江苏省连云港市高二下册第二学期期末考试数学(选修历史)试题-含答案【精校】.doc

S AOB 的面积为定值，只
b 2a
a1
即
解得
4a b 2
b2
f (a) 1 f (a) 1
②当 1 a 2 时，
或
，所求解均不满足 1 a 2 ；
f (2) 2 f (1) 2
f (1) 2
③当 a 2 时 f ( x) 在 1,2 上单调递减，
；
f (2) 1
2a b 1
a2
即
解得
4a b 3
fx
．
x 1,
11. 已知实数 x ， y 满足 y 3,
则 z x2 y 2 的最小值为
．
x y 1 0,
12. 设函数 f x
1 9x 3x
x ，则不等式 f 12
x2
f 2 5x
0 的解集为
．
13. 已知 M ，N 是双曲线 x2 y2 1上关于原点对称的两点， 点 P 是该双曲线上的任意一点 . 2
成一个直四棱柱空间，如图（ 2），如何折叠板材才能使这个空间最大？
18. （ 1）已知 x
0， y
0 ， log 2 x log 2 y
2 2 ，求
1
的最小值；
xy
（ 2）已知 x
0， y
0 ， 2x
4y
4 ，求 2
1
的最小值 .
xy
19. 已知 f x x2 2ax b ， a, b R .
（ 1）若 f x 在区间 1,2 上的值域也是 1,2 ，求 a ， b 的值；
．
1i
4. 某高中共 1800人，其中高一、高二、高三年级学生人数依次成等差数列，现用分层抽样的
方法从中抽取 48 人，那么高二年级学生被抽取的人数为
．
5. 已知一组数据： 5.7 ， 5.8 ， 6.1 ， 6.4 ， 6.5 ，则该数据的方差是
．
6. 为强化安全意识， 某校拟在周一至周五的五天中随机选择 2 天进行紧急疏散演练， 则选择的
2017～ 2018 学年第二学期期末考试
高二数学（选修历史） 第Ⅰ卷（共 70 分）
一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）
1. 已知集合 A 1,2,3 ， B x 2 x 3 ，则 A I B
．
2. 命题“ x R ， x2 x 1 0 ”的否定是
．
3. 复数 3 i （其中 i 为虚数单位）的虚部为
1时， h'( t)
0.
所以 t
[ 2 ,1) 时， h' (t )
0，t
15 (1, ]
时，
h'(t )
0.
2
4
所以 h(t )min h(1) 10 ，
所以 a ≤10 .
2 天恰好为连续 2 天的概率是
．
7. 函数 f x
பைடு நூலகம்
log 1 x 2 的定义域是
3
8. 求值： 2log 3 2
4 log 3
31 log3 2
3
27
9. 记函数 f x
2x x2 的值域为 D . 在区间
． ．
1,2 上随机取一个数 x ，则 x D 的概率
是
．
10. 已知 f x 是定义在 R 上的奇函数， x 0 时， f x x2 2x 3 ，则 x 0 时，
即板材放置时，沿中间折叠，使得 PA=PB. 18．解：（ 1） Q log2 x log2 y 2, xy 4
Q x 0， y 0 2 1 ≥ 2 2 2 1 2 ，
xy
xy
2
当且仅当 x 2 2, y 2 时取等号，
21
即
的最小值为
xy
2
x 2y
（ 2） Q x 0 ， y 0 ， 4 2 x 4 y 2 2 x 4 y 2 2 2 即 x 2 y 2 ，当且仅当 x 2y 时取等号，
2
15. 解：（ 1） Q 3≤ 3x ≤ 27 ， 1≤ x≤ 3，
A 1,3 ， Q x2 5x 6≥ 0 x≥ 6或x 1
B 6,
,1
CRB 1,6
A CR B 1,3
（ 2） Q (x m)2 ≤ 1 ， m 1≤ x≤ m 1
C m 1, m 1
QC A，
m 1≤ 1 解得 m 2
m1 3
x
2g x
2
f 3x 恒成立，求 a 的取值范围 .
一、填空题
试卷答案
1． { 1，2} ； 2． x R, x2 x 1 0 ； 3． 2 ；4． 16 ； 5． 0.1； 6． 2 ； 5
7． 2,3 ；8． 5 ；9． 1 ；10． x2 2x 3 ；11． 1 ；12 ．
3
2
二、解答题
7,2 ；13． 1 ；14． 8 3log 2 3.
为
．
14. 已知函数 f x 2x 1 1 ，若 a b ，且 f a f b ，则 a 2b 的最大值为
．
第Ⅱ卷（共 90 分） 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）
15. 已知集合 A x 3 3x 27 ， B x x2 5x 6 0 .
f ( x)
g (x)
解得 2x
f ( x)
2x 2 x ， g( x)
2
2x 2 x .
