1.4.1-2《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(1、2、3)》课件(北师大版必修2)
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空间图形基本关系的认识(最新课件)
图1－4－4
【证明】 ∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB， B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB， ∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， 且A1C在平面A1D1CB内， ∴Q∈平面A1D1CB，又Q∈平面ABC1D1， ∴Q在两平面的交线BD1上，
本例中若l1∥l2，其它条件不变．求证：l1、l2、l3在同 一平面内．
【证明】 ∵l1∥l2，
∴l1、l2 确定一个平面记为 α. ∵l1∩l3＝C，∴C∈l1. ∵l1⊂α，∴C∈α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. ∵l2⊂α，∴B∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α， 即 l1、l2、l3 在同一平面内.
●教学流程
演示结束
1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直 线、平面之间的位置关系(重点)． 课标解读 2．理解异面直线的概念，以及空间图形基本关 系(难点)． 3．掌握空间图形的三个公理(重点).
空间图形的基本位置关系
【问题导思】 1．长方体的一个顶点与12条棱和6个面有12种位置关 系？ 2．12条棱中，棱与棱有几种位置关系？ 3．棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 4．六个面之间有哪几种位置关系．
2．此类问题的本质是要利用公理3证明点在直线上．
如图所示，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB， B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：直线AA1、BB1、CC1交于一 点．
【证明】 ∵A1B1∥AB，
∴直线 A1B1 与 AB 确定一平面 α. 同理，直线 B1C1 与 BC 确定一平面 β，直线 C1A1 与 CA 确 定一平面 γ.易知 β∩γ＝C1C. 又△ABC 与△A1B1C1 不全等，∴AA1 与 BB1 相交， 设交点为 P，P∈AA1，P∈BB1. 而 AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β， ∴P 在平面 β 与平面 γ 的交线上．又 β∩γ＝C1C， 根据公理 2 知，P∈C1C，∴直线 AA1、BB1、CC1 交于一点．
【证明】 ∵D1∈平面ABC1D1，D1∈平面A1D1CB， B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB， ∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， 且A1C在平面A1D1CB内， ∴Q∈平面A1D1CB，又Q∈平面ABC1D1， ∴Q在两平面的交线BD1上，
本例中若l1∥l2，其它条件不变．求证：l1、l2、l3在同 一平面内．
【证明】 ∵l1∥l2，
∴l1、l2 确定一个平面记为 α. ∵l1∩l3＝C，∴C∈l1. ∵l1⊂α，∴C∈α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. ∵l2⊂α，∴B∈α. ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α， 即 l1、l2、l3 在同一平面内.
●教学流程
演示结束
1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直 线、平面之间的位置关系(重点)． 课标解读 2．理解异面直线的概念，以及空间图形基本关 系(难点)． 3．掌握空间图形的三个公理(重点).
空间图形的基本位置关系
【问题导思】 1．长方体的一个顶点与12条棱和6个面有12种位置关 系？ 2．12条棱中，棱与棱有几种位置关系？ 3．棱所在直线与面之间有几种位置关系？ 4．六个面之间有哪几种位置关系．
2．此类问题的本质是要利用公理3证明点在直线上．
如图所示，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB， B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：直线AA1、BB1、CC1交于一 点．
【证明】 ∵A1B1∥AB，
∴直线 A1B1 与 AB 确定一平面 α. 同理，直线 B1C1 与 BC 确定一平面 β，直线 C1A1 与 CA 确 定一平面 γ.易知 β∩γ＝C1C. 又△ABC 与△A1B1C1 不全等，∴AA1 与 BB1 相交， 设交点为 P，P∈AA1，P∈BB1. 而 AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β， ∴P 在平面 β 与平面 γ 的交线上．又 β∩γ＝C1C， 根据公理 2 知，P∈C1C，∴直线 AA1、BB1、CC1 交于一点．
空间图形的基本关系与公理(2) ppt课件
内，又在面 α 内，再利用公理 3 从而证得三点共线．
点评证∴明P证∈A明∵B，A多BP∩点∈α平共＝面P线，α的. 方法：利用公理 3，只需说 明这又些A点B 都 平是面两A个BC平，∴面P的∈平公面共A点BC，. 则必在这两个面
∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面， 再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
