2016届高考数学(文)冲刺卷05(四川卷)(解析版)

2016年高考冲刺卷（5）【四川卷】
文科数学试卷 第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集{}=01,2,3,4,5,6U ，，集合{}=0,1,2,3A ，{}=3,4,5B ，则(C U A )=B ( )
.A {}3 .B {}4,5 .C {}4,56，
.D {}0,1,2 【命题意图】本题考查集合与集合之间基本关系等基础知识，意在考查学生的基本运算求解能力. 【答案】B
【解析】因为C U A ={4,5,6} ，所以()
{}{}{}4,5,63,4,54,5U A
B ==ð，故选B.
2．已知向量)1,(λ=a ，)1,2(+=λb λ的值为( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-
【命题意图】本题考查向量的模、向量坐标运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】B
a b ⊥，(2)10λλ∴++=，解这个方程得：1λ=-，选B. 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A ．ˆ0.4 2.3y
x =+ B ．ˆ2 2.4y x =- C ．ˆ29.5y x =-+ D ．ˆ0.3 4.4y x =-+ 【命题意图】本题考查线性回归方程等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】A
4．“1-=m ”是“直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”的
（A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查充分条件、必要条件、等基础知识，意在考查学生的基本运算能力. 【答案】A
【解析】直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直，则00)12(3=⇒=-+m m m m 或1-=m ，
故“1-=m ”是“直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直”的充分而不必要条件.
5．设
111
()()1222
b a <<<，那么（ ） A ．a b a b a a << B ．b a a a b a <<
C ．a a b b a a <<
D ．a a b a b a <<
【命题意图】本题考查不等式及其性质的基础知识，意在考查学生的基本运算能力. 【答案】C
6．图所示的程序框图输出的结果是14S =，则判断框内应填的条件是（ ）
A ．7?i ≥
B ．15?i >
C ．15?i ≥
D ．31?i >
【命题意图】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于基本知识的考查. 【答案】C 【解析】
执行程序框图，S 的值依次为235,2338,233311,2333314+=++=+++=++++=，
i 的值依次为0,3,7,15,31，由于计算得到14S =后，得到15i =，所以判断框内应填的条件
应是15?i ≥，选C 7．已知抛物线2
14
y x =
的焦点为F ，定点(1,2)M ，点A 为抛物线上的动点，则AF AM +的最小值为( ) A ．
3
2
B ．
5
2
C ．3
D ．5
【命题意图】本题考查双曲线离心率基础知识，意在考查学生数形结合思想和基本运算能力． 【答案】C
8．一个几何体的三视图如图，则该几何体的全面积是（ ）
A ．4+2 6
B ．4+ 6
C ．4+2 2
D ．4+ 2
【命题意图】本题考查三视图及锥体全面积的基础知识，意在考查学生空间想象能力和基本
运算能力． 【答案】A
【解析】
由三视图知该几何体是三棱锥，全面积为
22)5
2(2521222212221+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
S 6245
24
54+=⨯
+= 9．若实数,x y 满足31x y -≤≤，则2x y
z x y
+=
+的最小值为( ) A.
53 B.2 C.35 D.12
【命题意图】本题考查线性规划、数形结合求最值等基础知识，意在考查学生数形结合思想和基本运算能力． 【答案】A
10．设方程440x ax +-=的各实根为()12,,,4k x x x k ⋅⋅⋅≤.若点()4,
1,2,,i i x i k x ⎛⎫
=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
均在直线y x =的同侧，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()4,+∞ B. ()(),66,-∞-⋃+∞ C. ()6,+∞
D. ()(),44,-∞-⋃+∞
【命题意图】本题考查根的存在性及根的个数判断的基础知识，意在考查学生数形结合思想和转化与化归思想． 【答案】B
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．若复数
5
12i
m +-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m = ． 【命题意图】本题考查复数概念的基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】1-
【解析】因为5
12(1)212i
m i m m i +=++=++-，所以10, 1.m m +==-
12．已知函数()22,1,
22,1,
x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是________.
