江苏省南通市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题含解析

江苏省南通市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数133,1
()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩
，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）
A ．[0,)+∞
B ．1,39
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[0,3]
D ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
讨论1x ≤和1x >两种情况，分别解不等式得到答案. 【详解】
当1x ≤时，1()3
3x
f x -=≤，故0x ≥，即[]0,1x ∈；
当1x >时，3()1log 3f x x =-≤，解得1
9
≥x ，即()1,x ∈+∞. 综上所述：[0,)x ∈+∞. 故选：A . 【点睛】
本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.
2．若身高x cm 和体重y kg 的回归模型为0.84985.712y =x -，则下列叙述正确的是（ ） A ．身高与体重是负相关
B ．回归直线必定经过一个样本点
C ．身高170cm 的人体重一定时58.618kg
D ．身高与体重是正相关 【答案】D 【解析】 【分析】
由线性回归直线方程可得回归系数大于0，所以正相关，且经过样本中心，且y 为估计值，即可得到结论． 【详解】
0.84985.712y x =-可得0.8490>，
可得身高与体重是正相关，A 错误，D 正确；
回归直可以不经过每一个样本点，一定过样本中心点(x ，)y ，故B 错误；
若170x cm =，可得ˆ0.84917085.71258.618y
kg =⨯-=，即体重可能是58.618kg ，故C 错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查线性回归中心方程和运用，考查方程思想和估计思想，属于基础题．
3．如果f(n)1111(n n 1n 2n 32n
=+++⋯++++∈N +),那么f(n+1)-f(n)等于( ) A ．
1
2n 1
+ B ．1 2n 2+ C ．11 2n 12n 2+++ D ．11
2n 12n 2
-++
【答案】D 【解析】
分析：直接计算 f(n+1)-f(n). 详解：f(n+1)-f(n)()11111(1)1(1)22212(1)
f n n n n n n =
++⋯+++-++++++
1
1111111 (23)
22122122n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++-+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
11111
.212212122
n n n n n =
+-=-+++++ 故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不能等于11
2122
n n +++，因为前面还有项
1
1
n +没有减掉. 4．如图，由函数()x f x e e =-的图象，直线2x =及x 轴所围成的阴影部分面积等于（ ）
A ．22e e -
B ．221e e --
C ．22
e e -
D ．221e e -+
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：因为，()x f x e e =-=0时，x=1，所以，由函数()x
f x e e =-的图象，直线2x =及x 轴所围
成的阴影部分面积等于12
2()[]
1
x x
e e dx e ex ⎰-=-=22e e -，故选A ．
考点：本题主要考查定积分的几何意义及定积分的计算． 点评：简单题，图中阴影面积，是函数在区间[1,2]的定积分．
5．椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，过AB 中点M
与坐标原点连线斜率为
2
，则m
n
=（ ） A
．
2
B
．
3
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】
试题分析：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y
，可得00OM y k x =
=，21211AB y y k x x -==--，由AB 的中
点为M ，可得1201202,2x x x y y y +=+=，由,A B 在椭圆上，可得221122
221
1
mx ny mx ny ⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得()()120120220m x x x n y y y -⋅+-⋅=
，整理得2
m n
=，故选A ．
考点：椭圆的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，当与弦的斜率及中点有关时，可以利用“点差法”，同时此类问题注意直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式与韦达定理解决是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．
6．在高台跳水运动中，s t 时相对于水面的高度（单位：m ）是()2
4.9 6.510h t t t =-++，则该高台跳水
运动员在1t s =时瞬时速度的大小为（ ） A ．11.6m /s B ．1.6m/s C ．3.3m /s D ．4.9m /s
【答案】C 【解析】 【分析】
根据瞬时速度就是1t s =的导数值即可求解. 【详解】
由()2
4.9 6.510h t t t =-++，
则()9.8 6.5h t t '=-+，
当1t s =时，()19.8 6.5 3.3h '=-+=-. 故选：C 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，同时考查了基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.
7．若复数12z z 、满足12z z =，则12z z 、在复数平面上对应的点12Z Z 、( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可得z 1，z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1，z 2在复数平面上对应的点Z 1，Z 2的关系即可得解． 【详解】
复数12z z 、满足12z z =，可得z 1，z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1，z 2在复数平面上对应的点关于
x 轴对称，故选A.