PPT课件
11
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题
例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
PPT课件
7
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面 P 墙面
P
a
PPT课件
8
知识探究：平面的基本性质3
文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
的交线上． 同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上．
∴P、Q、R 三点共线．PPT课件
12
空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D
所构成的图形，叫做空间四边形；
（2）四个点中的各个点叫做空间四边形
的顶点；
（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空
间四边形的边；
（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间
符号语言 公理作用
空间图形的基本关系与公理 PPT
ED2 2，CE CD2 ED2 3，
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
1412《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(123)》(北师大版必修2)PPT课件
三、解答题（每题8分，共16分） 7.（2010·西安高一检测）正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长 为8 cm，M,N,P分别是AB,A′D′,BB′棱的中点. （1）画出过M,N,P三点的平面与平面A′B′C′D′及平面 BB′C′C的交线，并说明画法的依据； （2）设过M,N,P三点的平面与B′C′交于点Q，求PQ的长. 【解析】（1）如图，延长MP、 A′B′相交于点E，连接NE,交 B′C′于点Q，连接QP，则NE为 平面MNP与平面A′B′C′D′的 交线，PQ为平面MNP与平面 BB′C′C的交线.
【解析】由公理1知（1）正确；由公理3知（2）正确.由公理 2知（4）正确.对于（3），若l α,则有可能l∩α=A.此时 A∈l,也有A∈α.故（3）不正确. 答案：3
6.如图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点， 则表示直线GH、MN是异面直线的图形是______.
【解析】①中GH∥MN,②中MN与GH异面，③中MN与GH 相交，④中MN与GH异面. 答案：②④
2.a，b是异面直线，b,c是异面直线，则a、c的位置关系
是( )
（A）相交、平行或异面
（B）相交或平行
（C）异面
（D）平行或异面
【解析】选A.如图所示在正方体中，
a与b异面，直线c可在图中c1、c2、 c3三个位置,与a分别平行、异面、 相交.
3.平面α∩平面β=l,点A∈α,B∈α,C∈β,且C l,AB∩l=R,
理由：∵E∈直线MP， 且E∈直线A′B′,∴E∈平面MNP， 且E∈平面A′B′C′D′,易知，N∈平面MNP， 且N∈平面A′B′C′D′，所以，NE为平面MNP与平面A′B′C′D′ 的交线，显然，PQ为平面MNP与平面BB′C′C的交线; （2）由已知和（1）得MB=B′E=4 cm,又△EB′Q∽△EA′N，
2014-2015学年高一数学：1.4.1 1.4.2《空间图形基本关系的认识》《空间图形的公理1》
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)点M在直线l上，用符号可表示为________. (2)直线m在平面β内，用符号可表示为________. (3)若平面α与平面β相交且交线为l，用符号可表示为 ________.
【解析】(1)点M在直线l上，则用符号可表示为M∈l. 答案：M∈l (2)直线m在平面β内，用符号可表示为m β. 答案：m β (3)平面α与平面β相交，且交线为l，可记为α∩β=l. 答案：α∩β=l
【解析】1.点M在直线a上可表示为M∈a，a在平面α内，可表
示为a α，
所以M，a，α间的关系可记为M∈a α.
答案：M∈a α
2.点A∈平面ABC，A∉平面BCD，BD 平面ABC，
平面ABC∩平面ACD=AC.
答案：∈ ∉
AC
知识点2 空间图形的三个公理(公理1，公理2，公理3) 1.三个公理的意义和作用 (1)公理1是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平 面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立 体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来 解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.
(2)公理2说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来 刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”，它既是判断直线在平面内的方法，又是检验 平面的方法.
(3)公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平 面交线的方法.可从以下三个方面解释： ①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是 它们的交线； ②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线； ③如果两个平面相交，那么两平面的交点必在这两个平面的交 线上.
