高三数学二轮专题复习选择题“瓶颈”突破练
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选择题“瓶颈”突破练
1.已知数列{a n }满足:a n +1=a n -a n -1(n ≥2,n ∈N *),a 1=1,a 2=2,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 018=( ) A.3
B.2
C.1
D.0
[解析] ∵a n +1=a n -a n -1,a 1=1,a 2=2,∴a 3=1,a 4=-1,a 5=-2,a 6=-1,a 7=1,a 8=2,…,故数列{a n }是周期为6的周期数列,且每连续6项的和为0.故S 2 018=336×0+a 2 017+a 2 018=a 1+a 2=3. [答案] A
2.已知圆心为O ,半径为1的圆上有不同的三个点A ,B ,C ,其中OA →·OB →=0,存
在实数λ,μ满足OC →+λOA →+μOB →=0,则实数λ,μ的关系为( ) A.λ2+μ2=1 B.1λ+1μ=1 C.λμ=1
D.λ+μ=1
[解析] 法一 取特殊点,取C 点为优弧AB 的中点,此时由平面向量基本定理易得λ=μ=2
2,只有A 符合.
法二 依题意得|OA →|=|OB →|=|OC →|=1,-OC →=λOA →+μOB →,又OA →·OB →
=0,两边平方得1=λ2+μ2. [答案] A
3.已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)与直线y =x +3只有一个公共点,且椭圆的离心率为5
5,则椭圆C 的方程为( ) A.x 216+y 2
9=1 B.x 25+y 2
4=1 C.x 29+y 2
5=1
D.x 225+y 2
20=1
[解析] 把y =x +3代入椭圆的方程,得(a 2+b 2)x 2+6a 2x +9a 2-a 2b 2=0,由于只有一个公共点,所以Δ=0,得a 2
+b 2
=9,又c a =55,所以b 2a 2=4
5,解得a 2=5,b 2
=4. [答案] B
4.已知函数f (x )的定义域为R ,且f ′(x )>1-f (x ),f (0)=2,则不等式f (x )>1+e -
x 的
解集为( ) A.(-1,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞)
D.(e ,+∞)
[解析] 令g (x )=e x f (x )-e x ,则g ′(x )=e x ·[f (x )+f ′(x )-1]>0,所以函数g (x )在R 上单调递增.
又g (0)=e 0f (0)-e 0=1,所以不等式f (x )>1+e -x ⇔e x f (x )-e x >1⇔g (x )>g (0)⇔x >0, 故不等式f (x )>1+e -x 解集为(0,+∞). [答案] B
5.将函数y =cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x +π3的图象向左平移π6个单位后,得到f (x )的图象,则( )
A.f (x )=-sin 2x
B.f (x )的图象关于x =-π
3对称
C.f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π3=12 D.f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12,0对称
[解析] 依题意,f (x )=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x +π6+π3=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,A 错,又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
-π3=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2=1,知f (x )关于x =-π
3对称,B 正确,同样检验C ,D 不正确. [答案] B
6.已知P 是圆x 2+y 2=R 2上的一个动点,过点P 作曲线C 的两条互相垂直的切线,切点分别为M ,N ,MN 的中点为E ,若曲线C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0),且R 2=a 2
+b 2
,则点E 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=x 2+y 2a 2+b 2
;若曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >b >0),且
R 2=a 2-b 2,则点E 的轨迹方程为( ) A.x 2a 2-y 2
b 2=x 2+y 2a 2-b 2
B.x 2a 2-y 2
b 2=x 2+y 2a 2+b 2
C.x 2a 2+y 2
b 2=x 2+y 2a 2-b
2
D.x 2a 2+y 2
b 2=x 2+y 2a 2+b
2
[解析] 由于椭圆与双曲线的定义中运算互为逆运算,所以,猜想点E 的轨迹方程为x 2a 2-y 2
b 2=x 2+y 2a 2
-b
2
.
