二次函数复习(教学校园)
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（6）已知二次函数y=- 1 x2+bx-5的图象的顶
点在y轴上，则b=_0__。 2
教资优选
11
知识运用
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为
____y_=_2_(_x_+_2_)_2-_3_=_2_x_2_+_8_x_+_5__
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式 为_y_=__- _3_(_x_-1_-_4_)_2+_2_+_3__=_-_3_x_2+_3_0_x_-_7_0__ 3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下 平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后 的解析式为___y_=_2_(x_+__1_)2_-_8__; 4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点教资优选
c=0
15
（3）a，b的符号：由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
b2-4ac>0
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
y = ax 2+k
a＞0 向上 直线X=0 （0，K）
a ＜0 向下 （或y轴）
（三）、形如y = a (x - h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴 顶点坐标
y = a（x - h) 2
a＞0 a＜0
向上
教资优选
直线X=h （h，0）
8
(四)形如y = a (x+h) 2 +k(a ≠0) 的二次函数
6
二、图象与性质
教资优选
7
（一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a ＞ 0 向上 直线X=0 (0,0)
a ＜ 0 向下 （或y轴）
（二）形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴 顶点坐标
教资优选
9
知识运用
（顶1点）坐抛标物是线(0y,0=,)图32x象2的过开第口一向、上二,对象称限轴；是Y轴,
（轴y =2是）直1抛线x X物2,向=0线上顶y平点= 移12坐x3标2+是个3（的单0开，位口3得）向,到是上的由；抛,对物称线Y
2
OB
（3）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象A，
教资优选
4
知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x -2 +x
(6)y=x2-x(1+x)
教资优选
5
知识运用
当m取何值时，函数是y= (m+2)xm2-2
分别 是一次函数？ 反比例函数？ 二次函数？
教资优选
与x轴无交点
b2-4ac<0
教资优选
16
小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察
得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0；③ 函
数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0＜x1
C＜x2＜2时，y1 > y2 你认为其中正确的个数有
（）
y
A．2 B．3
C．4 D．5
x
0
2
-3
教资优选
17
已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a_＜__0, b__＜__0, c__＞___0, abc__＞__0
b_＞__2a, 2a-b_＜____0, 2a+b__＜_____0
b2-4ac__＞___0 a+b+c__＜___0, a-b+c_＞___0 4a-2b+c__＞___0
教资优选
-2 -1 0 1
18
三、抛物线与一元二次方程的关系
图象与性质 解析式的确定
交点情况 应用
教资优选
1
一、定义
教资优选
2
二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式 （2）a,b,c为常数，且a≠0
（3）等式的右边最高次数为2次，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项。 (4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
X
则a 〉0，k〈 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，
则a = 0.5 ,k = -2 ；函数关系式是y = 0.5x 2-2 。
教资优选
10
（4）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向 上 , 对称轴X=３ , 顶点坐标是（__３_，__1_）__
（5）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶 点在第四象限，则〈a 0, m〈 0, n〈 0。
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个
单位,再向上平移5个单位.
教资优选
12
二次函数y=
大
教资优选
13
知识运用
1、二次函数 y=x2-8x+12图象的开口向 上 , 对称轴是直线x=4 ，顶点坐标为 (4,－４）。
2、函数 y 1 x2 2x 2 的顶点坐标是 ，对称轴 。
3
3
开口方向
， 当x
时，y随x的增大而增大
当x
时，y随x的增大而减小
当x
时，y有最大值或最小最，最大或最小值
是
。
抛物线与x轴交点坐标为 抛物线与y 轴的交点坐标为
， 。
教资优选
14
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定.
二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a（x+h) 2+k
a＞0 a＜0
向上 向下
直线X=-h
（-h，k）
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自 变量的取值范围.
教资优选
3
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
点在y轴上，则b=_0__。 2
教资优选
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知识运用
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为
____y_=_2_(_x_+_2_)_2-_3_=_2_x_2_+_8_x_+_5__
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式 为_y_=__- _3_(_x_-1_-_4_)_2+_2_+_3__=_-_3_x_2+_3_0_x_-_7_0__ 3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下 平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后 的解析式为___y_=_2_(x_+__1_)2_-_8__; 4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点教资优选
c=0
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（3）a，b的符号：由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
b2-4ac>0
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
y = ax 2+k
a＞0 向上 直线X=0 （0，K）
a ＜0 向下 （或y轴）
（三）、形如y = a (x - h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴 顶点坐标
y = a（x - h) 2
a＞0 a＜0
向上
教资优选
直线X=h （h，0）
8
(四)形如y = a (x+h) 2 +k(a ≠0) 的二次函数
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二、图象与性质
教资优选
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（一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a ＞ 0 向上 直线X=0 (0,0)
a ＜ 0 向下 （或y轴）
（二）形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴 顶点坐标
教资优选
9
知识运用
（顶1点）坐抛标物是线(0y,0=,)图32x象2的过开第口一向、上二,对象称限轴；是Y轴,
（轴y =2是）直1抛线x X物2,向=0线上顶y平点= 移12坐x3标2+是个3（的单0开，位口3得）向,到是上的由；抛,对物称线Y
2
OB
（3）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象A，
教资优选
4
知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x -2 +x
(6)y=x2-x(1+x)
教资优选
5
知识运用
当m取何值时，函数是y= (m+2)xm2-2
分别 是一次函数？ 反比例函数？ 二次函数？
教资优选
与x轴无交点
b2-4ac<0
教资优选
16
小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象观察
得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0；③ 函
数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0＜x1
C＜x2＜2时，y1 > y2 你认为其中正确的个数有
（）
y
A．2 B．3
C．4 D．5
x
0
2
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教资优选
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已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a_＜__0, b__＜__0, c__＞___0, abc__＞__0
b_＞__2a, 2a-b_＜____0, 2a+b__＜_____0
b2-4ac__＞___0 a+b+c__＜___0, a-b+c_＞___0 4a-2b+c__＞___0
教资优选
-2 -1 0 1
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三、抛物线与一元二次方程的关系
图象与性质 解析式的确定
交点情况 应用
教资优选
1
一、定义
教资优选
2
二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式 （2）a,b,c为常数，且a≠0
（3）等式的右边最高次数为2次，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项。 (4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
X
则a 〉0，k〈 0；若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，
则a = 0.5 ,k = -2 ；函数关系式是y = 0.5x 2-2 。
教资优选
10
（4）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向 上 , 对称轴X=３ , 顶点坐标是（__３_，__1_）__
（5）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶 点在第四象限，则〈a 0, m〈 0, n〈 0。
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个
单位,再向上平移5个单位.
教资优选
12
二次函数y=
大
教资优选
13
知识运用
1、二次函数 y=x2-8x+12图象的开口向 上 , 对称轴是直线x=4 ，顶点坐标为 (4,－４）。
2、函数 y 1 x2 2x 2 的顶点坐标是 ，对称轴 。
3
3
开口方向
， 当x
时，y随x的增大而增大
当x
时，y随x的增大而减小
当x
时，y有最大值或最小最，最大或最小值
是
。
抛物线与x轴交点坐标为 抛物线与y 轴的交点坐标为
， 。
教资优选
14
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定.
二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a（x+h) 2+k
a＞0 a＜0
向上 向下
直线X=-h
（-h，k）
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自 变量的取值范围.
教资优选
3
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2