(2)公理2 ①文字语言： 条件：一条直线上的_两__点__在一个平面内. 结论：该直线上_所__有__的__点__都在这个平面内(即直线_在__平__面__内__).
1.4.1空间图形的基本关系和公理 课件
空间图形的基本关系和 公理
空间图形基本关系的认识
一、温故知新
（1）一个投影面水平放置,
三视图包括
叫做水平投影面, 投影到这 个平面的图形叫做俯视图;
（2）一个投影面放置在正前 方, 这个投影面叫做直立投影 面, 投影到这个平面的图形叫 做主视图;
（3）和直立、水平两个投影面
都垂直的投射面叫做侧立投影
D
C
异面直线.
A
a
Bb
D
C
A
bB
（4）空间直线与平面的位置关系有_3_种:
①直线a与平面β有无数公共点
直线在平面内. a≠ β
②直线c与平面β只有一个公共点 直线与平面相交. c I A
③直线a与平面α没有公共点
直线与平面平行. a //
D A
a
C B
c
Dα
C
A
B
（5）空间平面与平面的位置关系有_2_种:
面, 通常把这个平面放在直立投
影面的右面, 投影到这个平面内
的图形叫做左视图.
绘制三视图时, 要注意:
（1）主、俯长对正;
主视图 左视图
（2）主、左高平齐;
（3）俯、左宽相等.
（4）分界线和可见轮 廓都用实线画出, 被遮 挡部分用虚线画出.
俯视图
高平齐
长对正
长高 主视图
左视图 宽相等
宽
俯视图
二、新知学习
（2）空间点与平面的位置关系有_2_种:
①点P在平面α内, 记作: P D
C
②点P在平面α外, 记作: P A
a P
B
Dα
C
A
B
（3）空间两直线的位置关系有_3_种:
空间图形基本关系的认识
一、温故知新
（1）一个投影面水平放置,
三视图包括
叫做水平投影面, 投影到这 个平面的图形叫做俯视图;
（2）一个投影面放置在正前 方, 这个投影面叫做直立投影 面, 投影到这个平面的图形叫 做主视图;
（3）和直立、水平两个投影面
都垂直的投射面叫做侧立投影
D
C
异面直线.
A
a
Bb
D
C
A
bB
（4）空间直线与平面的位置关系有_3_种:
①直线a与平面β有无数公共点
直线在平面内. a≠ β
②直线c与平面β只有一个公共点 直线与平面相交. c I A
③直线a与平面α没有公共点
直线与平面平行. a //
D A
a
C B
c
Dα
C
A
B
（5）空间平面与平面的位置关系有_2_种:
面, 通常把这个平面放在直立投
影面的右面, 投影到这个平面内
的图形叫做左视图.
绘制三视图时, 要注意:
（1）主、俯长对正;
主视图 左视图
（2）主、左高平齐;
（3）俯、左宽相等.
（4）分界线和可见轮 廓都用实线画出, 被遮 挡部分用虚线画出.
俯视图
高平齐
长对正
长高 主视图
左视图 宽相等
宽
俯视图
二、新知学习
（2）空间点与平面的位置关系有_2_种:
①点P在平面α内, 记作: P D
C
②点P在平面α外, 记作: P A
a P
B
Dα
C
A
B
（3）空间两直线的位置关系有_3_种:
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
2018-2019学年北师大版必修2 1-4-1,4-2 空间图形基本关系的认识 空间图形的公理(一) 课件(33张) (1)
∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向3 线共点问题
【例3-3】 如图所示，在四面体A－BCD 中，E，G分别为BC，AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝ DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD
交于一点．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC. 又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， ∴FH∥AC，从而FH∥GE.
可记为 A．M∈a，a∈α C．M 解析 a，a α B．M∈a，a D．M α ( a，a∈α )
点与直线的关系为元素与集合的关系，能用
“∈” ，直线与平面的关系为集合间的关系 ，不能用 “∈”．
答案 B
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3．设平面α与平面β相交于l，直线a 则M________l.
α，直线b
所以P∈直线DE.
