高考数学 第4讲 排列、组合、二项式定理

定义 元素中取 不同元素中取出m个元素的一个排列
1.排列、组合的定义 组合的 出m(m≤n) 合成一组，叫做从n个不同元素中取出
定义 个元素
m个元素的一个组合
2.排列数、组合数的 定义、公式、性质
排列数
组合数
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n，m，
定 m(m≤n，m，n∈N*)个元素的 n∈N*)个元素的所有不同组合的个
解析：令 x＝0, 常数项为 16 2. 由二项展开式的通项公式可知 Tr＋1＝Cr9·( 2)9－r·xr r∈N,0≤r≤9， 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数， 可得 r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5. 答案：16 2 5
6．(2019·南昌模拟)设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10， 则 a1 等于________．
3 36
3
答案：D
2．从 1,2,3，…，10 中选取三个不同的数，使得其中至少有两
个相邻，则不同的选法种数是
()
A．72
B．70
C．66
D．64
解析：1,2,3,4,5,6,7,8,9，10
分类1: 2个数相邻
分类2: 3个数相邻
答案：D
3.如图，某圆形花坛被其内接三角形分成四部分，
现计划在这四部分种植花卉，如果仅有 5 种花卉
则奇数项的二项式系数和为
(
)
A．29
B．210
C．211
D．212
解析：由题意得 C4n＝C6n，由组合数性质得 n＝10，则奇数项 的二项式系数和为 2n－1＝29.故选 A.
答案：A
3．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋
7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2 的值为
高三第二轮复习
第4讲 排列、组合、二项式定理
高考规律把握
1.排列、组合
最新考纲：理解排列、组合的概念及排列数、组合数公式，并能利用公式 解决一些简单的实际问题. 考情考向分析：以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为 载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填 空为主，难度为中档.
D．24
解析：由于(1＋x)4 的通项公式为Tr1 C4r xr (r 0,1, 2,3, 4)
所以(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为 1×C43＋2C41＝12.
答案：A
5．(2019·浙江高考)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是 ________，系数为有理数的项的个数是________．
故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成 A，B，
C，D，E，F 六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，
重点任务 A 必须排在前三位，且任务 E，F 必须排在一起，
则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有
()
A．240 种
B．188 种
C．156 种
D．120 种
解析：顺序：1 2 3 4 5 6 队员:A B C D E F 分类1: A在第1位 分类2: A在第2位 分类3: A在第3位
1 14 0 25 0 15 1 24 240
5
5
5
5
答案：－240
总结回顾
课后作业:
1.完成第4讲 排列、组合、二项式定理的专项过关检测题 2.预习并完成第5讲 数学文化的习题
Tr＋1＝
Cr91x
9－
r·(－2x2)r＝
Cr9
(－2)r·x3r－9，令 3r－9＝0，得 r＝3，所以该二项展开式中的
常数项为 C39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和
为－1－(－672)＝671.故选 B.
答案：B
2．已知(1＋x)n 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，
义
所有不同排列的个数
数
公
A
m n
＝
n(n
－
1)(n
－
2)…(n
－
m
＋
Cmn ＝AAmnmm
式 1)＝n－n！m！
＝nn－1n－m2！ …n－m＋1
性 Ann＝n！，0！＝1
质
Cn0＝1，Cmn ＝Cnn－m，Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1
3.常见题型和重要方法结论
①解决排列问题的方法(6种)：直接法，优先法，捆绑法， 插空法，定序问题除法处理，间接法
(
)
A．39
B．310
C．311
D．312
解析：对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9 两边同时求导， 得 9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令 x＝1，
得 a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令 x＝－1，得 a1－2a2
＋ 3a3－ … － 8a8＋ 9a9 ＝ 32. 所以 (a1 ＋ 3a3 ＋ 5a5 ＋ 7a7 ＋ 9a9)2 －
(2a2 ＋ 4a4 ＋ 6a6 ＋ 8a8)2 ＝(a1＋ 2a2＋ 3a3＋… ＋ 8a8＋ 9a9)(a1－
2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝310×32＝312.故选 D. 答案：D
4．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为( )
A．12
B．16
C．20
②解决排列组合的综合问题，需先分类后分步，且注 意整体均分问题，部分均分问题，和不等分问题.
例题精讲
1．安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项
工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有
()
A．12 种
B．18 种 C．24 种
D．36 种
C CA C A 解析：
21 1
4 21 2 2
解析：因为(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，
(x－1)5
的通项公式为 Tr11
C r1 5
1 5r1 xr1 (r1 0,1, 2,3, 4,5) ，
(x－2)5
的通项公式为 Tr2 1
C r2 5
2 5r2 xr2 (r2 0,1, 2,3, 4,5)
C C C C 所以二项展开式中含 x 项的系数为
答案：D
1.基本概念
考点二：二项式定理
Hale Waihona Puke (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第 k＋1 项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C0n，Cn1，…，Cnn. 2.二项式系数的性质
3.常见题型和重要方法结论 ①二项展开式中特定项或系数问题
②二项式系数的性质及各项系数和 ③二项展开式的应用
例题精讲
1．二项式1x－2x29 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为
()
A．－671
B．671
C．672
D．673
解析：令 x＝1，可得该二项式展开式的各项系数之和为－1，
因为该二项展开式的通项公式为
2.二项式定理
最新考纲：会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 考情考向分析：以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项 公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内 容在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.
考点一：排列、组合
排列的 从n个不同 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
可供选择，要求每部分种植 1 种花卉，并且相邻
两部分种植不同的花卉，则不同的种植方法有
()
A．360 种
B．320 种
C．108 种
D．96 种
解析：
分类1:2种花卉 分类2:3种花卉 分类3:4种花卉
答案：B
4．(2019·惠州模拟)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，
该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的