【命题意图】本题考查分段函数、解不等式等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】(,1][0,)-∞-+∞ 【解析】当1a ≤-时，2()2
2a
f a -=≥，解得1
2
a ≤-
，此时1a ≤-；当1a >-时，()222f a a =+≥，解得0a ≥，此时0a ≥.故实数a 的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞.
13．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为 . 【命题意图】本题考查余弦定理、基本不等式，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】224+
14．在半径为2的球面上有不同的四点A 、B 、C 、D ，若2AB AC AD ===，则平面BCD 被球所截面图形的面积为 .
【命题意图】本题考查球及球的截面等基础知识，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力． 【答案】π3
【解析】过点A 向面BCD 作垂线，垂足为M ，则M 是外心，而外接球球心O 位于AN 上，如图所示，设BCD ∆所在截面圆半径为r ，∵||||2||OA OB R AB ====，∴060BAO ∠=，在
Rt ABM ∆中，02sin 60r ==，∴23S r ππ==.
15．设函数)(x f 与)(x g 是定义在同一区间],[b a 上的两个函数，若对任意的],[b a x ∈，都有
k x g x f ≤-)()()0(>k ，则称)(x f 与)(x g 在],[b a 上是“k 度和谐函数”，],[b a 称为“k 度
密切区间”.设函数x x f ln )(=与x mx x g 1)(-=在],1
[e e
上是“e 度和谐函数”,则m 的取值范围是____________
【命题意图】本题主要考查新定义函数恒成立问题，意在考查学生的综合分析能力和计算能
力.
【答案】e m +≤≤-11 【解析】由定义e x mx x ≤--
1ln 对任意的],1[e e x ∈恒成立，而⇔≤--e x
mx x 1
ln
m e x x e m +≤+
≤-1ln ，令x x x g 1ln )(+=，问题等价于求x
x x g 1
ln )(+=的最大值小于等于m e +，最小值大于等于e m -，22'111)(x
x x x x g -=-=，易知x x x g 1ln )(+=在]
1,1
[e 上递减，在],1[e 上递增，所以1)1()(min ==g x g ，又1)1
(,11)(-=+=e e g e e g ，所以
=max
)(x g 1)1
(-=e e g ，故⎩
⎨
⎧≤-+≤-11e m m e e e m +≤≤-⇒11
三、解答题 （本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心 角均为15，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球(这些球除颜色外 完全相同)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由
【命题意图】本题主要考几何概型、古典概型等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转
化能力、计算能力. 【答案】（1）
6
1
；（2）见解析．
因为()()P A P B <，
所以，顾客在乙商场中奖的可能性大． …………………………12分
17．已知函数2111
()cos 888
f x x x x =+-R ∈x ． （1）求函数)(x f 的频率和初相；
（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，若3)(=A f ，4
π
=
C ，c ＝2，求ABC ∆的面积．
【命题意图】本题考查三角函数恒等变形，二倍角公式，两角和的正弦公式等基础知识，意在考查学生转
化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．
（2）∵ 在ABC ∆中，3)(=A f ，
∴ 3)4
41sin(
2=π
+A ， ∴ 2
3
)441sin(
=
π+A ， ………………………7分 ∵ π<<A 0， ∴
2
4414π<π+<πA ， 3441π=π+A ， 3
π
=
A ∴ 12
5π
=--π=C A B ………………………9分 又由正弦定理得
4
sin 3
sin π=
πc a ，解得 6=a ………………………10分
∴ 2
3
34266221sin 21+=
+⋅⋅⋅==
∆B ac S ABC ……………………12分 18. (本题满分12分) 已知正项数列{}n a 的前n 项的和是n S ，且任意n N +∈，都有
n n n a a S +=2
2．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n n a b 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查数列通项和前n 项和的求法等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、推理能力和运算求解能力. 【答案】(1) 周期为π=T ，[8
π
π-
k ，8
3π
π+
k ](Z k ∈)；(2) 1)tan(21-=+x x ．
