高考数学第1章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词创高三全册数学

角度1 全称命题、特称命题的真假判断
1．已知命题p：∀x∈R，x＋
1 x
≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20
>x
3 0
，
则下列命题中为真命题的是( )
A．( p)∧q
B．p∧( q)
C．( p)∧( q)
D．p∧q
解析
当x＝－1时，x＋
1 x
<2，故p是假命题；当x0＝
1 2
时，
1 2
2>
1 2
0)的圆心坐标为(1,0)，所以直线l恒过圆心，所以∀k∈R，l与C相交，∀r
∈R，l与C相交，所以p1，p3是真命题，p2，p4是假命题．
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解析 答案
题型三 根据命题的真假求参数的取值范围
1．(2019·黄冈模拟)已知a∈R，命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题
q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围 是__a_≤__－__2_或__a_＝__1_．
解析 若命题p是真命题，则有a≤x2对x∈[1,2]恒成立，所以a≤1，记
A＝{a|a≤1}，若命题q是真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实
根，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.记B＝{a|a≤－2或a≥1}，
0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是( )
A．p∨q
B．p∧q
C．( p)∧( q)
D．p∨( q)
解析 因为p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q，( p) ∧( q)，p∨( q)都是假命题．
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解析 答案
2．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝
解析 当x1∈[0,3]时，f(x1)∈[0，ln
10]，当x2∈[1,2]时，g(x2)∈
14－m，21－m .因为∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，所以只需
0≥14－m，解得m≥14.
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解析
条件探究 将本例中“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件 不变，则实数m的取值范围是__12_，__＋__∞____．
q是真命
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解析 答案
(4)命题“∃x0∈R,1＜f(x0)≤2”的否定是_∀__x_∈__R_，__f_(_x)_≤__1_或__f_(x_)_＞__2___．
解析 由特称命题的否定可得，已知命题的否定是∀x∈R，f(x)≤1或 f(x)＞2.
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答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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答案
2．小题热身 (1)命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≤0的否定是( ) A．∃x0∈R，x20－x0＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0 C．∀x∈R，x2－x＋1>0 D．∃x0∈R，x20－x0＋1<0
)
A．p∧q
B．p∨q
C．p∧( q)
D． q
解析 由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，
所以命题p是假命题．
由3x>0，得3x＋1>1，所以0<3x＋1 1<1，
所以函数y＝3x＋1 1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．
所12/8以/2021p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧( q)为假命题， q为假命题．
特称
命题
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要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中， 找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是 假命题．如举例说明1中命题q的真假判断
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2．对全(特)称命题进行否定的方法 (1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含 量词的完整形式，再写出命题的否定．如举例说明2(2)．
解析 当x2∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m， 由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.
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解析
1．根据复合命题的真假求参数的取值范围的步骤 (1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围； (2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假； (3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集、并集和补集的运算， 求解参数的取值范围．如举例说明1.
因为命题p∧q为真命题，所以p，q都是真命题．所以a∈A∩B＝{a|a≤－2
或a＝1}． 12/8/2021
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解析
使得f2(．x1)已≥知g(fx(2x))，＝则ln实(x数2＋m的1)，取g值(x范)＝围12是 x_－__m_，14_，_若_＋_∀_∞_x_1_∈．[0,3]，∃x2∈[1,2]，
第一章 集合(jíhé)与常用逻辑用语
第3讲 简单(jiǎndān)的逻辑联结词、全称 量词与存在量词
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[考纲解读] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含 义，并理解全称量词与存在量词的含义．(重点、难点) 2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点)
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解析
2
PART TWO
经典 题型冲关 (jīngdiǎn)
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题型一 含有逻辑(luójí)联结词的命题的真假判断
1．已知命题p，q，“ p为真”是“p∧q为假”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 (1)量词“∀”改为“∃”，f(x)＝f(x＋T)改为f(x)≠f(x＋T)，故
已知命题的否定是∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)． (2)①改量词，本题中省略了量词“所有”，应将其改为“有的”；
②否定结论，“距离相等”改为“距离不相等”．
故已知命题的否定是“角平分线上有的点到这个角两边的距离不相
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的低频 考点．预测2021年高考对命题及量词的考查主要有：①判断 全称命题与特称命题的真假；②全称命题、特称命题的否 定；③根据命题的真假求参数的取值范围.
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PART ONE
基础知识过关(guò〃guān)
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1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则 p为( )
A．∀n∈N，n2>2n
B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n
D．∃n∈N，n2＝2n
解析 命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，故 p：∀n∈N，n2≤2n.
