求二面角的几何法
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3种求二面角的几何法
二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题,课本上是通过它的平面角来进行度量的,关键在于充分利用平面角的定义。
下面来介绍求二面角的大小的几种方法:
直二面角情况:一般是通过几何求证的方法,主要依据是直线与平面垂直的判定定理。
例1. 如图 ABCD 是矩形,AB =a ,BC =b (a >b),沿对角线AC 把 △ADC 折起,使 AD ⊥BC ,证明:平面 ABD ⊥平面BCD 。
证明:由题意可知:
AD ⊥BC ,AD ⊥DC
∴ AD ⊥面BCD 又 AD 面ABD ∴ 平面ABD ⊥平面BCD
例2. 在四棱锥 A-BCDE 中,底面是直角梯形,其中 BC ∥DE ,∠BCD =90°,且 DE =CD =2
1
BC ,又AB =AE =
2
1
BC ,AC =AD , 求证:面ABE ⊥面BCD 。
证明:取BE 的中点M ,CD 的中点N , 连结 AM ,AN ,MN ,
∵ AB =AC (已知) ∴ AM ⊥BE
同理 AC =AD 有AN ⊥CD 在直角梯形BCDE 中,
∵ M 、N 分别是BE 、CD 的中点 ∴ MN ∥BC 又 ∠BCD =90° ∴ MN ⊥CD ∴ CD ⊥面AMN ∴ CD ⊥AM
又 AM ⊥BE ,CD 、BE 是梯形的两个腰,即它们一定相交,
C
B
∴ AM ⊥面BCD , 又AM 面ABE ∴ 面ABE ⊥面BCD 。
当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。
1.充分利用二面角的定义,证明某角即为二面角的平面角,如找不到现成的,则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。
例3.如图三棱锥 P-ABC 中,PC ⊥平面ABC ,PC =3
2 ,D 是 BC 的中点,且△ADC 是边长为 2
的正三角形,求二面角 P-AB -C 的大小。
解:由已知条件,D 是BC 的中点
∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2
∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形, ∴ AB ⊥AC , 又 PC ⊥面ABC
∴ PA ⊥AB (三垂线定理)
∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角, 易求 ∠PAC =30°
例4.如图在三棱锥 S-ABC 中,SA ⊥底面ABC ,AB ⊥BC ,DE 垂直平分SC ,且分别交 AC 、SC 于D 、E ,又SA =AB ,BS =BC , 求以BD 为棱,BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
解:∵ BS =BC ,又DE 垂直平分SC
∴ BE ⊥SC ,SC ⊥面BDE ∴ BD ⊥SC ,又SA ⊥面ABC ∴ SA ⊥BD ,BD ⊥面SAC ∴ BD ⊥DE ,且BD ⊥DC 则 ∠EDC 就是所要求的平面角 设 SA =AB =a ,
A
B
则 BC =SB =2a 且 AC = 3
易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60°
例5. 如图:ABCD 是矩形,AB =8,BC =4,AC 与 BD 相交于O 点,P 是平面 ABCD 外一点,PO ⊥面ABCD ,PO =4,M 是 PC 的中点,求二面角 M-BD-C 大小。
解:取OC 之中点N ,则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD
∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ,连MR , 则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =2
1
CE 在 Rt △BCD 中, ∴ 5
8
BD BC CD CE =⋅=
∴ 5
4RN =
2
5
RN MN MRN tan ==
∠ ∴ 2
5
a r c t a n M R N =∠
2.利用 θ⋅=cos S S 射影
此方法的优点只要找出射影图形及两个面积,不需要找出两面角的平面角,缺点是计算相对烦一些。
例6.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直,且AB =BC =BD ,∠ABC =∠DBC =0
120,求二面角 A-BD-C 的余弦值。
解:过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E , 连结 DE ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD
∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影
A C
∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影
设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=
a 2
3 ∴ AD =
4
1ABD cos 26=∠, ∴ sin ∠ABD =
4
15
∴ 22A B D a 815415a 21S =⨯=
∆ 又 a 21BE = ∴ 2B D E a 8
3a 21a 2321S =⋅⋅=
∆ ∴ 5
5
S S c o s A B D B D E =
=
θ∆∆ 考虑到我们求的是二面角 A-BD-E ,而二面角 A-BD-C 与A-BD-C 互补 ∴ 二面角 A-BD-C 的余弦值为5
5
-。
