【三维设计】高考数学一轮复习 第3节 平行关系我来演练

一、选择题
1．若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是( )
A ．b
α B ．b ∥α C ．b α或b ∥α D ．b 与α相交或b α或b ∥α
解析：b 与α相交或b
α或b ∥α，都可以．
答案：D 2．(2012·长春模拟)a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题
①
⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ② ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γ β∥γ ⇒α∥β ③ ⎭⎪⎬⎪
⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④ ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γ α∥γ ⇒α∥a
其中正确的命题是( )
A ．①②③
B ．①④
C ．②
D ．①③④
解析：②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．
答案：C
3．(2011·海口模拟)在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则( )
A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形
B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形
C ．HG ∥平面AB
D ，且四边形EFGH 是平行四边形
D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形
解析：如图，由题意，EF ∥BD ，且EF ＝15BD .HG ∥BD ，且HG ＝12
BD . ∴EF ∥HG ，且EF ≠HG .
∴四边形EFGH 是梯形．
又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行．
答案：B
4．下列命题中正确的个数是( )
①若直线a 不在α内，则a ∥α；
②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；
③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；
④若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点；
⑤平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：a∩α＝A时，aα，故①错；
直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；
l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；
l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任一直线都无公共点，④正确；
长方体中的相交直线A1C1与A1B1都与面ABCD平行，
所以⑤正确．
答案：B
5．(2011·天津模拟)如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF
与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个
图形，则下列命题中正确的是( )
①动点A′在平面ABC上的射影在线段A F上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
A．①B．①②
C．①②③D．②③
解析：①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，
∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．
②BC∥DE，∴BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．
答案：C
二、填空题
6．已知α，β是两个不同的平面，给出条件：①α与β无公共点；②直线a∥α，直线b∥α，a，bβ；③a⊥α，a⊥β.上述条件中能推出平面α∥平面β的是________．(填写所有符合要求的条件的序号)
解析：条件①是两平面平行的定义；条件②缺少直线a与b相交；条件③可以推出α∥β.
答案：①③
7.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是
棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及
其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
解析：由平面BB1D1D∥平面NHF知当M点满足在线段FH上有MN
∥面B 1BDD 1.
答案：M ∈线段FH
三、解答题
8.空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝a ，与直线AD ，BC 都平行的平面
分别交AB ，AC ，CD ，BD 于E ，F ，G ，H .
(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；
(2)求四边形EFGH 的周长．
解：(1)证明：∵AD ∥平面EFGH ，平面ADC ∩平面EFGH ＝FG ，∴AD ∥FG .
同理HE ∥AD ，∴EH ∥FG .
同理，由BC ∥平面EFGH ，得EF ∥HG .
∴四边形EFGH 是平行四边形．
(2)∵FG AD ＝FC AC ，EF BC ＝FA AC
， 又AD ＝BC ＝a ，
∴FG ＋EF a ＝FC ＋FA AC
＝1， ∴四边形EFGH 的周长为2a .
9．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点．求证：
(1)BF ∥HD 1；
(2)EG ∥平面BB 1D 1D ；
(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .
证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连接HM 、MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形， ∴HD 1∥MC 1.
又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.
(2)取BD 的中点O ，连接EO 、D 1O ，则OE 綊12
DC .
又D 1G 綊12
DC ，∴OE 綊D 1G ， ∴四边形OEGD 1是平行四边形．∴GE ∥D 1O .
又D 1O 平面BB 1D 1D ，EG 平面BB 1D 1D ， ∴EG ∥平面BB 1D 1D .
(3)由(1)知D 1H ∥BF ，D 1H 平面BDF ，BF 平面BDF ，∴D 1H ∥平面BDF .
同理由B 1D 1∥BD 可得，B 1D 1∥平面BDF .
又B 1D 1、HD 1平面HB 1D 1，且B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .
10．(2012·乌鲁木齐模拟)一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M ，N 分别是AB ，SA 的中点．
(1)求证：NB ⊥MC ；
(2)在棱SD 上是否存在点P ，使AP ∥平面SMC ？若存在，请找出点P 的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：取AD 的中点O ，连接NO ，BO ， ∵N 是SA 的中点，O 是AD 的中点，
∴NO ∥SD .
又∵SD ⊥底面ABCD ，
∴NO ⊥底面ABCD ，MC 平面ABCD ，∴NO ⊥MC .
又∵ABCD 是正方形，M ，O 分别是AB ，AD 的中点，
由平面几何知识可得BO ⊥MC ，
NO ∩BO ＝O ，
∴MC ⊥平面NOB ，NB 平面NOB . ∴NB ⊥MC .
(2)取线段SD 的中点P 即可． 设SC 的中点为Q ，连接PQ ，MQ ， ∴PQ ＝12CD 且PQ ∥CD ；
又AM ∥CD 且AM ＝1
2CD ；
∴PQ ∥AM 且PQ ＝AM .
∴AP QM 是平行四边形．
∴AP ∥MQ ，AP 平面SMC ，MQ 平面SMC . ∴AP ∥平面SMC .。