2018版高中数学一轮全程复习(课件)第六章 不等式、推理与证明 6.4

建筑第 x 层楼时，该楼房综合费用为 y＝f(x)＝72x＋xx－2 1×2＋100＝x2＋71x＋100， 综上可知 y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．
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(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为 g(x)，则 g(x)＝
fx×10 000 1 000x
称为正数 a，b 的④几 __何 ___平__均__数_.
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2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥⑤_2_a_b___(a，b∈R)． a＋b2
((23))aab＋≤2 b⑥2≤__⑦_2_________a__2_＋_2_(a_b，_2 _b(a∈，Rb)∈．R)．
(4)ba＋ab≥⑧__2____(a·b＞0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
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3．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当⑨___x＝__y_____时，x＋ y 有最小值是⑩_2__p___(简记：“积定和最小”)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当⑪____x_＝__y___时， xy 有最大值是⑫____s_2_____(简记：“和定积最大”)．
＝
10fx x
＝
10x2＋71x＋100 x
＝
10x
＋
1
000 x
＋
710≥2
1 10x·
0x00＋710＝910.
当且仅当 10x＝1 0x00，即 x＝10 时等号成立．
综上可知应把楼层建成 10 层，此时平均综合费用最低，为
每平方米 910 元．
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4．(2017·兰州一模)在下列各函数中，最小值等于 2 的函数
是( )
A．y＝x＋1x
B．y＝cos
x＋co1s
π x(0<x<2)
C．y＝
x2＋3 x2＋2
D．y＝ex＋e4x－2
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解析：当 x<0 时，y＝x＋1x≤－2，故 A 错误；因为 0<x<π2，
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(2)(2017·浙江金丽衢十二校联考(一))若函数 f(x)＝2xx－2－1a
(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为 6，则实数 a 的值是( )
A．0
3 B.2
C．1
1 D.2
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(2)(2017·长春质检)设正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则( )
A.1a＋1b有最大值 4
B. ab有最小值21
C. a＋ b有最大值 2
D．a2＋b2
有最小值
2 2
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[解析] 由于 a>0，b>0，由基本不等式得 1＝a＋b≥2 ab， 当且仅当 a＝b 时，等号成立，∴ ab≤21，∴ab≤41，a1＋b1＝aa＋bb ＝a1b≥4，因此a1＋b1的最小值为 4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－ 2ab≥1－12＝12，( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab＝1＋2 ab≤1＋1＝2， 所以 a＋ b有最大值 2，故选 C.
答案：2
1 4
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6．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为________． 解析：∵x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立． 答案：5
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[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：①_a_＞__0_，__b_＞__0. (2)等号成立的条件：当且仅当②__a_＝__b_____时取等号． (3)两个平均数：a＋2 b称为正数 a，b 的③_算__术__平__均__数___， ab
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[通·一类] 1．当 x>0 时，f(x)＝x22＋x 1的最大值为________． 解析：∵x>0，∴f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x≤22＝1， 当且仅当 x＝1x，即 x＝1 时取等号． 答案：1
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对于 D，∵ab>0，∴ba＋ab≥2 ba·ab＝2. 答案：D
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2．(2017·郑州模拟)设 a>0，b>0.若 a＋b＝1，则1a＋1b的最小
值是( )
A．2
1 B.4
C．4
D．8
解析：由题意a1＋b1＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2 ba×ab
[例 1] (1) 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9
9 B.2
C．3
32 D. 2
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[ 解 析 ] 方 法 一 3－aa＋6 ＝ －a＋322＋841，因为－6≤a≤3，
所以当 a＝－32时取得最大值 841＝92.
