平面向量的解题技巧

3,3
2x 3,2 y 3
1,1 .
得 2x 3 1
x 1, r b 1,2 .
2y 3 1
y 2.
rr
ar
r b
31 32
3 10
cos a,b
rr ab
32 32
12 2 2
.
10
故填 3
10 .
例 6. （ 2006 年湖北卷）已知向量
r a
r 10 3,1 ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且
例 1（2007 年北京卷理） 已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点，
D
为
BC
边中点，
且
uuur 2OA
uuur OB
uuur OC
0 ，那么（
）
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Ａ． AO OD
Ｂ． AO 2OD
Ｃ． AO 3OD
Ｄ． 2 AO OD
命题意图 : 本题考查 能够结合图形进行向量计算的能力 ．
rr a,c
55
ar cr ar cr
741 3
252 5
2
2
2
7
1
4
1
.
2
3
2
另一方面 , 当
2
2
5
5
r c
rr
4 , 3 时,cos ar ,cr 55
ac ar cr
7 4 13
2 5 25
1.
2
2
71
2
2
43
2
当
故平面向量
r
r
c 与向量 a =
71 ,
r ,b
22
2
2
55
17 ,
的夹角相等
. 故选
Y ABCD
中，
uuur AB
r uuur a, AD
r uuur b, AN
uuur 3NC
， M为
BC的中点，则
uuuur MN
rr ___. （用 a、b 表示）
命题意图 : 本题主要考查向量的加法和减法 , 以及实数与向量的积 .
uuur 解： 由 AN
uuur uuur 3NC得 4AN
uuur r 3A C =3( a
(3) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件
.
(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算
.
(5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义 , 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题
,
掌握向量垂直的条件 .
(6) 掌握平面两点间的距离公式 .
r b)
，
uuuur AM
r a
1
r b
，所以
,
uuuur MN
3 r r r 1r ( a b) (a b)
2
4
2
例 3．（ 2006 年广东卷） 如图 1 所示，D 是△ ABC的边 AB上的中点， 则向量 CD ( )
（ A） BC
1 BA
2
（ B） BC 1 BA 2
（ C） BC
1 BA
2
6．利用化归思想处理共线、 平行、 垂直问题向向量的坐标运算方面转化， 利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．
向量模的运算转化为向量的运算等；
【例题解析】
1. 向量的概念，向量的基本运算
(1) 理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念
.
(2) 掌握向量的加法和减法 .
4, 3 或 4, 3
55
55
（ C） 2 2 , 1 33
（ D） 2 2 , 1 或 2 2 , 1
33
33
命题意图 : 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题
.
r rc 解：设所求平面向量为 c, 由
4 ,
3 或 - 4 , 3 时, c
1.
55
55
r c
4 ,
3
时,cos
第四讲 平面向量的解题技巧
【命题趋向】由 2007 年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在 10 分左右．
2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．
【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题， 也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．
透析高考试题，知命题热点为：
1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．
3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立 体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直 与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．
ar
r b
r 3 ，则 b = （）
（ A）
31 ,
22
（B）
13 ,
22
（ C）
13 ,
3
44
（ D） 1,0
命题意图 : 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积
, 以及方程的思想解题的能力 .
解
:
设
r b
x, y (x y) ，则依题意有
x2
3x
例 7. 设平面向量
ur a1
、
uur a2
（ D）BC
1 BA
2
命题意图 : 本题主要考查向量的加法和减法运算能力 .
解： CD CB BD BC 1 BA ，故选 A.
2
例 4． (
r 2006 年重庆卷 ) 与向量 a =
7, 1
r ,b
22
17 ,
的夹解相等，且模为
1 的向量
22
1r a
1
r b
.
44
是 ()
(A) 4, 3
(B)
55
ur b3
r 0
（
B）
ur b1
uur b2
ur b3
r 0
（
C）
ur b1
uur ur b2 b3
r 0
（
D）
ur b1
B.
22
例 5．（ 2006 年天津卷）设向量 a 与 b 的夹角为 ，且 a (3,3) ， 2b a ( 1,1) ，则 cos __．
命题意图 : 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积
, 以及用平面向量的数量积处理有关角度
的问题 .
解:
r 设b
r x, y ,由2b
r a
2 x, y
、
uur a3
的和
ur a1
uur a2
uur a3
1
y2
1,
x
, 2
故选 B.
y
3. y
3.
2Βιβλιοθήκη Baidu
r 0
.
如果向量
ur uur ur b1 、 b2 、 b3 ，满足
ur bi
ur 2 ai
，且
ur ai
顺时针旋转
30 o 后与
ur bi 同向，其中 i 1,2,3 ，则（ ）
（ A）
ur b1
uur b2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
解： 2OA OB OC 2OA (DB OD ) ( DC OD ) = 0, DB DC , 2OA 2OD 0, AO OD .
故选 A．
例 2．（ 2006 年安徽卷）在