（2）由（1）知n a n =，
∴ n n n b 2⋅= …………………………………7分 ∴ n n n T 223222132⨯++⨯+⨯+⨯=
143222)1(2322212+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T
………………………………8分 相减得
1432222222+⨯-+++++=-n n n n T ………………………………10分
122
1)21(2+⨯---=-n n n n T ．
∴ 22)1(1+-=+n n n T ………………………………12分
19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为AD 上一点，F 为PC 上一点，四边形BCDE 为矩形，∠PAD ＝60°，PB ＝2√3，PA ＝ED ＝2AE ＝2．
（1）若PF →=λPC →（λ∈R ），且PA ∥平面BEF ，求λ的值；
（2）求证：PE ⊥平面ABCD ；
(3)求直线PB 与平面ABCD 所成的角．
【命题意图】本题主要考查空间直线与平面平行、垂直及线面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力．
【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）见解析；(Ⅲ) 60°
PE ⊥平面ABCD ． ………………8分
（3）由（2）知，PE ⊥平面ABCD
∴ ∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角，………………9分
在Rt ΔPEB 中，
2
1323sin ===∠PB PE PBE ， =∠PBE 60°， ………………11分
直线PB 与平面ABCD 所成的角为60°． ………………12分
20.
的椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>经过点(0,-1),且F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,不经过F 1的斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如果直线AF 1、l 、BF 1的斜率依次成等差数列,求k 的取值范围,并证明AB 的中垂线
过定点.
【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．
【答案】(1) 2
212
x y +=；
（2）见解析
.
(Ⅱ)令直线l 的方程为()y kx m m k =+≠， 代入椭圆方程2
212
x y +=得:222(12)42(1)0k x kmx m +++-=. 由>0∆得2222168(12)(1)0k m k m -+->，解之得2212m k <+.
令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则122
412km x x k -+=
+.……………6分 由条件得112F AF B k k k +=， 即121212121222()(2)01111
y y kx m kx m k k m k x x x x x x +++=⇒+=⇒-++=++++. 因为m k ≠，1220x x ++=，即
24120,122km m k k k -+=∴=++.……………8分 将12m k k
=+代入2212m k <+中，得
22211()12,(,)22k k k k k +<+⇔>∴∈-∞+∞U ..……………8分 由上知，
1212
x x +=-，于是得AB 中点坐标为(1,)m k --， 中垂线方程为:1(1)y m k x k
-+=-+. .……………10分 将12m k k =+代入得:11()(1)2y k k x k k
-++=-+， 整理得:11()2
y x k =-+. .…………12分 故AB 的中垂线过定点1(,0)2-..……………13分
21. 已知函数x ke s x f --=)(的图像在0=x 处的切线方程为x y =．
（1）求s ，t 的值；
（2）若)0(1)1(21ln )(2>++-+
-=-m x m x e x m x g x ，求函数)()()(x f x g x h -=的单调区间；
（3）若正项数列}{n a 满足2
11=a ，)(1n a n a f e a n +=，证明：数列}{n a 是递减数列．
【命题意图】本题考查导数的几何意义、函数的单调性、函数与数列的应用等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力、逻辑思维能力．
【答案】（1）1=s ，1=k ；（2）（3）见解析.
（3）∵ 正项数列}{n a 满足211=
a ，)(1n a n a f e a n +=， ∴ n
n a n n n a e a a f a e --==+1)(1 …………………………………10分 数列}{n a 是递减数列 n n a a <+1 n n a a e e <+1 n n a a n e e
a <--1 1+>n a a e n …………………………………11分 令)0(1)(>--=x x e x t x ，
∵ )0(01)(>>-='x e x t x
∴ )(x t 是)0(∞+，上的增函数，
∴ 0)0()(=>t x t ，即1+>x e x ， …………………………………13分 故1+>n a a e n ，
∴}{n a 是递减数列． …………………………………14分。