福建省大田县第一中学高三寒假作业数学(理)试题(二).docx

大田一中2015年寒假作业
高三数学理科(二)
班 级： 姓 名： 号 数：
一．选择题
1. 已知集合{}
{}2
160,5,0,1A x x B =-<=-则
A ．A
B φ=I B.B A ⊆ C.{}0,1A B ⋂= D.A B ⊆ 2.已知i 是虚数单位，则复数4334i
z i
+=
-的虚部是 A. 0 B. i C. i - D. 1
3. 已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为x y 2
5-
=，则它的离心率为 A. 32 B. 23 C.355 D. 5
2
4设,a b r r 是两个非零向量，则“0<⋅b a ”是“,a b r r
夹角为钝角”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 5. 执行如右图所示的程序框图,若输出s 的值为16， 那么输入的n 值等于
A.5
B.6
C.7
D.8 6. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由
不等式组1222x y x y ≤≤⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标
为(2,1)，则
z OA AM =⋅u u u r u u u u r
的最大值为
A ．5-
B ．1-
C ．1
D ．0
7. 如图，在底面边长为a 的正方形的四棱锥P ABCD -中，已知PA AC ⊥平面，且PA a =，则直线PB 与平面PCD 所成的角的余弦值为
1.2A 1
.3
B 2.2
C 3.
D 2y x =围成
8. 已知{}
(,)1,1x y x y Ω=≤≤，A 是由曲线y x =与
P
A D
的封闭区域，若向Ω上随机投一点p ，则点p 落入区域A 的概率为
A.
16 B. 18 C. 112 D.124
9.下列三个数：33
ln ,ln ,ln 3322
a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是
A. a c b >>
B.a b c >>
C. b c a >>
D.b a c >> 10.已知等差数列{}n a 中，前10项的和等于前5项的和.若
06=+a a m 则=m
A 10
B 9
C 8
D 2
11．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A.10 B.20 C.40 D.60
12. 已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，
5sin() (01)42()1() 1 (1)4
x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ 若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是
A ．59(,)24--
B ．9
(,1)4--
C ．599(,)(,1)244----U
D ．5
(,1)2
--
二、填空题
13. 如图，正六边形ABCDEF
AC DB ⋅=u u u r u u u r
______；
14. 已知,(0,)x y ∈+∞，312()2x y -=，则
14
x y
+的最小值为 ； 15. 已知圆4:2
2
=+y x C ，过点)3,2(A 作C 的切线，切点分别为Q P ,，则直线PQ 的方程为 ；
16. 在△ABC 中，B=60°，
AB+2BC 的最大值为_______。

