山东省青岛市莱西第二中学2020年高三数学文上学期期末试题含解析

山东省青岛市莱西第二中学2020年高三数学文上学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
设等差数列的前n项和是且，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
答案：D
解析：
2. 若，，，则，，大小关系是（）
A. B． C. D．
参考答案：
A
3. 若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
B
略
4. 不等式的解集是
A. B.
C. D.
参考答案：
A
5. 设奇函数在上是增函数，且，当时，
对所有的恒成立，则的取值范围是（）
A．或或 B．或
C．或或D．
参考答案：
A
6. 从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，共有共6个基本事件，其中这两个数字之积小于5的有共3个基本事件，则这两个数字之积小于5的概率为；故选B.
7. 函数的定义域为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
8. 某球与一个的二面角的两个面相切于、两点，且、两点间的球面距离为，则此球的表面积是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
略
9. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一个发生的概率是（）
A． B． C． D．
参考答案：
10. 根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）
a＜0，b＜0
参考答案：
B
【考点】线性回归方程．
【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．
【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．
故选：B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列满足：，则_______.
参考答案：
12. 若各项均为正数的等比数列{a n}满足a1a2a3=5，a7a8a9=10，则
a19a20a21= ．
参考答案：
40
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知两式相除可得比为q满足q18=2，而所求式子等于a1a2a3（q18）3，代入计算可得．
解答：解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，
∴q18===2，
∴a19a20a21=a1q18a2q18a3q18
=a1a2a3（q18）3=5×23=40
故答案为：40
点评：本题考查等比数列的性质，得出q18=2是解决问题的关键，属基础题．
13. 已知抛物线C：y2=2px （p＞0）的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C 在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于．
参考答案：
3
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x1x2=，求出A、B的坐标，然后求其比值．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，
|AB|=x1+x2+p==p，即有x1+x2=p，
由直线l倾斜角为60°，
则直线l的方程为：y﹣0=（x﹣），
即y=x﹣p，联立抛物线方程，
消去y并整理，得
12x2﹣20px+3p2=0，
则x1x2=，可得x1=p，x2=p，
则==3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
14. 已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝600，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若AB＝2，AD＝，则＝
参考答案：
15. 若向量与共线且方向相同，则n=___________．
参考答案：
2
16. 在公差为正数的等差数列中，是其前项和，则使
取最小值的是。

参考答案：
10
考点：等差数列的定义及性质.
17. 在△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||=2，则?（+）的最小值为．
参考答案：
﹣2
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由已知中△ABC中，P为中线AM上的一个动点，若||=2，我们易将?（+）转化为2（||﹣1）2﹣2的形式，然后根据二次函数在定区间上的最值的求法，得到答案．
【解答】解：∵AM为△ABC的中线，故M为BC的中点
则+=2
=+
则?（+）=（+）?2
=22+2?
=2||2﹣4||
=2（||﹣1）2﹣2
当||=1时， ?（+）的最小值为﹣2
故答案为：﹣2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知为的内角的对边，满足
，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，证明为等边三角形．
参考答案：
解：（Ⅰ）
(3)
分
………………………………………………………………………5分
所以
(6)
分
（Ⅱ）由题意知：由题意知：，解得：
，…………………………8分
因为,,所以…………………………9分
由余弦定理知： (10)
分
所以因为，所以，
即：所以 (11)
分
又，所以为等边三角
形. …………………………………………………12分
略
19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，过点作直线l交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.
参考答案：
（1）由已知得，，
解得，
则椭圆的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，得，得
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
令
由得
则.………①，………②
而………③
将①②代入③得
综上，（定值）
20. （本小题满分14分）已知函数
（1）若函数在[1,+)上为增函数，求正实数的取值范围；
（2）当时，求在[]上的最大值和最小值；
（3）当时，求证：对大于1的正整数n，
参考答案：
解：（1）由已知得…1分
依题意得：对一切的x≥1 都成立……………2分
即恒成立，也就是
恒成立,∴…………………………ks5u……4分
（2）当
若则若则故是在区间上的惟一极小值点，也是最小值点，故；…6分
，∴在上最大值为e-2
综上知函数区间上最大值是e-2,最小值是0……9分
（3）当时，由（1）知，函数上为增函数，
，…………11分
即，
…………………………………………………14分
略
21. （本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．
已知函数。

(Ⅰ)解不等式；
(Ⅱ)若，且，求证：.
参考答案：
（Ⅰ）f(x)＋f(x＋4)＝|x－1|＋|x＋3|＝
当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；
当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；
当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．
所以不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}．
…………5分
（Ⅱ）f(ab)＞|a|f()即|ab－1|＞|a－b|．……………6分
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，
所以|ab－1|＞|a－b|．
故所证不等式成
立．
……………10分
22. （2017?乐山二模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，
DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．
参考答案：
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．
（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），
∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）
∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，
∴DE⊥平面ACD…，
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…
（Ⅱ）依题意，…，
由（Ⅰ）知
=
=
，
当且仅当时等号成
立…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，1），，，
∴，，
，…（9分）
设面DAE的法向量为，
，即，∴，…（10分）
设面ABE的法向量为，
，即，∴，
∴…（12分）
∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为
．
…（13分）
【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。