答案 P∈直线DE
课前预习
课堂互动
课堂反馈
5．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c
和l共面． 证明 如图，
∵a∥b， ∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课前预习
课堂互动
课堂反馈
一是确定平 经过不在同一 公 条直线上的三 A，B，C三 点不共线⇒ 面；二是证 明点、线共
有且只有 一 理 点，
2 个平面(即可以 确定一个平面)
存在唯一的
面问题；三
平面α，使A， 是判断两个 B，C∈α 平面重合的 依据
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向3 线共点问题
【例3-3】 如图所示，在四面体A－BCD 中，E，G分别为BC，AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝ DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD
交于一点．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC. 又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， ∴FH∥AC，从而FH∥GE.
可记为 A．M∈a，a∈α C．M 解析 a，a α B．M∈a，a D．M α ( a，a∈α )
点与直线的关系为元素与集合的关系，能用
“∈” ，直线与平面的关系为集合间的关系 ，不能用 “∈”．
答案 B
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3．设平面α与平面β相交于l，直线a 则M________l.
α，直线b
所以P∈直线DE.
答案 P∈直线DE
课前预习
课堂互动
课堂反馈
5．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c
和l共面． 证明 如图，
∵a∥b， ∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课前预习
课堂互动
课堂反馈
一是确定平 经过不在同一 公 条直线上的三 A，B，C三 点不共线⇒ 面；二是证 明点、线共
有且只有 一 理 点，
2 个平面(即可以 确定一个平面)
存在唯一的
面问题；三
平面α，使A， 是判断两个 B，C∈α 平面重合的 依据
高中数学必修2课件1-4-1～2(一)空间图形基本关系的认识 空间图形的公理(一)
§ 4 空间图形的基本关系与公理 4．1 空间图形基本关系的认识 空间图形的公理(一)
4．2
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．通过长方体这一常见的空间图形，体会直线、平面及点的位 置关系． 2．理解异面直线的概念，以及空间图形基本关系． 3．掌握空间图形的三个公理． 【核心扫描】 1．对空间图形基本关系的考查．(重点) 2．文字语言、符号语言及图形语言的相互转化．(难点)
题型一
图形、文字、符号语言的转换问题
【例 1】 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述， 并用图形语言予以表示：α∩β＝l，A∈l，AB α，AC β. [思路探索] 本题的实质是数学三种语言的互译(符号语言、 文字 语言、图形语言)．
课前探究学习
课堂讲练互动
解 文字语言叙述为：点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，直 线 AB、AC 分别在平面 α、β 内． 用图形语言表述如图．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．注意事项 (1)应用公理 2 时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上， 共线的三点是不能确定一个平面的． (2)在立体几何中， 符号“∈”与“ ”的用法与读法不要混淆． (3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间 的相互转化．
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
想一想：如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？ 提示 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关 系是元素与集合的关系；用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的 关系，故用“ ”或“ ”表示．
4．2
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．通过长方体这一常见的空间图形，体会直线、平面及点的位 置关系． 2．理解异面直线的概念，以及空间图形基本关系． 3．掌握空间图形的三个公理． 【核心扫描】 1．对空间图形基本关系的考查．(重点) 2．文字语言、符号语言及图形语言的相互转化．(难点)
题型一
图形、文字、符号语言的转换问题
【例 1】 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述， 并用图形语言予以表示：α∩β＝l，A∈l，AB α，AC β. [思路探索] 本题的实质是数学三种语言的互译(符号语言、 文字 语言、图形语言)．
课前探究学习
课堂讲练互动
解 文字语言叙述为：点 A 在平面 α 与平面 β 的交线 l 上，直 线 AB、AC 分别在平面 α、β 内． 用图形语言表述如图．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．注意事项 (1)应用公理 2 时，要注意条件“三个不共线的点”．事实上， 共线的三点是不能确定一个平面的． (2)在立体几何中， 符号“∈”与“ ”的用法与读法不要混淆． (3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、图形语言间 的相互转化．
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
想一想：如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？ 提示 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关 系是元素与集合的关系；用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的 关系，故用“ ”或“ ”表示．
北师大版高中数学必修二课件4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(公理1,2,3)
Ï 如图①，B∈b,Ba.
