北京三中(初中部)2011——2012学年度第一学期

北京三中(初中部)2011——2012学年度第一学期
初三数学期中试卷
2011.10．
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 下列各图中，是中心对称图形的是图(
)
2、在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则tanA 的值是（ ）
A
B ．1
4
C
．４
3、高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面， 若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米， 净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7
C ．375
D ．377
4、某汽车销售公司2007年盈利1500万元， 2009年盈利2160万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A ．2160)1(1500
2=+x B ．2160150015002=+x x
C.216015002
=x D. 2160)1(1500)1(1500
2=+++x x 5、将抛物线3)2(3
1
2+-=
x y 向右平移两个单位,再向下平移3个单
位,所得的抛物线解析式为 ( ) A 、2)4(-=x y
B 、2)4(3
1
-=
x y C 、2
)4(31+=x y D 、33
12-=x y
6、如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB =α， 那么
CD
AB
等于（ ） A ．tanα B ．sin a C ．cos α D ．
1tan α
7、已知二次函数22-+-=m mx x y 的图象与
x 轴有（
）个交点。

A
1个
B 2 个
C 无交点
D 无法确定
8、同一直角坐标系中，函数y mx m =+和12++-=x mx y （m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9、 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ， 若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的面积的比为
10、 已知：k 是方程01232
=--x x 的一个根，求代数式
7)1)(1(2)1(2+-++-k k k 的值是
C
O
A Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
11、将抛物线2
2
1x y =
的图象向上平移3个单位，则平移后的抛物线C1的解析式为 ，再将C1以原点为中心，旋转180度所得抛物线C2的解析式为_________________
12、如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0； ②b ＞2a ；
③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1；④a -2b +c ＞0． 其中正确的命题是 （只要求填写正确命题的序号）
三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）
13、计算：26tan 30cos45︒︒-︒ 14、 解方程：2
3620x x --=
15、若二次函数图象的对称轴方程是x=1，并且图象经过A （0，-4），
B （4，0），
（1） 求此二次函数图象上点B 关于对称轴x=1的对点B '的坐标； （2） 求此函数的解析式。

16、已知：如图在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝1，∠A ＝60°， ∠B ＝∠D ＝90°求四边形ABCD 的面积。

17、已知关于x 的方程052)1(2=-+-x x k 有两个不相等的实数根，
求①k 的取值范围.②当k 为最小整数时求原方程的解。

18、已知二次函数342---=x x y
（1）用配方法将342
---=x x y 化成k h x a y +-=2
）（的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）写出当x 为何值时，0>y ； （4）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小； （5）当03<<-x 时，求y 的取值范围。

四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题4分，第21题5分，第22题6分）
19、如图，已知点C 、D 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆上，且OC BD ⊥于点M ，CF ⊥AB 于点F 交BD 于点E ，8BD =,2CM = （1）求⊙O 的半径； （2）求证：CE = BE .
M
F
E D
C
B
A
O
20、已知，如图，D 是ABC ∆中BC 边的中点，90BAD ∠=︒，2tan 3
B =， AD=2
求（1）sin DAC ∠；
（2）AC 的长及ABC ∆的面积。

21、某商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可出售500千克,经调查发现在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
22、 如图，在△ABC 中，AC AB =，以AB 为直径的⊙O 分别交BC AC 、于点E D 、,
点F 在AC 的延长线上，且∠CBF 2
1
=∠CAB 。

(1) 求证:AB ⊥BF (2) 若,5=AB sin ∠CBF=
5
5
, 求BC 和BF 的长。

F
C
五、解答题（本题共21分，第23题7分，第24题7分第25题7分）
23．已知：关于x 的一元二次方程01)2(2=+++-m x m x （1）求证：方程有两个实数根；
（2）设m <0，且方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＜2x ），若y 是关于m 的函数，且1
2
14x x y -=
，求这个函数的解析式； （3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m 的方程03=-+m y 的解。

24、在直角坐标系XOY
中，二次函数图像的顶点坐标为(4,C ，
且与x 轴的两个交点间的距离为6. （1）求二次函数解析式；
（2）在x 轴上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以点Q 、A 、B 为
顶点的三角形与
△ABC 相似？如果存在，请求出Q 点的坐标，如果不存在， 请说明理由。