2
（ 2）令 t
2 f ( x)
2x
2
x
，由
f (x) 在 R 上是增函数，
x
1 [ ,2] ，得 t
2
22x 2 2x 所以 g (2 x)
2
1 (t 2 2) ， 2
f (3x)
23x 2 3x 2
1 t( t 2 3) ， 2
又根据导数的几何意义，切线的斜率为
f ' ( x0 ) 3 x0 2 2 x0
故 3 x0 2 2 x0 x02 切线方程为 x 4y
x0 解得 x0 0
1
，
2
综上，所求切线方程为 y 0和 x 4 y 0 . 17．解：（ 1）设 OA x, OB y, x, y (0,6) ，且 x2 y2 36
若直线 PM ， PN 的斜率都存在，则 kPM kPN 的值为定值 . 试类比上述双曲线的性质，得到椭
圆 x2
y2
x2 1 的一个类似性质为： 设 M ，N 是椭圆
y2 1上关于原点对称的两点， 点 P
2
2
是椭圆上的任意一点 . 若直线 PM ， PN 的斜率都存在，则 k PM k PN 的值为定值，该定值
17. 如图（ 1）是一直角墙角， AOB 90o，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直 . ABCD 是
一块长 AB 为 6 米，宽 BC 为 2 米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷物
.
（ 1）若按如图（ 1）放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？
（ 2）由于墙面使用受限， OA 面只能使用 2 米， OB 面只能使用 4 米 . 此矩形板材可以折叠围
b5
综上满足条件的值为
a1 a 2
或
.
b2 b5
（ 2）因为任意都有 f ( x) f (2 x) 得到 x
f ( x) ( x 1)2 b 1
1 为函数的对称轴
Q y f ( f (x)) 有且只有两个零点， 设 f ( x)= t ，记 f (t )=0 的两个根为 t1, t2 ,且 t1 b 1 t2
（ 1）求 A I eRB ；
2
（ 2） 已知集合 C x x m 1,m R ，若 C A ，求实数 m 的取值范围 . 16. 已知函数 f x x3 ax2 ， a R ， f x 是 f x 的导函数，且 f 1 1.
（ 1）求 f x 在区间 2,2 上的值域；
（ 2）求过点 0,0 的曲线 f x 的切线方程 .
21
21
4y x
2(
) ( x 2 y)(
)4
4 4 8，
xy
xy
xy
2 1≥4 xy
当且仅当 x 2y 时取等号，
21
即
的最小值为 4.
xy
19．解：（ 1） Q f ( x) x2 2ax b ( x a)2 b a2
①当 a 1 时 f ( x) 在 1,2 上单调递增，
f (1) 1
；
f (2) 2
（ 2）若对于任意 x 都有 f x 2 f x ，且 y f f x 有且只有两个零点， 求实数 b 的
取值范围 .
20. 设 f x ， g x 分别是定义在 R 上的奇函数、偶函数，且 f x g x 2x .
（ 1）求 f x ， g x 的解析式；
（ 2）若对于任意 x
1 ,2
，不等式 af
+
0
-
0
+
f ( x)
-12
单增
0
单减
4
单增
4
27
f ( x) 在 2,2 上的值域为 12,4
（ 2）①若 (0,0) 是切点，又 f ' (0) 0 ，故切线方程为 y 0；
②若 (0,0) 不是切点，设切点为 (x0, x03 x02 )( x0 0) ，
则切线斜率为
x03 x0 2 x0
x0 2 x0
由对于任意
x
1 [ ,2] ，不等式
af ( x) ≤ 2g ( x)
f (3x) 恒成立，
2
即对于 t
[
2
15 ,]
，
a≤
2
t
2t
4
3 恒成立 .
24
t
[ 2 ,15] . 24
令 h(t ) t 2 2t 4 3 ， t
则 h' (t )
2t
2
4 t2 在 t
[
2 15 , ] 是增函数，
t
24
即板材放置时，沿中间折叠，使得 PA=PB. 解法 2：因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又
需寻找 S APB 面积的最大值， 由题意， OA 2, OB 4, AB 2 5, PA PB 6 2 5 ,
所以点 P 的轨迹是以 A、 B 为焦点的椭圆的一部分，
当 PA=PB时， S APB 面积最大 .
因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大
Q AOB 90
1
x2 y2
S AOB
xy ≤
9，
2
4
当且仅当 x y 3 2 取到等号 . 即板材放置时，使得板材与墙面 OA 成 45°角 .
（ 2）解法 1：因为直四棱柱的高为定值， 故底面面积最大时体积最大， 又 S AOB 的面积为定值，
只需寻找 S APB 面积的最大值 .
实数 m 的取值范围为 m | m 2
16.
解：（ 1） Q
f
'
( x)
2
3x
'
2ax, f (1) 1
'
f (1) 3 2a 1
a1
f (x)
x3
x2
，
f
'
( x)
2
3x
2x
x(3x 2)
令 f '( x) 0 解得 x 0或 2 3
x
-2
( 2,0)
2
0
(0, )
2
2 ( , 2) 2
3
3
3
f ' ( x)
又在 APB中 AB 2 5 ，只需寻找 AB 边上高的最大值即可 .
如图：作 PH AB
P
设 PA x, PH y, 则 PB 6 x,
A
PH 2 x2 y2 (6 x)2 (2 5 y) 2
H
B
3x 5y 4
PH
x2 y2
4 y2 8 5 y 16 9
当 y 5 时 PH最大 , 此时 x 3
f (b 1) (b 1 1)2 b 1 b2 b 1 0
解得 1
5 b
2
15 2
20．解： （ 1）因为 f ( x) g( x) 2x ，又 f ( x) ， h( x) 分别是定义在 R 上的奇函数、偶函数，
所以 f ( x) g ( x)
2
x
，即
f ( x)
g( x)
2
x
.
由
f (x) g(x) 2x ,