【点睛】
本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题．
8．从345678910,1112，，，，，，，，中不放回地依次取2个数，事件A = “第一次取到的数可以被3整除”,B =
“第二次取到的数可以被3整除”，则()P B|?
A =( ) A ．
59
B ．
23
C ．
13
D ．
29
【答案】C 【解析】
分析：先求()P AB ，()P A ，再根据()
(|)()
P AB P B A P A =
得结果. 详解：因为214421101022
(),()155
C C P AB P A C C ==
==， 所以2()1
15(|)2()
35
P AB P B A P A =
==, 选C.
点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.
9
,则该圆锥的体积为 A ．13
π B ．
23
π C ．2π
D ．
163
π 【答案】B 【解析】
先设底面半径，然后根据侧面积计算出半径，即可求解圆锥体积. 【详解】
设圆锥的底面半径为R ，则高为2R ，母线长l =
=；又侧面积
2S Rl R π=== ，所以1R =，所以()2
12233
V R R ππ=⨯⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查圆锥的侧面积公式应用以及体积的求解，难度一般.圆锥的侧面积公式：S rl π=，其中r 是底面圆的半径，l 是圆锥的母线长.
10．已知函数2()()f x x a =-，且'(1)2f =，则a =（ ） A ．1- B ．2 C ．1 D ．0
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数()y f x =的导数，结合条件()12f '=，可求出实数a 的值． 【详解】
因为'()22f x x a =-，所以'(1)2122f a =⨯-=，解得0a =，故选D ． 【点睛】
本题考查导数的计算，考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，考查运算求解能力，属于基础题． 11．设集合{}{
}2
1,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）
A ．1
B ．1
2
-
C ．
12
D ．-1
【答案】A 【解析】 【分析】
由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】
因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.
当1m =时，1
{1,}3
B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A.
本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验. 12．命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（ ）
A ．0(0,1),x ∃∉2
000x x -≥ B ．0(0,1),x ∃∈2
000x x -≥ C ．0(0,1),x ∀∉2
000x x -<
D ．0(0,1),x ∀∈2
000x x -≥
【答案】B 【解析】 【分析】
根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断. 【详解】
“全称命题”的否定一定是“特称命题”，
∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2
000x x -≥，
故选：B. 【点睛】
本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题
13．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB
上，若1
2AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________． 【答案】11
6
-
【解析】 【分析】
由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1
(2)3
OC OA AC OA OB =+=
+，则1
(2)()3
OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可.
【详解】
单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，
因为12AC CB =
，所以111
()(2)333
OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+， 所以
()
2211
(2)()233
OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅
11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
116=-
，故答案为11
6
-. 【点睛】
本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）． 14．已知球的半径为，
三点在球的球面上，球心到平面
的距离为
，
，则球的表面积为________________．
【答案】
【解析】 试题分析：设平面
截球所得球的小圆半径为,则
,由
解得
，所以球的表面积.
考点：球的表面积．
【名师点睛】球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是一个圆面，如果截面过球心，则截面圆半径等于球半径，如果截面圆不过球心，则截面圆半径小于球半径，设截面圆半径为，球半径为，球心到截
面圆距离为，则．在圆中也有类似的性质．解题时注意应用．
15．已知函数()2
12sin f x x =-在点,44f π
π⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线为l ，则直线l 、曲线()f x 以及y 轴所围成的区域的面积为__________．
【答案】21
162
π-
【解析】 【分析】
先利用二倍角公式化简函数f （x ）的解析式，利用导数求出该点的斜率，然后求出切点的坐标，得出切线的方程，最后根据定积分即可求出直线l 、曲线f （x ）以及y 轴所围成的区域的面积． 【详解】
∵f （x ）=1﹣2sin 2x=cos （2x ），f （
4
π
）=0， ∴切点坐标为了（
4
π
，0
）． 又f′（x ）=﹣2sin2x ．∴f′（
4
π
）=﹣2， 切线的斜率 k=﹣2，∵切线方程为：y=﹣2（x ﹣
4
π）， 即y=﹣2x +
2
π， 所以直线l 、曲线f （x ）以及y 轴所围成的区域的面积为：
2
4
2
4
00
11(2cos 2)(sin 2)|222162x x dx x x x π
ππ
π
π-+-=-+-=-⎰. 故答案为：21162
π-．
【点睛】
（1）本题主要考查定积分的计算，考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用定积分求曲边梯形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 图中阴影部分的面积
S=12[()()]b
a
f x f x dx -⎰
.