（2）空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外.
B 蝍 ,A 蟖 . 如图①，
思考交流 1.观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、 线、面的位置关系的例子. 2.观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面 的位置关系.
探究点2：空间图形的公理 思考1：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样
思考4:如果直线l与平面α 有两个公共点，直线l是否
在平面α 内？ 提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺
边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整
个边缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么
这条直线在此平面内（即直线在平面内）．
A l 公理是进一步推理的 基础．
B
A l ,B l ,A ,B l
作用： 判定直线是否在平关系？
D
A
提示：两个平面平行或者相交．
C
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D
C
A B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
§4空间图形的基本关系与公理
4.1空间图形基本关系的认识
4.2空间图形的公理（公理1,2,3）
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、 面组成,认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间 图形是很重要的，今天我们就来学习这些关系！
1.通过长方体这一常见的空间图形，了解空间图形的 基本构成----点、线、面的基本位置关系.（难点） 2.掌握空间图形的三个基本公理.（重点）
确定一个平面呢？
用三角架支撑照相机．
1.4.1--空间图形基本关系的认识--1.4.2--空间图形的公理(公理1、2、3)
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理（公理1、2、3）
学习目标
1. 通过长方形这一常见的空间图形，了解空间图形的基
本构成----点、线、面的基本位置关系； 2. 理解异面直线的概念,掌握空间图形的三个基本公理；
3. 培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行
D
A
C
B
围成．
有些面是平行的，有些面是相交的；
有些棱所在直线与面平行，有些棱所在
D
直线与面相交，每条棱所在的直线都可
C
以看成是某个平面内的直线，等等．
A
B
课堂探究1
空间图形基本关系的认识
1 .观察上述长方体，并填空 . ① 长方形共有 8 个顶点,有 12 条棱，有 6 个面； ②观察多面体,归纳一下，空间图形通常由 点 、 线 、 面 组成
平面呢？ 生活中经常看到用三角架支撑照相机．
测量员用三角架支撑测量仪器平板仪．
公理2
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一
个平面（即可以确定一个平面）．
B
A
C
经过不在同一条直线上的三个点A、B、C的平面α，
又可记作“平面ABC”．
作用：确定平面的主要依据．
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
思考5:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
B
思考6：观察长方体，你发现长方体的两个相交平面有公
共直线吗？ 这条公共直线B′C′叫作这两个平面
D
A
C A′B′C′D′和平面BB′C′C的交线．
4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理（公理1、2、3）
学习目标
1. 通过长方形这一常见的空间图形，了解空间图形的基
本构成----点、线、面的基本位置关系； 2. 理解异面直线的概念,掌握空间图形的三个基本公理；
3. 培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行
D
A
C
B
围成．
有些面是平行的，有些面是相交的；
有些棱所在直线与面平行，有些棱所在
D
直线与面相交，每条棱所在的直线都可
C
以看成是某个平面内的直线，等等．
A
B
课堂探究1
空间图形基本关系的认识
1 .观察上述长方体，并填空 . ① 长方形共有 8 个顶点,有 12 条棱，有 6 个面； ②观察多面体,归纳一下，空间图形通常由 点 、 线 、 面 组成
平面呢？ 生活中经常看到用三角架支撑照相机．
测量员用三角架支撑测量仪器平板仪．
公理2
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一
个平面（即可以确定一个平面）．
B
A
C
经过不在同一条直线上的三个点A、B、C的平面α，
又可记作“平面ABC”．
作用：确定平面的主要依据．
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
思考5:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
B
思考6：观察长方体，你发现长方体的两个相交平面有公
共直线吗？ 这条公共直线B′C′叫作这两个平面
D
A
C A′B′C′D′和平面BB′C′C的交线．
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品
自
课
主 位置关系、符号表示．
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法 分
满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a α，直线
易 误
析
辨
b β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
析
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教
【解析】 由线面符号语言描述及图形语言知D正确．
教
师
备
课
资
源
菜单
BS ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法
易
分 析
误
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何 辨
析
教 学
关系？
当
方
堂
案 设
(2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关 双 基
计
系？
达 标
课
前 自
【自主解答】 法一 ∵AB∩α＝P，
课
主
时
导 学
∴P∈AB，P∈平面 α.
