人教版初一数学上册 角 讲义

角
知识点一、角的概念
由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角。

这两条射线叫做角的边，这个公共端点叫做角的顶点。

例1、写出下列角的名称
（）（）（）（）（）
角的符号时“∠”，有三种表示方法：
①用角的两边和角的顶点的字母来表示，如∠AOB、∠O
②用数字书写在角的内部来表示，如∠1、∠2
③用希腊字母来表示，如∠α、∠β
注意：∠AOB的顶点必须是点O
若∠O的顶点有2个或以上的角，则不能用一个字母的方法∠O表示它
例3、下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）
例4、如图，下列说法错误的是（）
A、∠DAE也可以表示为∠A
B、∠1也可以表示为∠ABC
C、∠BCE也可以表示为∠C
D、∠ABD是一个平角
知识点二、余角和补角
总结：
1、直角为90°，平角为180°，周角为360°
2、若两个角相加等于90°，那么它们互为余角，简称“互余”
3、若两个角相加等于180°，那么它们互为补角，简称“互补”
例1、∠1和∠2互余，∠1=30°，则∠2=______；∠1和∠2互补，∠1=90°，则∠2=______ 例2、∠1和∠2互余，∠1=x，则∠2=______；∠1和∠2互补，∠1=x，则∠2=______
，则这个角的度数是____________
例3、一个角的余角是这个角的补角的1
3
例4、一个角的补角比这个角的余角的3倍少16°，求这个角的度数
1、∠α的余角等于30°，那么∠α的补角=_____；∠α的补角等于140°，那么∠α的余角=_____
2、已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，若∠1=63°，则∠3=_____
3、互补的两个角中，一个角的2倍比另一个角的3倍少10°，则这两个角分别是_________
4、∠α的补角是它的余角的4倍，则∠α=_____
5、一个角是它的余角的2倍，那么这个角是它补角的_____倍
6、∠α=2∠β，∠α的余角的3倍等于∠β的补角，则∠α=_____，∠β=_____
7、如果∠A的补角与∠A的余角互补，那么2∠A=_____
8、一个锐角的补角比它的余角大____________
9、如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是________________
10、两个角的大小之比是7：3，他们的差是72°，则这两个角的关系是_____________
11、如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接
EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A
落在直线EF上的点A′处，得到折痕EG。

则∠GEC的度数为_________
12、如图，将一长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在位置
D′、C′处，若∠1=56°，则∠DEF的度数是_____
知识点三、三角板
总结：
1、一副三角板有两种尺。

2、等腰直角三角尺的度数：45°、45°、90°；细长三角尺的度数：30°、60°、90°例1、如图，将一副三角板按不同位置摆放，摆放方式中∠α与∠β互余的是（）
例2、将一副三角尺按如图方式进行摆放，则∠1的度数为（）
A、60°
B、90°
C、120°
D、135°
1、一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大54°，则∠1=（）
A、18°
B、54°
C、70°
D、72°
2、如图，一副三角尺放在桌面上，且它们的直角顶点重合在点O处，若∠AOD=150°，
则∠BOD的度数为_______
3、如图，两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，则∠AOC与∠BOD的关系是_____________
4、将一副直角三角板，按如图叠放在一起，则图中∠α的度数是________
5、用一副三角板不能拼出的角度是________________
①15°②40°③60°④135°⑤80°⑥150°
知识点四、几何角度计算
性质：对顶角________，邻补角________
做题步骤：
1、圈关键词
2、标上数据
3、计算出所求角度
例1、如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线。

若∠AOB=40°，求∠EOF、∠COE 的度数
例2、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC=70°，求∠BOD、∠BOC的度数
1、如图，∠AOB=114°，OF是∠AOB的平分线，∠1和∠2互余，求∠1的度数
2、直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠COF=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数
3、如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数
4、如图，∠AOB=120°，∠AOC是直角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数
5、如图，AB⊥CD于点O，∠1=∠2，OE平分∠BOF，∠EOB=55°，求∠DOG的度数
6、如图，OE为∠AOD的角平分线，1
∠∠，∠COD=15°
COD=EOC
4
（1）∠EOC的大小
（2）∠AOD的大小
知识点五、几何角度计算进阶
运用“方程的思想”解题
例1、如图，点A、O、C在一直线上，OE是∠BOC的平分线，EO⊥OF，∠1比∠2大75°（1）求∠2的度数
（2）求∠COF的度数
例2、如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，求∠AOB的度数
例3、如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小
例4、如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，∠BOE=2∠DOE，试求∠COE的度数
1、如图，∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=21°，求∠AOB的度数
2、如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOD=2：1 （1）求∠DOE的度数
（2）求∠AOF的度数
3、如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线（1）求∠MON的大小
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
4、如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数
（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数
5、已知点O是直线AB上的一点，∠COE=90°，OF是∠AOE的平分线
（1）如图1，当点C、E、F在直线AB的同侧时，求证：∠BOE=2∠COF
（2）如图2，当点C与点E、F在直线AB的两侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由
6、如图，O为AD上一点，射线OC、射线OB，∠AOC与∠AOB互补，OM、ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°
（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由
（2）试求∠AOC与∠AOB的度数
7、如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，已知0°<∠AOC<90°，射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠DOE
（1）求∠DOE的度数
（2）求∠FOB+∠DOC的度数
知识点六、方向角
方向角是以观测者为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角
例1、根据图中信息填空
（1）学校在小红家________________方向
（2）小明家在小红家______________方向
（3）超市在小红家________________方向
（4）小红家在学校________________方向
（5）小红家在小明家______________方向
（6）小红家在超市________________方向
1、射线OA所在方向是南偏东30°，下列各图表示正确的是（）
2、如图，四条表示方向的射线，表示北偏西30°的是（）
3、如图，下列说法正确的是（）
A、OA的方向是北偏东30°
B、OB的方向是北偏西60°
C、OC的方向是南偏东50°
D、OD的方向是南偏东45°
4、如图，对图中各射线表示的方向，下列判断错误的是（）
A、OA表示北偏东15°
B、OB表示北偏西50°
C、OC表示南偏东45°
D、OD表示西南方向
5、如图，射线OA所表示的方向为（）
A、东偏北70°
B、北偏东20°
C、东偏北20°
D、北偏东70°
6、如图，B在A的什么方向？（）
A、南偏东20°
B、南偏东70°
C、北偏西20°
D、北偏西70°
7、我在你的北偏东30°方向，则你在我的（）
A、南偏西60°
B、南偏西30°
C、北偏东30°
D、北偏东60°
8、如图，点A在点O的北偏东50°方向，点B在点O的南偏东30°方向上，则∠AOB=______
9、在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为_______。