B =_____________．
2．的内角∠A，∠B，∠的对边分别为a，b，，若a，b，成等比数列，且，则_____．
3．在中，若，，则的形状是____等边___三角形．
4．若的内角满足，则= ．
．在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理，
．所以．
（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．
．
6．在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知，
．因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
7．在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．解：（Ⅰ），．
又，．
（Ⅱ），边最大，即．
又，角最小，边为最小边．
由且，
得．由得：．
所以，最小边．
第9 解三角形的应用
【考点导读】
1运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
2综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．
【基础练习】
1．在200 高的顶上，测得下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________ ．
2．某人朝正东方向走x 后，向右转10°，然后朝新方向走3，结果他离出发点恰好，那么x的值为_______________ ．
3．一船以每小时1的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为．
4．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知为边长等于的正三角形，当目标出现于时，测得，，求炮击目标的距离
解：在中，由正弦定理得：
∴
在中，由余弦定理得：
∴
答：线段的长为．
【范例解析】
例如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．
解法一：如图(2)，连结，由已知，
，，
又，是等边三角形，
，
由已知，，，
在中，由余弦定理，
．
．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
解法二：如图（3），连结，
由已知，，，
，
．
在中，由余弦定理，．
．
由正弦定理，
，即，．
在中，由已知，由余弦定理，
．
，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条简化解题过程．
【反馈演练】
1．江岸边有一炮台高30，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距____________．
2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要伸长____1___．
3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东方向，后船沿南偏东方向航行4海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．
4．把一根长为30的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，则第三条边的最小值是____________．
．设是某港口水的深度（米）关于时间t（时）的函数，其中下表是该港口某一天
从0时至24时记录的时间t与水深的关系：
t0369121182124
12111219111914911989121
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象下面的函数中,
最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）
A．B．
．D．。