25、如图，在△ABC 中，已知AB=BC=CA =4cm ，AD ⊥BC 于D . 点P 、Q
分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm/s ；点Q 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x (s)。

（1）当x 为何值时，PQ ⊥AC ， x 为何值时，PQ ⊥AB ；
（2）设△PQD 的面积为y (cm 2)，当0<x <2时，求y 与x 的函数关系式；
（3）当0<x <2时，求证：AD 平分△PQD 的面积。

北京三中（初中部）2011－2012学年度第一学期 初三数学期中试卷答案
2011.10
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9、
25
9
10、 7 11、 3212+=x y 32
12
--=x y 12、
① ③
三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18
题6分）
13、计算：26tan 30cos45︒︒-︒
=6（
2)33-2
2
233-
⋅……3分 =
2
2
21-
……5分 14、 解方程：2
3620x x --= a=3 b=-6 c=-2 ……1分 △=（-6）2
—4×3×（-2） =60 ……3分 31531+=
x 3
15
32-=x ……5分 15、（1）、)0,2(-'B ……2分 (2)、42
12
--=x x y ……5分
16、求出DF=3，CE=2
32
1
=
∆DCE S ……2分 32=∆ABE S ……4分
C D
32
3
=
ABCD S ……5分
17、 解：由题意得，0)5()1(422>-⋅--k .
（1）解得，5
4
>
k . ……2分 且01≠-k ，即1≠k
∴5
4
>k 且1≠k .…3分
（2）K 的最小整数是K=2…4分
∴此时方程的解为611+-=x 612--=x ……5分 18、解：（1）1)2(2++-=x y ……1分 （2）列表、画图 各1分……3分 （3）当-3<x<-1时 y>0……4分
（4）当x ≥-2时 y 随x 的增大而减小：……5分 （5）当-3<x<0时 -3<y ≤1……6分
四、解答题（本题共20分，19题5分、20题4分、21题5
分，22题6分） 19．解：
(1)
OC 为⊙O 的半径，OC BD ⊥，
∴ 1
2
DM MB DB ==
. DB = 8，∴MB = 4. ………1分
设⊙O 的半径为r ，2CM =，∴ OM =r -2，
在Rt OMB ∆中，根据勾股定理得2
2
(2)r r -2
+4=，解得r =5. ………2分
（2）方法一：连接AC 、CB ，
AB 是直径，∴ 90ACB ∠=︒. ∴90ACF FCB ∠+∠=︒.
G
B
C D
E F
M O
CF AB CAF ACF ⊥∴∠∠︒又,+=90.
∴FCB CAF ∠=∠. …………3分 OC 为⊙O 的半径，OC BD ⊥，
∴C 是BD 的中点，∴CAF CBD ∠=∠. ………4分
∴FCB DBC ∠=∠. ∴.CE BE = ………5分
方法二：如图，连接BC ，补全⊙O ，延长CF 交⊙O 于点G .
CF AB AB ⊥又,为直径,∴BC =BG . (3)
分
OC 为⊙O 的半径，OC BD ⊥，∴ C 是BD 的中点， ∴ BC =DC . …………4分
∴BG =DC .∴FCB DBC ∠=∠. ∴.CE BE = ……5分
20、过C 点作AD 延长线的垂线垂足为E ……1分 sin DAC ∠=
5
3
……2分 AC=5……3分
6=∆ABC S ……4分
C
21、解：设每千克应涨价X 元 …….'
1
6000)20500)(10(=-+x x ……….'2
解得,101=x 52=x ………'
3
要顾客得到实惠
5=∴x ……….'
4 答：每千克应涨价5元 ……….'5
22、(1)证明：连结AE.
∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AEB=90º
∴∠1+∠2=90º
F
A
∵AB=AC
∴∠1=
21
∠CAB ∵∠CBF=2
1
∠CAB
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90º