自
课
主 导
与平面相交．
时 作
学
业
4．平行和相交．
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
高中数学第一章立体几何初步1.4.12空间图形基本关系的认识空间图形的公理课件北师大版必修2
同理在 a 上任取一点作 b 的平行线，都与 a、b 共面，所以 这些平行线都共面．
公理 1、公理 2、公理 3 的意义和作用 1．公理 1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直” 来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方 法．
提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合， 所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面 之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、 线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．
知识点二 空间图形的公理 [填一填]
[答一答] 2．你对公理 2 及课本思考交流中的三个问题是怎样理解 的？
第一章
立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示 [填一填]
[答一答] 1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表 示？
提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平 面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有” 说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个” 并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来 代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能 有一个，就说明这个图形是完全确定的．
4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另 一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？
提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过 b 上任意一点 B 作 c∥a，则 a、c 可确定一个平面 α，因为 A∈a，所以 A∈α.又因 为 B∈c，所以 B∈α，所以 AB α，即 b α.所以 a、b、c 共面．
公理 1、公理 2、公理 3 的意义和作用 1．公理 1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直” 来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方 法．
提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合， 所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面 之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、 线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．
知识点二 空间图形的公理 [填一填]
[答一答] 2．你对公理 2 及课本思考交流中的三个问题是怎样理解 的？
第一章
立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示 [填一填]
[答一答] 1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表 示？
提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平 面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有” 说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个” 并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来 代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能 有一个，就说明这个图形是完全确定的．
4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另 一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？
提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过 b 上任意一点 B 作 c∥a，则 a、c 可确定一个平面 α，因为 A∈a，所以 A∈α.又因 为 B∈c，所以 B∈α，所以 AB α，即 b α.所以 a、b、c 共面．
高中数学第一章4空间图形的基本关系与公理第一课时空间图形基本关系的认识与公理1～3课件北师大版必修2
考点三 点共线问题 [典例] 已知△ABC 在平面 α 外，它的三边所在的直线分 别交平面 α 于 P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R 三点共线．
[证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.∴由公理 3 可知， 点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上．同理可证 Q，R 也在 平面 ABC 与平面 α 的交线上，∴P，Q，R 三点共线．
第一课时 空间图形基本关系的认识与公理1～3
一、预习教材·问题导入 预习课本P22～25，思考并完成以下问题
(1)空间中点、线、面的位置关系有哪些？该怎样表示？ (2)空间图形的公理 1，公理 2，公理 3 的内容是什么？各有
什么作用？
二、归纳总结·核心必记
1．空间中点、线、面的位置关系 (1)点与直线的位置关系 ①点B在直线l上： B∈l ； ②点B在直线l外： B∉l . (2)点与平面的位置关系 ①点A在平面α内：A∈α ； ②点B在平面α外： B∉α . [点睛] 通常借助集合中的符号语言来表示．点为元素，直 线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符号规定都是源于 将图形视为点集．
2．空间图形的公理
公理
内容
过不___在__一__条__直__线___上_
公理1 的三点，有且只有 一个平面
如果一条直线上的
公理2
_两__点___在一个平面 内，那么这条直线
在此平面内
图形
符号
作用
A，B，C三点 用来确 不共线⇒存在
定一个 唯一的α使 平面 A，B，C∈α
A__∈__l，B∈l， 且A∈α，B∈α
[点睛] 公理1及其三个推论是用来确定一个平面的依据．
三、基本技能·素养培优
高三数学空间图形基本关系与公理.pptx
第25页/共75页
6．直线 AB、AD α，直线 CB、CD β，点 E∈AB，点 F ∈BC，点 G∈CD，点 H∈DA，若直线 EH∩直线 FG＝M，则 点 M 与 BD 的关系是________．
[答案] M∈BD
第26页/共75页
[解析] 由 EH∩FG＝M，知 M∈EH，所以 M∈平面 CBD， 同理 M∈平面 ABD，又平面 ABD∩平面 CBD＝BD， 故 M∈BD.