例7.已知正方体 AC',M 、N 分别是BB',DD'的中点,求截面 AMC'N 与面ABCD ,CC'D'D 所成的角。
解:设边长为a ,易证 ANC'N 是菱形 且MN =a 2,A'C =a 3 ∴S□AMC'N = 2a 2
6'AC 21MN =⋅
由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD
∴ S□ABCD =2
a ∴ 3
6a 2
6a c o s 221=
=
θ
A
C ’
A ’
C
∴ 3
6a r c c o s 1=θ 取CC'的中点M',连结DM'
则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影,
S□DM'C'M =
2a 21 ∴ 66a 2
6a
21c o s 2
22==θ ∴6
6arccos
2=θ 3.利用公式 θ
±+=c o s mn 2n m EF 2
2
2
这个公式是异面直线上二点的距离公式,我们稍作改造便可以用于求二面角的大小。
事实上,以公垂线AA'与 a 构成平面α,AA'与b 构成平面β,则θ是两异面直线所成的角变成了二面角α-AA'-β的平面角或它的补角(要注意它们的范围可能发生了变化)。
例8.如图 AC ⊥面BCD ,BD ⊥面ACD ,若AC =CD =1,∠ABC =30°,求二面角D AB C --的大小。
解:作DF ⊥AB 于F ,CE ⊥AB 于E , ∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD =2,BC =3 , AB =2, BD =2 在Rt △ABC 中, 23
231AB BC AC CE =⨯=⋅=
,
同理 12
2
2AB
BD
AD DF =⨯=⋅= ∴ 1DF BD BF 22=-=
2
1CE AC AE 22=
-= ∴ 2
12112EF =-
-=
∴ θ
⋅-++=c o s DF EF 2EF DF CE CD 2
222 ∴ 3
3
cos =
θ 即所求角的大小为3
3arccos 。
例9. 三棱锥 A-BCD 中,∠BAC =∠BCD =90°,∠DBC =30°,AB =AC =6,AD =4,求二面角 A-BC-D 的度数。
解:由已知条件∠BAC =90°,AB =AC , 设BC 的中点设为O ,则OA =OC =3
BC =32
23
3
3230tan BC DC 0=⨯
== ∴ θ⋅-++=cos CD AO 2CD OC AO AD 2
2
2
2
解之得:
2
1cos -=θ ∴
150=θ
从一道高考题谈二面角大小的种种求法
546700 蒙山县第一中学 黄天华
在历年高考中,立体几何这一道题,就其解法而言,有传统的几何法 和向量法两种(几何法重逻辑推理向量法重计算),更有其它的一些特殊解法,本文拟2008年江西卷(理科)第20题为例,谈二面角大小的种种求法。
题目:如图,正三棱锥的三条侧棱
两两垂直,且长度均为2,分别是
的中点,
是
的中
点,过
的一个平面与侧棱
或其延长线分别交于
B
,已知.(1)求证:平面;(2)求二面角的大小;(3)求点到平面的距离。
1 几何法
1.1定义法
根椐二面角的定义及度量知二面角的大小等于其平面角的大小,所以求二面角的大小一般遵循如下三个步:一作二证三计算。
解法1:(1)(3)略(以下各解法均略)。
(2)如图,过作于,连结,因为平面,根椐三垂线定理知:,则是二面角的平面角。
作
,则∥,且为的中点,,由
∽有:,即,解得
;在中,,所以
,,故所求二面角
的大小为。
1.2 面积射影法
设法作出二面角中的一个面在另一个面内的射影面,然后分别求出这个面和射影面的面积
,利用求出二面角的大小。
解法2:依题意知:平面,所以平面在平面
上的射影是.由解法1知:
,所以
,而,设二面角
的大小为,则,故所求二面角的大小为。
1.3 双高比值法
设法分别求出点到平面和到棱的距离和,并设二面角的大小为,则由可求二面角的大小,这种方法我们称之为“双高比值法”。
解法3:由解法1知:;又由解法2知:
,设点到平面的距离为,则由得:,,设二面角的大小为,则,故所求二面角的大小为。
1.4 公式法
利用下()教材例2的结论:可以求二面角的大小。
解法4:如图,过作于,则由解法1知:
,由得:;过作于,在中,
由解法2知:,则,所以
,故将
,代入
得:
,解得,故所求二面角的大小为。
1.5 三面角余弦定理法
如图,在三面角中,有如下定理:若
,,二面角的平面
角大小为,则(证明略)。
利用该公式可求二面角的大小。
解法5:如图,由解法1知:,则
=
,在中,由余弦定理得:
,将
之值代入
得:,,故所求二面角的大小为。
2 向量法
2.1面法法
分别求出构成二面角的两个面的法向量,然后利用求出二面角的大小,这种方法我们称之为“面法法”。
解法6:如图,以为坐标原点,所在直线分别
为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,则相关
点的坐标为
,设,由与共线
的充要条件知:存在,使得:=,即
,有此得:3,,同理,则
,设是平面的一个法向量,则由
得,令,则有,又是平面的一个法
向量,所以=,故所求二面角的大小为。
2.2 棱法法
我们把通过二面角棱上任意两点(可重合)在二面角的棱上且垂直于棱的两个向量
,叫做二面角棱的法向量,利用可求出二面角的大小,这种方法我们称之为“棱法法”。
解法7:如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间
直角坐标系,则相关点的坐标为,
,由解法6知:,,设点
,且,则,即
,所以①,又由得:
11
,所以 ②,解①②得,故。
设
,
且
,同理可求得:
所以:
,故所求二面角
的大小为。
2.3 非坐标向量法
选择不共面的三个向量作为基向量,然后用基向量来表示二面角所在的两个面的法向
量,由公式可以求出二面角的大小。
解法8:记
,且
,
,由
及
,设平面
的法向量为
,
因为
,=
,所以由
得:
,令
得:
,又是平面
的法向量,所以
,故所求二面角
的大小为。