即∠ABF=90º
∴AB ⊥BF …………2分
(2) 解：过点C 作CG ⊥AB 于点G.
∵sin ∠CBF=
55
,∠1=∠CBF, ∴sin ∠1=
5
5, ∵∠AEB=90º,AB=5,
∴BE=AB ·sin ∠1=5, ∵AB=AC, ∠AEB=90º, ∴BC=2BE=25
在Rt △ABE 中,由勾股定理得AE=
5222=-BE AB
∴sin ∠2=
552,cos ∠2=5
5
. 在Rt △CBG 中,可求得 GC=4,GB=2 ∴AG=3. ∵GC ∥BF, ∴△AGC ∽△ABF
∴
AB AG BF GC = ∴BF=3
20=⋅AG AB GC …………5分 五、解答题（本题共21分，第23题7分，第24题7分第25题7分）
23.（1）证明：∵ 01)2(2=+++-m x m x 是关于x 的一元二次方程，
.)1(4)]2([22m m m =+-+-=∆∴ ………1分
∵ m 2≥0，
∴ 原方程有实数根． …………2分
（2）解： 由求根公式，得
.2
2m
m x ±+=
∴ x =m +1或1x =． ………3分 ∵ m <0， ∴ m +1<1． ∵ 1x ＜2x ，
∴ x 1=m +1, x 2= 1. ………4分 ∴ m
x x y 4
1412-=-=
． 即m
y 4
-
=（m <0）为所求． ……5分 （3）解法一：如图1, 在同一平面直角坐标系中分别画出m
y 4-
=（m <0）
与y =-m +3（m <0）的图象． …………6分
由图象可得当m <0时，方程03=-+m y 的解为m =-1.……7分
解法二：如图2, 在同一平面直角坐标系中分别画出m
y 4
=
（m <0） 与y =m -3（m <0）的图象． …………………6分
0=
7分
图1 图2
说明：若第（1）问直接求出两根，累计得3分；第（2）问没写m <0不扣分；第（3）
问所画出函数图象没有限制取值范围m <0不扣分
24、（1）所求解析式为2999
y x x =
-+………3分
（2）在x 轴上方的抛物线上存在点Q ，使得以点Q 、A 、B
为顶点
的三角形与△ABC 相似， 因为△ABC 为等腰三角形，∴当AB=BQ ，∵AB =6， ∴BQ=6，
过点O 作CD ⊥x 轴于D ，则AD =3，CD ∴∠BAC =∠ABC =30°，∴∠ACB =120°，∴∠ABQ =120°， 过点Q 作QE ⊥x 轴于E ，则∠QBE =60°，
∴QE =BQ sin60°=62
⨯
=∴BE =3,
∴E (10, 0), Q . ………5分
当x =10时，(101)(107)99
9
y =--=⨯=
∴点Q 在抛物线上，………6分
由抛物线的对称性，还存在一点(Q '-，………7分
使△AB Q ′∽△CAB 故存在点Q 或(-.
25、（1）416
,
55
解：当Q 在AB 上时，显然PQ 不垂直于AC . 当Q 在AC 上
时，
由题意得，BP=x ，CQ =2x ，PC =4-x ，∵AB=BC=CA =4 ∴∠C =60°；
若PQ ⊥AC ，则有∠QPC =30°，∴PC =2CQ ，
∴4-x =2×2x , ∴45
x =
，
当45
x =（Q 在AC 上）时，PQ ⊥AC ，………2分
如图：①当PQ ⊥AB 时，BP=x ，BQ =12
x ，AC+AQ=2x ，
∵AC =4，∴AQ =2x -4，∴12442
x x -+=
∴165
x =
，故165
x =
时PQ ⊥AB . ………4分
（2）2
2
y x =-
+ 解：如图②，当0<x <2时，P 在BD 上，Q 在AC 上， 过点Q 作QH ⊥BC 于H ，∵∠C =60°，QC =2x ，
∴QH=QC ×sin60°
，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，
∴122
BD CD BC ==
=∴DP=2-x ，………5分
∴1132
(2)32
2
2
y PD QH x x x ==
-=-
………6分
（3）当0<x <2时，在Rt △QHC 中，QC =2x ，∠C =60°，
∴HC=x ∴BP=HC ，∴BD=CD ， ∴DP=DH ∵AD ⊥BC ，QH ⊥BC ∴AD ∥QH ，
∴OP=OQ ∴PDO DQO S S ∆∆= ∴AD 平分△PQD 的面积………7分。