16．若()12n
x +展开式的二项式系数之和为128，则n =________
【答案】7 【解析】 【分析】
根据二项展开式二项式系数和为2n 可构造方程求得结果. 【详解】
()12n x +展开式的二项式系数和为：012128n
n n n
n C C C ++⋅⋅⋅+==，解得：7n = 本题正确结果：7 【点睛】
本题考查二项展开式的二项式系数和的应用，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知定义在区间(0,2)上的函数()ln m
f x x x
=+，m R ∈. （Ⅰ）证明：当1m =时，()1f x ≥；
（Ⅱ）若曲线()y f x =过点(1,0)A 的切线有两条，求实数m 的取值范围.
【答案】 (1)见证明；(2) 24ln 2
03
m -<< 【解析】 【分析】
（1）利用导数求得函数单调性，可证得()min 1f x ≥；（2）利用假设切点的方式写出切线方程，原问题转
化为方程221ln 10m m
x x x
++--=在()0,2上有两个解；此时可采用零点存在定理依次判断零点个数，得到m 范围，也可以先利用分离变量的方式，构造新的函数，然后讨论函数图像，得到m 范围.
【详解】
（1）证明：1m =时，()1
ln f x x x
=
+ ()22111
x f x x x x
-=-
+=' ()f x ∴在(]0,1上递减，在[)1,2上递增 ()()min 11f x f ∴== ()1f x ∴≥
（2）当0m =时，()ln f x x =，()0,2x ∈，明显不满足要求； 当0m ≠时，设切点为()()00,x f x （显然01x ≠），则有()()0001
f x f x x '=
-
0002
0ln 1
m
x x m x x x +
-∴
=-，整理得()0200
21ln 10*m m
x x x ++--= 由题意，要求方程()*在区间()0,2上有两个不同的实数解 令()221ln 1m m g x x x x +=+
-- ()()()3
21x m x g x x --⇒='
①当21m >即12m >时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减112m ⎛⎫
<≤ ⎪⎝⎭
或先单调递减再递增()1m >
而()()1120g me e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭
，()10g m =>，
()3212ln21ln2048m g +=+
-≥->，()1
2ln204g m m m
=+> ()g x ∴在区间()0,1上有唯一零点，在区间()1,2上无零点，
所以此时不满足题要求. ②当1
2
m =
时，()0g x '≥ ()g x ⇒在()0,2上单调递增 ∴不满足在区间()0,2上有两个不同的实数解
③当021m <<即1
02
m <<时，()g x 在()0,2m 上单调递增，在()2,1m 上单调递减，在()1,2上单调递增.
()21ln 10m e e m m g e e m +-⎛⎫
=+-< ⎪⎝⎭
，()10g m =>
()g x ∴在区间()0,2上有唯一零点，所以此时不满足题要求.
④当0m <时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增，
()()1120g me e e ⎛⎫
=--> ⎪⎝⎭
，()10g m =<，()322ln24m g -=+
当()20g ≤即24ln2
3
m -≤
时，()g x 在区间()0,2上有唯一零点，此时不满足题要求. 当()20g >即
24ln2
03
m -<<时，()g x 在区间()0,1和()1,2上各有一个零点 设零点为12,x x ，又这时()221x m m
f x x x x
'-==-显然在区间()0,2上单调递减 ()()12f x f x ∴≠''，此时满足题目要求.