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(2)若 a、b、c、d 两两相交但不过同一点． ∵a∩b＝Q，∴a 与 b 可以确定一个平面 β 又∵c∩b＝E，E∈b 平面 β，∴E∈β 同理 c∩a＝F，F∈a 平面 β，∴F∈β ∴直线 c 上有两点 E、F 在 β 上
第44页/共75页
∴c 平面 β 同理可证 d 平面 β 故 a、b、c、d 四线共面 β. 得 (1)、 (2)可 知 ：两两相交而不 通过同一点的四 条直线必在 同一平面内．
因此过 d 和点 P 可以确定平面 α，再设法证明其他三条直 线 a、b、c 均在 α 内即可．
第41页/共75页
(2)设 没有三条直 线共点 (如 上图乙 ) ∵ a∩ b＝ Q ∴a 与 b 可确定一个平面 β 再设法证明其余二线 c、d 均在 β 内即可．
第42页/共75页
[证明] (1)若 a、b、c 三线共点 P，但点 P∉直线 d. ∴直线 d 和其外一点 P 可以确定一个平面 α 又 a∩d＝C，∴C∈α 且点 P∈α ∴直线 a 平面 α， 同理可证：直线 b 上有两点 B、P 在平面 α 上， ∴b 平面 α，∴c 平面 α，∴a、b、c、d 四线共面．
其中正确命题的个数是( )
A． 0
B． 1
C． 2
6．直线 AB、AD α，直线 CB、CD β，点 E∈AB，点 F ∈BC，点 G∈CD，点 H∈DA，若直线 EH∩直线 FG＝M，则 点 M 与 BD 的关系是________．
[答案] M∈BD
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[解析] 由 EH∩FG＝M，知 M∈EH，所以 M∈平面 CBD， 同理 M∈平面 ABD，又平面 ABD∩平面 CBD＝BD， 故 M∈BD.
第43页/共75页
(2)若 a、b、c、d 两两相交但不过同一点． ∵a∩b＝Q，∴a 与 b 可以确定一个平面 β 又∵c∩b＝E，E∈b 平面 β，∴E∈β 同理 c∩a＝F，F∈a 平面 β，∴F∈β ∴直线 c 上有两点 E、F 在 β 上
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∴c 平面 β 同理可证 d 平面 β 故 a、b、c、d 四线共面 β. 得 (1)、 (2)可 知 ：两两相交而不 通过同一点的四 条直线必在 同一平面内．
因此过 d 和点 P 可以确定平面 α，再设法证明其他三条直 线 a、b、c 均在 α 内即可．
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(2)设 没有三条直 线共点 (如 上图乙 ) ∵ a∩ b＝ Q ∴a 与 b 可确定一个平面 β 再设法证明其余二线 c、d 均在 β 内即可．
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[证明] (1)若 a、b、c 三线共点 P，但点 P∉直线 d. ∴直线 d 和其外一点 P 可以确定一个平面 α 又 a∩d＝C，∴C∈α 且点 P∈α ∴直线 a 平面 α， 同理可证：直线 b 上有两点 B、P 在平面 α 上， ∴b 平面 α，∴c 平面 α，∴a、b、c、d 四线共面．
其中正确命题的个数是( )
A． 0
B． 1
C． 2
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3.平面α ∩平面β =l,点A∈α ,B∈α ,C∈β ,且Cl,AB∩l=R,
过A、B、C三点确定平面γ ,则β ∩γ =(
(A)直线AC (C)直线CR (B)直线BC (D)以上∈AB,R∈l,又α∩β=l, ∴lβ,∴R∈β,R∈γ. 又C∈β,C∈γ,∴β∩γ=CR.
示平面， l表示直线，A、B、C表示点）
（1）若A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ，则l α ; （2）A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩β =AB； （3）若l α ,A∈l,则Aα ; （4）若A、B、C∈α ,A、B、C∈β ,且A、B、C不共线，则α
与β 重合.