[答案] A
7.(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )=ln x
x ,则( ) A.f (x )在x =e 处取得极小值1e B.f (x )有两个零点
C.y =f (x )的图象关于点(1,0)对称
D.f (4)<f (π)<f (3)
[解析] 易得f ′(x )=1-ln x
x 2(x >0),令f ′(x )=0,得x =e.
∴当x ∈(0,e)时,f ′(x )>0;当x >e 时,f ′(x )<0. 故f (x )在(0,e)上是增函数,在(e ,+∞)上是减函数. 而4>π>3>e ,故f (3)>f (π)>f (4). [答案] D
8.已知x ,y 满足线性约束条件⎩⎨⎧y -x ≤3,
x +y ≤5,y ≥λ,
若z =x +4y 的最大值与最小值之差为
5,则实数λ的值为( ) A.3
B.73
C.32
D.1
[解析] 作出不等式组对应的平面区域,由题设得A (1,4),B (λ-3,λ).由z =x +4y ,得y =-14x +z 4,平移直线y =-1
4x ,由图象可知当直线经过点A 时,直线y =-14x +z
4的截距最大,此时z 最大,且z max =1+4×4=17.
当直线经过点B 时,直线的截距最小,此时z 最小,且z min =λ-3+4λ=5λ-3. ∵z =x +4y 的最大值与最小值的差为5, ∴17-(5λ-3)=20-5λ=5,得λ=3.
[答案] A
9.已知正三棱锥P -ABC 的正视图和俯视图如图所示,则此三棱锥外接球的表面积为( )
A.16π3
B.64π3
C.100π3
D.12π
[解析] 如图,作PG ⊥CB 于点G ,连接AG ,设点P 在底面ABC 内的射影为D ,连接PD ,依题易得AB =23,PG =13,PA =4,AD =2,PD =23,PD ⊥平面ABC .易知.正三棱锥P -ABC 外接球的球心在PD 上,不妨设球心为O ,半径为r ,连接OA ,则在Rt △AOD 中,r 2=22+(23-r )2⇒r 2=163,S =4πr 2=64π
3
.
[答案] B
10.如果对定义在R 上的函数f (x ),对任意m ≠n ,均有mf (m )+nf (n )-mf (n )-nf (m )>0成立,则称函数f (x )为“H 函数”.给出下列函数: ①f (x )=ln 2x -5; ②f (x )=-x 3+4x +3; ③f (x )=22x -2(sin x -cos x );
④f (x )=⎩⎨⎧ln|x |,x ≠0,
0,x =0.
其中是“H 函数”的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
[解析] 由题设,得(m -n )[f (m )-f (n )]>0(m ≠n ). ∴函数“H 函数”就是函数f (x )为R 上的增函数.
对于①,f (x )=ln 2x -5,显然f (x )为R 上的增函数;对于②,当x =0和x =2时函数值相等,因此函数f (x )=-x 3+4x +3不可能是R 上的增函数;对于③,f ′(x )=22-22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x +π4≥0在R 上恒成立,则f (x )=22x -2(sin x -cos x )是R 上的增
函数;对于④,当x =0和x =1时函数值相等,因此函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |,x ≠0,
0,x =0不
可能为R 上的增函数,因此符合条件的函数个数为2. [答案] B
11.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,抛物线y 2
=2px (p >0)与双曲线y 2a 2-x 2b 2=1的渐近线的交点(除原点外)到抛物线的准线的距离为8,则p =( ) A.1
B.2
C.4
D.6
[解析] 因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为1
2, 所以a 2-b 2a 2=14,即b 2a 2=34.