－a2－3a＋18 ＝
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[解析] (1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx
＝12x＋80 x000－200≥2
1 80 2x·
x000－200＝200，
当且仅当12x＝80 x000，即 x＝400 时等号成立，
故该单位月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本
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考向二 基本不等式的实际应用[互动讲练型] [例 2] “节能减排，绿色生态”是当今世界各国所倡导， 某公司在科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把 二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该公司每月的处理 量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝12x2－200x＋80 000， 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元． (1)该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理 成本最低？ (2)该公司每月能否获利？
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———————[通·一类]——————— 3．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给 社会．首批计划用 100 万元购得一块土地，该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关， 楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高 20 元．已知建 筑第 5 层楼房时，每平方米建筑费用为 800 元． (1)若建筑第 x 层楼时，该楼房综合费用为 y 万元(综合费用 是建筑费用与购地费用之和)，写出 y＝f(x)的表达式． (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层 建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
第四节 基本不等式
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[小题热身]
1．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.a1＋b1>
2 ab
D.ba＋ab≥2
解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误． 对于 B、Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当 a<0，b<0 时，明显错误．
4
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二、必明 2●个易误点 1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值； 三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
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考向一 利用基本不等式求最值[自主练透型]
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[悟·技法] 利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、 销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读， 从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在 定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范 围用对应函数的单调性求解．
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方法二 ∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0. 而(3－a)＋(a＋6)＝9， 由基本不等式得： (3－a)＋(a－b)≥2 3－aa＋6， 即 9≥2 3－aa＋6， ∴ 3－aa＋6≤92，当且仅当 3－a＝a＋6， 即 a＝－23时取等号． [答案] B
最低，最低成本为 200 元．
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(2)不获利．设该公司每月获利为 S 元，则 S＝100x－y＝100x －12x2－200x＋80 000＝－12x2＋300x－80 000＝－12(x－300)2－ 35 000，因为 x∈[400,600]，
所以 S∈[－80 000，－40 000]， 故该公司每月不获利．
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5．已知 a，b，∈(0，＋∞)，若 ab＝1，则 a＋b 的最小值 为________；若 a＋b＝1，则 ab 的最大值为________．
解析：由基本不等式得 a＋b≥2 ab＝2，当且仅当 a＝b＝1
时取到等号；ab≤a＋2 b2＝41，当且仅当 a＝b＝12时取到等号．
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解析：(1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为 720 元，
建筑第 1 层楼房建筑费用为 720×1 000＝720 000(元)＝ 72(万元)，
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高 20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)，
建筑第 x 层楼房的建筑费用为 72＋(x－1)×2＝2x＋70(万 元)，
＝4，当且仅当ab＝ba，即 a＝b＝12时，取等号，所以最小值为 4.
答案：C
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3．已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的值为( ) 113 2
A.3 B.2 C.4 D.3 解析：由 x(3－3x)＝31×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当 3x ＝3－3x，即 x＝12时等号成立． 答案：B
所以 0<cos x<1，所以 y＝cos x＋co1s x>2，故 B 错误；因为 x2＋2 ≥ 2，所以 y＝ x2＋2＋ x21＋2≥2 中等号取不到，故 C 错误；
因为 ex>0，所以 y＝ex＋e4x－2≥2
即 ex＝2 时等号成立，故选 D. 答案：D
ex·e4x－2＝2，当且仅当 ex＝e4x，
2．若 x<3，则函数 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值为________． 解析：∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3 ＝－3－4 x＋3－x＋3≤－2 3－4 x·3－x＋3＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时，等号成立． 故 f(x)的最大值为－1. 答案：－1
[答案] C
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[悟·技法] 利用基本不等式求最值的常用技巧
(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式． (2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子 进行恒等变形，如构造“1”的代换等． (3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本 不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致． 提醒：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函 数单调性求解．
考向三 基本不等式的综合应用[互动讲练型] [例 3] (1)(2017·湖北华师一附中联考)若 2x＋4y＝4，则 x＋ 2y 的最大值是________； [解析] 因为 4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2 2x×22y＝2 2x＋2y，所 以 2x＋2y≤4＝22，即 x＋2y≤2，当且仅当 2x＝22y＝2，即 x＝2y ＝1 时，x＋2y 取得最大值 2. [答案] 2