则上述说法中正确的个数是__________.
将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这
四条线段所在直线是异面直线的有哪几对？ 【解析】还原为正方体如图所示，可判断AB 与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面.
4.（2010·湛江高一检测）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别
是棱AA1与CC1的中点,则经过P、B、Q三点的截面是(
(A)邻边不相等的平行四边形 (B)菱形但不是正方形 (C)矩形 (D)正方形
)
【解题提示】画截面的关键在于画面与面的交线，交线只 要有两个公共点就能画出.画出截面后可计算边长判断其形状.
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·深圳高一检测）下列说法正确的是( (A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 )
(C)梯形一定是平面图形
(D)两个平面有不在同一条直线上的三个交点 【解析】选C.由公理2知A错，B错.
3
8.如图所示，在正方体
ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是
B1C1和D1C1的中点，P、Q分别为 EF和BD的中点，对角线A1C与平面 EFDB交于H点，求证：P、H、Q三 点共线. 【解题提示】据公理3可知两个 平面的公共点都在两面的交线上，故可证三点共线.
【证明】EF∥DB,确定平面EFDB.
【解析】选B.
连接BP并延长交B1A1的延长线于E， 连接BQ并延长交B1C1的延长线于F，连接EF. 则D1在直线EF上，连接QD1,PD1， 则四边形BQD1P为经过P、B、Q三点的截面. 可证BQ=QD1=D1P=PB但∠PD1Q≠90°. 因此四边形BQD1P是菱形但不是正方形.
二、填空题（每题4分，共8分） 5.(2010·豫东三校联考)给出以下四种说法：（设α 、β 表
由公理2的推论及梯形有一组对边平行知C正确.
由公理3知D错.
2.a，b是异面直线，b,c是异面直线，则a、c的位置关系
是(
)
（B）相交或平行 （D）平行或异面
（A）相交、平行或异面 （C）异面 【解析】选A.如图所示在正方体中， a与b异面，直线c可在图中c1、c2、 c3三个位置,与a分别平行、异面、 相交.
【解析】由公理1知（1）正确；由公理3知（2）正确.由公理
2知（4）正确.对于（3），若l α,则有可能l∩α=A.此时
A∈l,也有A∈α.故（3）不正确. 答案：3
6.如图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点， 则表示直线GH、MN是异面直线的图形是______.
【解析】①中GH∥MN,②中MN与GH异面，③中MN与GH相交，④ 中MN与GH异面. 答案：②④
理由：∵E∈直线MP，
且E∈直线A′B′,∴E∈平面MNP， 且E∈平面A′B′C′D′,易知，N∈平面MNP，
且N∈平面A′B′C′D′，所以，NE为平面MNP与平面
A′B′C′D′的交线，显然，PQ为平面MNP与平面BB′C′C的 交线; （2）由已知和（1）得MB=B′E=4 cm,又△EB′Q∽△EA′N， 所以，B′Q= 4 cm，又B′P＝4 cm, 3 所以，PQ＝ 4 10 cm.
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·西安高一检测）正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长 为8 cm，M,N,P分别是AB,A′D′,BB′棱的中点.
（1）画出过M,N,P三点的平面与平面A′B′C′D′及平面
BB′C′C的交线，并说明画法的依据； （2）设过M,N,P三点的平面与B′C′交于点Q，求PQ的长. 【解析】（1）如图，延长MP、 A′B′相交于点E，连接NE,交 B′C′于点Q，连接QP，则NE为 平面MNP与平面A′B′C′D′的 交线，PQ为平面MNP与平面 BB′C′C的交线.
∵EF 平面EFDB，P∈EF, ∴P∈平面EFDB.
同理Q∈平面EFDB.∴P、H、Q∈平面EFDB.
∵A1C1∥AC,确定平面A1C， P∈A1C1,Q∈AC,H∈A1C, ∴P、H、Q∈平面A1C. 根据公理3，P、H、Q三点一定在平面EFDB与平面A1C的交线上，
故P、H、Q三点共线.
9.(10分)右图是一个正方体的展开图，如果