三．解答题
17. (本小题满分10分)等差数列{}n a 中，11-=a ，公差0≠d 且632,,a a a 成等比数列，前n 项的和为n S .
3
4
5
正视图侧视图
俯视图
3
（1） 求n a 及n S ; （2） 设1
1
+=
n n
n a a b ，n n b b b T +++=Λ21，求n T . 18. (本小题满分12分)已知
23cos 2sin 23)(2-+=
x x x f (1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的最大值; (2) 在ABC ∆中, A B C ∠∠∠、、所对的边分别是,,a b c ，2,a =1
()2
f A =-， 求ABC ∆周长L 的最大值.
19. (本小题满分12分)如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 的中点，PO ⊥平面
ABCD ，M 为PD 的中点，∠ADC = 45o ，AD = AC = 1，PO=a
(1)证明：DA ⊥平面PAC ；
(2)如果二面角M −AC −D 的正切值为2，求a 的值.
20. (本小题满分12分)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图所示．
（1）根据直方图求x 的值，并估计该小区100户居民的月均用电量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）从该小区已抽取的100户居民中，随机抽取月用电量超过250度的3户，参加节约用电知识普及讲座，其中恰有ξ户月用电量超过300度，求ξ的分布列及期望.
21.(本小题满分12分)已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x 过点A )23,22(-，离心率为2
2
，点21,F F 分别为其左右焦点. （1）求椭圆C 的标准方程;
（2）若x y 42
=上存在两个点N M ,，椭圆上有两个点Q P ,
满足，2,,F N M 三点共线，2,,F Q P 三点共线，且MN PQ ⊥. 求四边形PMQN 面积的最小值.
22(本小题满分12分)己知函数2
()(22)ln 25f x a x ax =+++ (1)讨论函数f （x ）的单调性；
(2)设1a <-，若对任意不相等的正数12,x x ，恒有1212
()()
8f x f x x x -≥-，求a 的取值范围.
参考答案及评分标准（二） 一、选择题
1—5 CDABC 6—10 CDDAA 11—12 BC 二、填空题 13.2
9
-
，14.3，15.0432=-+y x ，
16.三．解答题
17. 解：（1）有题意可得2
362a a a =⋅又因为11-=a 2=∴d ………… 2分
32-=∴n a n n n s n 22-= ………………… 4分
（2）)1
21
321(21)12)(32(111---=--==
+n n n n a a b n n n ………6分
)]
1
21
321()3111()1111[(2121---++-+--=+++=∴n n b b b T n n ΛΛ
1
2)1211(21--
=---=n n
n ………………10分 18.解：
(1)1cos 231()2sin 2cos2x-1=sin(2)1222226
x f x x x x π
+=
+-=++-Q ()sin(2)16f x x π
∴=+-， ………2分
∴最小正周期为π
………4分
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
Q 1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦
所以()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的最大值是0. ………6分
(2) 1()2f A =-
Q ,3
A π
∴= ………8分
由余弦定理得,
22
2
2
2
2
2
2
2
3()()2cos ()3()44
b c b c a b c bc A b c bc b c bc b c ++=+-=+-=+-≥+-=
即244b c a +≤
=,当且仅当2b c ==时取等号.
ABC ∆∴的周长的最大值是6. ……………12分
法二：由1()2f A =-
，得3
A π
∠=，由正弦定理可得， sin sin sin 33
b c a B C A ==== ………8分
sin ,sin ,33b B c C ∴=
=22(sin sin )2(sin sin())333
L B C B B π=++=++-
224sin()(0)63
B B ππ
=++<<
所以，当3
B π
=
时，L 取最大值，且最大值为6 ………12分
19.(1)证明：由题意，∠ADC =
45o
，AD =
AC =
1,故∠DAC =
90o
即DA ⊥AC .又因为 PO ⊥平面ABCD,
所以，DA ⊥PO ，DA ⊥平面PAC ……………4分 （2）法一：连结DO,作MG ⊥DO 于G ，作GH ⊥AO 于H ，因为M 是PD 中点，且MG ⊥DO ，所以G 为DO 中点，且MG ⊥平面ABCD ，显然，∠MHG 即为二面
角M-AC-D 的平面角.…………8分
因为GH ⊥AO ，且G 为DO 中点，所以11
=22
GH AD =
，而tan 2MG
MHG GH
∠=
=，故=1MG ，PO=2MG=2. ……………12分 法二：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，则
1(,00)2A ，,1(,00)2C -，，1(,10)2D -，，(0,0,)P a ，11(,)422
a M -，
设平面MAC 的法向量为(,,)n x y z =r ，11=(,,)222
a
MA --u u u r ，
(1,0,0)AC =u u u r ，则11-0
2
22
0a x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，所以n r 的一个取值为 (0,,1)a ……………10分
平面ACD 的法向量为=(0,0,)OP a u u u r
.
设二面角的平面角为θ， 因为tan 2θ=，所以2cos 5
1
a a θ=
=
⨯+ a =2 ……………12分
20.
（1）解:由已知得10060.00036.020024.00012.050=+++⨯+⨯）（x
0044.0=∴x ……………2分
设该小区100户居民的月均用电量为S
则+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=225500044.0175500060.0125500036.075500024.0S
=⨯⨯+⨯⨯325500012.027*******.09+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186………6分
（2）该小区用电量在]300,250(的用户数为12100500024.0=⨯⨯，
用电量在]350,300(的用户数为6100500012.0=⨯⨯
=0ξ时，3
1231855(=0)204C p C ξ==，=1ξ时，211263
1833
(=1)68C C p C ξ⨯==, =2ξ时，1212631815(=2)68C C p C ξ⨯==,=3ξ时，363
185
(=3)204
C p C ξ==………10分 所以ξ的分布列是
ξ
0 1 2 3
)3(3)2(2)1(1)0(0=⨯+=⨯+=⨯+=⨯=E ξξξξξp p p p ）（=1
……………12分
21.解：（1）由题意得：2
2=
a c
，得c b =，因为)0(1)23()22(2
2
22>>=+-
b a b
a ，得1=c ，所以22=a ，所以椭圆C 方程为12
22
=+y x . ……………4分 （2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得22,4==PQ MN ,24=S .
当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：)1(-=x k y )0(≠k 与x y 42
=联立得
0)42(2222=++-k x k x k ；
令),(),,(2211y x N y x M ，24
2
21+=
+k x x ，121=x x . 44
2+=
k
MN ，……………6分 ΘMN PQ ⊥，∴直线PQ 的方程为：)
1(1
--=x k
y 将直线与椭圆联立得，0224)2(2
2
2
=-+-+k x x k
令),(),,(4433y x Q y x P ,2
4
243+=
+k x x ，22222
43+-=k k x x ；
2
)
1(222
2++=k k
PQ ，……………8分 ∴四边形PMQN 面积S=)
2()1(24222
2++k k k ，
令)1(,12
>=+t t k ，上式
2(1)(1)S t t =-+
=)
1
11(241112412422222-+=-+-=-t t t t t 24>
所以S ≥最小值为24 ……………12分
22.解：(1)()f x 的定义域为()0,+∞.2222(21)
()4a ax a f x ax x x
+++'=+= 当0a ≥时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞单调递增
当1a -„时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞单调递减；
当10a -<<时，令()0f x '=
，解得x =
即0,x ⎛∈
⎝
时，()0f x '>
；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭
时，()0.f x '<； 故()f x
在0,
⎛ ⎝
单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭
单调递减；…6分 （2）不妨设12x x <，而1a <-，由（1）知()f x 在(0,)+∞单调递减，从而对任意12(0,)x x ∈+∞、，恒有
1212
()()
8
f x f x x x -≥-⇔
1212
()()8f x f x x x -≥-⇔
1221()()8()
f x f x x x -≥-⇔
1122()8()8f x x f x x +≥+ ……………8分 令()()8g x f x x =+，则
22()48a g x ax x +'=
++ 原不等式等价于()g x 在(0,)+∞单调递减，即1
()240a g x ax x
+'=++„，从而 222
22241(21)42(21)2212121
x x x x a x x x ------==-+++„，
故a 的取值范围为(],2.-∞- …………….12分
另解：min 241(
)21x a x --≤+ 设2
41
()21
x x x ϕ--=+， 则22222222222
4(21)(41)48448444(21)(1)
()(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x x x x x ϕ-+---⋅+-+--+'====++++
当1
(0,)()0,()2x x x ϕϕ'∈<时，为减函数，1(,)()0,()2
x x x ϕϕ'∈+∞>时，为增函数。

∴min 1
()()22
x ϕϕ==- ∴--2].a ∞的取值范围为(，
（如果考生将
1212
()()
f x f x x x --视为斜率，利用数形结合得到正确结果的，则总得分不超过8分）。