双曲线y 2a 2-x 2b 2=1的渐近线方程为y =±a b x =±
23
3x , 代入y 2=2px 中,得x =0(舍去)或x =3
2p . 由题意得3p 2+p
2=8,解得p =4. [答案] C
12.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,平面α与棱AB ,AC ,A 1C 1,A 1B 1分别交于点E ,F ,G ,H ,且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题:①四边形EFGH 是平行四边形;②平面α∥平面BCC 1B 1;③平面α⊥平面BCFE .其中正确的命题有( ) A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
[解析] 直线AA 1∥平面α,平面α∩平面AA 1B 1B =EH ,所以AA 1∥EH .同理AA 1∥GF ,所以EH ∥GF ,又ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱,易知EH =GF =AA 1,所以四边形EFGH 是平行四边形,故①正确;若平面α∥平面BCC 1B 1,由平面α∩平面A 1B 1C 1=GH ,平面BCC 1B 1∩平面A 1B 1C 1=B 1C 1,知GH ∥B 1C 1,而GH ∥B 1C 1不一定成立,故②错误;由AA 1⊥平面BCFE ,结合AA 1∥EH 知EH ⊥平面BCFE ,又EH ⊂平面α,所以平面α⊥平面BCFE ,故③正确.
[答案] C
13.已知实数x ,y 满足条件⎩⎨⎧y ≤x -1,
x ≤3,x +5y ≥4,
令z =ln x -ln y ,则z 的最小值为(
)
A.ln 32
B.ln 23
C.ln 15
D.-ln 15
[解析] 作可行域如图阴影所示.
则可行域内点A 与原点O 连线斜率最大,又A (3,2),则k max =k OA =y x =2
3. ∴x y 的最小值为32.
∴z =ln x -ln y =ln x y 的最小值为ln 3
2. [答案] A
14.△ABC 三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,b 2+c 2+bc -a 2=0,则
a sin (30°-C )
b -
c 的值为( )
A.-12
B.12
C.-32
D.32
[解析] 由b 2+c 2+bc -a 2=0,得b 2+c 2-a 2=-bc , ∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =-1
2,又0°<A <180°,知A =120°, 因此B +C =60°,B =60°-C ,
则a sin (30°-C )b -c =sin A sin (30°-C )sin B -sin C =3
2sin (30°
-C )
sin (60°-C )-sin C .
又sin(60°-C )-sin C =32cos C -1
2sin C -sin C =3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C -3
2sin C =3sin(30°-C ),
所以a sin (30°-C )b -c =3
2sin (30°
-C )
3sin (30°-C )=1
2.
[答案] B
15.已知F 为双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的右焦点,定点A 为双曲线虚轴的一个顶点,过F ,A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴左侧的交点为B ,若FA →=(2-
1)AB →,则此双曲线的离心率是( ) A. 2
B. 3
C.2 2
D. 5
[解析] 设F (c ,0),A (0,-b ),渐近线方程为y =b a x ,则直线AF 的方程为x c -y
b =1,与y =b a x 联立可得B ⎝
⎛⎭⎪⎫ac a -c ,bc a -c ,∵FA →=(2-1)AB →,∴(-c ,-b )=(2-1)⎝
⎛⎭
⎪⎫ac a -c ,bc a -c +b ,
∴-c =(2-1)ac a -c ,∴e =c
a = 2.
[答案] A
16.已知函数f (x )=⎩⎨⎧e x ,x ≥0,
ax ,x <0,若方程f (-x )=f (x )有五个不同的根,则实数a 的取
值范围为( ) A.(-∞,-e) B.(-∞,-1) C.(1,+∞)
D.(e ,+∞)
[解析] 因为f (0)=f (-0)=e 0=1,所以x =0是方程f (-x )=f (x )的一个根. 又方程f (-x )=f (x )有五个不同的根,即方程e x =a (-x )(x >0)有两个不同的根,设过原点且与函数g (x )=e x (x >0)的图象相切的直线为OP (其中点P (x 0,y 0)为切点),则-a >k OP .
由g ′(x )=e x ,得在点P (x 0,y 0)的斜率为k OP =e x 0=y 0x 0
=e x 0
x 0
,解得x 0=1.所以-
a >e ,即a <-e ,所以实数a 的取值范围为(-∞,-e).
[答案] A。