综上所述，m 的取值范围是
24ln2
03
m -<< （2）解法二：设切点为000,ln m x x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
由解法一的关于0x 的方程
()00200
211
ln 10x m x x x -+-+=在区间内()0,2有两解 显然
1
2
不是方程的解 故原问题等价于22
ln 12x x x x m x +-=-在区间内()0,2有两解
设()()221ln ln 1212x x x x x x x x g x x x
+-+-==
--，02x <<且12x ≠
则()()()
2
112ln 12x x x x g x x ⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭-'=
，02x <<且1
2x ≠ 令()12ln h x x x =+，02x <<，则()221221x h x x x x -=-+=' 又10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，()0h x '<；1,22x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()0h x '>
()()min 12ln402h x h x h ⎛⎫
⇒≥==-> ⎪⎝⎭
，
故110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()0g x '>；()1,2x ∈，()0g x '<
从而110,
,,122x ⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()g x 递增，()1,2x ∈，()g x 递减 令()1ln t x x x x =+-，02x << ()ln t x x ∴'= 由于()0,1x ∈时()0t x '<，()1,2x ∈时()0t x '>
()()()min 10t x t x t ∴≥==
故10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x >；1,22x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()0g x ≤，
而1,22x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()()10g x g ≤=，12x →时，()g x →-∞
故22
ln 12x x x x m x
+-=-在区间内()0,2有两解()20g m ⇔<<
解得：
24ln2
03
m -<<
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用.难点在于将原问题转化为方程根的个数的问题，此时根无法确切的得到求解，解决此类问题的方式是灵活利用零点存在定理，在区间内逐步确定根的个数. 18．选修4-5：不等式选讲
已知函数()21f x x x =-+-. （1）求不等式()7f x ≤的解集；
（3）若函数()2
2
23g x x x a =-+-的最小值不小于()f x 的最小值，求a 的取值范围.
【答案】 (1) []2,5-.
(2)([])
,1,1a ∈-∞⋃-⋃+∞.
【解析】
分析：（1）分段讨论即可；
（2）分别求出()f x 和()g x 的最小值，解出即可. 详解：（1）由()7f x ≤，得217x x -+-≤，
∴2237x x >⎧⎨-≤⎩或1217x ≤≤⎧⎨≤⎩
或1
327x x <⎧⎨-≤⎩
解得25x -≤≤，故不等式()7f x ≤的解集为[]
2,5-. （2）∵()()21211f x x x x x =-+-≥---=， ∴()f x 的最小值为1.
∵()()2
min 131g x g a ==--，
∴2
311a --≥，
则232a -≥或232a -≤-，
解得([])
,1,1a ∈-∞⋃-⋃+∞.
点睛：求解与绝对值不等式有关的最值问题的方法 求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：
第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a 恒成立⇔a>f(x)max ，f(x)>a 恒成立⇔a<f(x)min .
第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．
19．已知函数()()22
2ln 02
a a f x a x x ax a +=-+≠.
（1）当a =
()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在1x =处取得极大值，求a 的取值范围. 【答案】（1）增区间为0,1，减区间为1,；（2）(]()1,1,00,2a ⎛⎫
∈-∞-⋃-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】 （1
）将a =
f
x ，利用导数值判断()f x 的单调区间即可；
（2）由题求得()()()
11a a x a x f x x
-++-⎡⎤⎣⎦'=，对a 进行分类讨论，判断()f x 在1x =处取得极大值
时a 的范围即可. 【详解】
（1
）由题意，当a =
()f
x ()2
3ln 0x x x =+>，
所以(
)
(
(()33133x x f x x x x
⎡⎤-++-⎣⎦'=-++=，
令0f x
，解得1302x =<，21x =，
0f
x
，解得01x <<；0f
x
，解得，1x >；
所以()f x 的单调增区间为0,1，单调减区间为1,
；
（2）由题意，()()()()()22
110a a x a x a f x a a x a x x x
-++-⎡⎤⎣⎦'=-++=>，
①当1a =-时，()()21a x f x x
--'=，
0f x ，解得01x <<；0f x ，解得，1x >；
所以()f x 在1x =处取极大值； 当1a ≠-时，令0f x
，得11
a
x a =-
+，21x =， ②当01
a
a -
<+时，即1a <-，或0a >时， 0f x ，解得01x <<；0f x ，解得，1x >；
所以()f x 在1x =处取极大值； ③当011a a <-
<+，即1
02
a -<<时， 0f x
，解得11a x a -<<+，0f x ，解得，01
a
x a <<-+，或1x >；
所以()f x 在1x =处取极大值； ④当11a
a -
=+，即12
a =-时， ()
()2
104x f x x
-'=
≥，故()f x 不存在极值；
⑤当11a a -
>+时，即1
12
a -<<-时， 0f
x ，解得，11
a
x a <<-+；0f x
，解得，01x <<，或1
a
x a >-
+； 所以()f x 在1x =处取极小值；
综上，当()f x 在1x =处取得极大值时，(]()1,1,00,2a ⎛⎫
∈-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
20．食品安全一直是人们关心和重视的问题，学校的食品安全更是社会关注的焦点.某中学为了加强食品安全教育，随机询问了36名不同性别的中学生在购买食品时是否看保质期，得到如下“性别”与“是否看保质期”的列联表：
（1）请将列联表填写完整，并根据所填的列联表判断，能否有95%的把握认为“性别”与“是否看保质期”有关？
（2）从被询问的14名不看保质期的中学生中，随机抽取3名，求抽到女生人数ξ的分布列和数学期望.