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故p是假命题，
p是真命题；∀x∈R，都有x2＋x＋1＝
x＋12
2＋
3 4
＞0，故q
是真命题， q是假命题．所以p∧q是假命题，p∧( q)是假命题，( p)∨q是
真命题，( 12/8/2021 p)∨( q)是真命题．即②③正确．
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解析
题型二 全称(quán chēnɡ)命题、特称命题
3，故
q是真命题，所以( p)∧q是真命题，p∧( q)，( p)∧( q)，p∧q都是假命
题．12/8/2021
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解析 答案
角度2 含有一个量词的命题的否定 2．(1)已知定义在R上的函数f(x)周期为T(常数)，则命题“∀x∈R，f(x) ＝f(x＋T)”的否定是_∃__x_0_∈__R_，__f_(_x_0)_≠__f(_x_0_＋__T_)； (2)命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的否定是 _角__平__分__线__上__有__的__点__到__这__个__角__两___边__的__距__离__不__相__等_．
解析 因为“綈p为真”⇔p为假⇒p∧q为假；p∧q为假⇒p假或q假
p为假⇔ p为真．所以“ p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．
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解析 答案
2．命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函
数y＝3x＋1 1的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为(
存在一个、至少有
存在量词 一个、有一个、某
个、有些、某些等
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表示符号 01 ∀
02 ∃
3．全称命题和特称命题
名称 形式
全称命题
特称命题
对M中的任意一个x，
结构
有p(x)成立
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记 01 ∀x∈M，p(x)
02 ∃x0∈M，p(x0)
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(3)命题p∧q，p∨q， p的真假判断
p
q p∧q p∨q
真
真
07 真
真
真
假
08 假 真
假真假
真
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假假
假
10 假
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p 假 假 09 真
11 真
2．全称量词和存在量词
量词名词
常见量词
所有、一切、任
全称量词 意、全部、每一
个、任给等
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等”．
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解析
1．全(特)称命题真假的判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中
全称 命题
的每一个元素x，证明p(x)成立； (2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的 一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．如举例说明1中命 题p的真假判断
5 2
；命题q：∀x∈R，都有x2＋x
＋1＞0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧( q)”是
假命题；③命题“( p)∨q”是真命题；④命题“( p)∨( q)”是假命题， 其中正确的是__②__③____．(把所有正确结论的序号都填上)
解析 ∀x∈R，都有sinx∈[－1,1]，所以不存在x0∈R，使sinx0＝ 25，
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1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“ 01 或 ”“ 02 且 ”“ 03 非 ”叫做逻辑联结词． (2)概念 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”， 记作 04 p∧q ； 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”， 记作 05 p∨q ； 对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作 06 p .
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解析 答案
(3)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”
的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q
B．( p)∧( q)
C．( p)∧q D．p∧( q)
解析 易知p是真命题，q是假命题，所以 p是假命题， 题．进而可判断A，B，C是假命题，D是真命题．
解析 由已知得 p是“∀x∈R，x2－x＋1>0”．
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解析 答案
(2)下列命题中的假命题是( A．∃x0∈R，lg x0＝1 C．∀x∈R，x3>0
) B．∃x0∈R，sinx0＝0 D．∀x∈R,2x>0
解析 因为lg 10＝1，所以A是真命题； 因为sin0＝0，所以B是真命题； 因为(－2)3<0，所以C是假命题； 由指数函数的性质知∀x∈R,2x>0是真命题．
否定 03 ∃x0∈M ， p(x0)
04 ∀x∈M ， p(x)
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1．概念辨析 (1)命题“3≤3”是假命题．( ) (2)命题p与 p不可能同真，也不可能同假．( ) (3)p，q中有一个假，则p∧q为假．( ) (4)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )
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解析 答案
2．已知直线l：y＝k(x－1)，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，现给出下列
四个命题：
p1：∀k∈R，l与C相交；p2：∃k∈R，l与C相切； p3：∀r>0，l与C相交；p4：∃r>0，l与C相切． 其中真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 解析 因为直线l：y＝k(x－1)恒过定点(1,0)，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞
第十五页，共五十三页。
解析 答案
1．判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
2．熟记一组口诀 “或”命题一真即真，“且”命题一假即假，“非”命题真假相 反．12/如8/202举1 例说明1中p∧q为假⇔p假或q假.
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1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