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（n a b c d =+++）.
临界值表：
【答案】（1）有95%的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系
（1）分布列见解析，6()7
E ξ= 【解析】 （
分析：1）将列联表填写完整，求出2K ，然后判断性别与是否看保质期之间是否有关系． （1）判断ξ的取值为0，1，1．3，求出概率，然后得到分布列，求解期望即可． 详解：
（1）填表如下：
根据列联表中的数据，可得
()2
36841410 4.208 3.84122141818
k ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯.
故有95%的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系. （1）由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
()3010431412030
036491C C P C ξ====，()211043
1418045136491C C P C ξ====， ()121043146015236491C C P C ξ====，()031043
1441
3
36491
C C P C ξ====， 所以()01239191
9191917
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯==. 点睛：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，对立检验的应用，考查计算能力． 21．已知向量3sin ,cos cos 4
m x x π⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭
，3cos ,cos sin 4n x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，函数()f x m n =⋅，在ABC 中1
()2f B =
，4AB =，AC =D 在BC 边上，且1cos 3
ADC ∠=． （1）求AD 的长；
（2）求ACD 的面积S ． 【答案】（1）3；（2）42. 【解析】 【分析】
（1）首先化简()f x 得到2
()sin(2)
24
f x x π=
+，根据1()2f B =得到4B π=，再利用正弦定理即可求出AD 的长度.
（2）首先在ADC 中利用余弦定理求得4CD =，再利用面积公式即可求出ADC S △. 【详解】
（1）3
3()sin cos (cos cos )(cos sin
)44
f x m n x x x x ππ==+++ 11cos 212sin 2sin(2)22224
x x x π+=+-=+. 因为21
()sin(2)242
f B B π=
+=
，0B π<<，9444B πππ<2+<， 所以344B π
π
2+
=
，4
B π=.
又因为1cos 3ADC ∠=
，所以1cos 3ADB ∠=-，22
sin ADB ∠= 在ABD △中，由正弦定理得：
sin sin
4
AD
AB
ADB π
=
∠，
解得：2
42223
AD =
.
（2）因为1cos 3ADC ∠=
，所以2
sin 3
ADC ∠=
. 在ADC 中，由余弦定理得：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-∠. 整理得：2280CD CD --=，解得4CD =或2CD =-（舍去）.
所以11sin 34223
ADC
S
AD CD ADC =
∠=⨯⨯⨯=【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.
22．某市交通管理有关部门对2018年参加驾照考试的21岁以下的学员随机抽取10名学员，对他们的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明相关知识）进行两轮测试，并把两轮成绩的平均分作为该学员的抽测成绩，记录数据如下：
（1）从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机抽取一名学员，估计这名学员抽测成绩大于或等于
90分的概率；
（2）根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到90分以上（含90分）才算合格，从抽测的1到5号学员中任意抽取两名学员，记X 为抽取学员不合格的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ． 【答案】（1）7
10
P =；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据表格中的数据得出10个学员中抽测成绩中大于或等于90分的人数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；
（2）先根据表格中的数据得出1到5号学员合格与不合格的人数，可得知随机变量X 的可能取值有0、1、
2，然后再根据超几何分布的概率公式计算出随机变量X 在相应取值时的概率，并列出分布列，结合数
学期望公式可计算出()E X 的值. 【详解】
（1）学员抽测成绩大于或等于90分的有7个，
∴从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机抽取一名学员，
估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率710
P =
； （2）1号至5号学员中有3个合格，2个不合格，X ∴的可能取值为0、1、2，
()2
2251010C P X C ===，()112325315C C P X C ===，()232
53
210
C P X C ===，
∴的分布列为：
X
E X=⨯+⨯+⨯=．
因此，随机变量X的数学期望为()012
105105
【点睛】
本题考查利用古典概型概率公式计算事件概率，同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的计算，解题时要弄清楚随机变量所满足的分布类型，结合相应的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.。