陕西省渭南市白水中学高三数学上学期第二次月考试卷

2015-2016学年陕西省渭南市白水中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．+1与﹣1，两数的等比中项是（）
A．1 B．﹣1 C．±1D．
2．已知的值是（）阿
A． B． C．D．
3．在数列{a n}中，已知a1=3，当n≥2时， =（）
A．B．C．D．
4．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）
5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）
A．B． C．D．
6．把函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为（）
A．B．C．
D．
7．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A．B．4 C．D．6
8．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
9．把数列{2n+1}（n∈N*）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…循环分别为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43）（45，47）…则第104个括号内各数之和为（）
A．2036 B．2048 C．2060 D．2072
10．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如右图所示，则当t=秒时，电流强度是（）
A．﹣5安B．5安C．安D．10安
11．已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列结论正确的是（）
A．函数f（x）的图象关于直线对称
B．函数f（x）的最大值为2
C．函数f（x）在区间上是增函数
D．函数f（x）的最小正周期为π
12．如图，已知点O是边长为1的等边△ABC的中心，则（）•（）等于（）
A．B． C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．设，为单位向量，且，的夹角为，则向量在方向上的射影为．14．已知tanx=，则= ．
15．在6和768之间插入6个数，使它们组成共有8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是．16．已知在△ABC中，∠A=120°且三边长构成公差为2的等差数列，则∠A所对的边a= ．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知=（1，0），=（2，1），
（1）当k为何值时，k﹣与垂直？
（2）若=2+3， =+m且A、B、C三点共线，求m的值．
18．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x值．
19．S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3
（I）求{a n}的通项公式：
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．
20．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．
21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a为常数）．
（1）当时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，求实数a的取值范围．
四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号）．【选修4-1几何证明选讲】
22．如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．
（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△A BC外接圆面积的比值．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；
（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
2015-2016学年陕西省渭南市白水中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．+1与﹣1，两数的等比中项是（）
A．1 B．﹣1 C．±1D．
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】设出两数的等比中项为x，根据等比中项的定义可知，x的平方等于两数之积，得到一个关于x 的方程，求出方程的解即可得到两数的等比中项．
【解答】解：设两数的等比中项为x，根据题意可知：
x2=（+1）（﹣1），即x2=1，
解得x=±1．
故选C
【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，是一道基础题．学生做题时应注意等比中项有两个．
2．已知的值是（）
A． B． C．D．
【考点】二倍角的正弦．
【专题】计算题．
【分析】把已知的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2α的值．
【解答】解：将两边平方得：sin2α+cos2α+2sinαcosα=，即sin2α=﹣．
故选B
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．把已知的等式两边平方是本题的突破点．
3．在数列{a n}中，已知a1=3，当n≥2时， =（）
A．B．C．D．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；等差数列与等比数列．
【分析】利用设出的递推关系式，结合累加法求解数列的通项公式即可．
【解答】解：数列{a n}中，已知a1=3，当n≥2时，，
a1=3，
，，…，
求和可得=，
a16=．
故选：C．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．
4．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．
【专题】计算题；集合．
【分析】根据题意，由向量平行的判断方法，可得2x﹣2=0，解可得x的值，即可得的坐标，由向量加法的坐标运算方法，可得答案．
【解答】解：根据题意，向量=（2，1），=（x，﹣2），
若∥，则有1•x=2•（﹣2），
即x=﹣4，即=（﹣4，﹣2），
则+=（﹣2，﹣1），
故选A．
【点评】本题考查向量平行的判断，解题的关键是熟练掌握平面向量共线（平行）的坐标表示，以及进行正确的运算．
5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）
A．B． C．D．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到
，解出即可．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵S3=a2+10a1，a5=9，
∴，解得．
∴．
故选C．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．
6．把函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为（）
A．B．C．
D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】求出第一次变换得到的函数解析式，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数
的图象．
【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数为y=sin[5（x﹣）]=sin（5x﹣），
再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得到函数的图象，
故选D．
【点评】本题考查y=Asin（ωx+∅）的图象变换，求出变换得到的函数解析式，注意左右平移与伸缩变换是解题的关键．
7．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A．B．4 C．D．6
【考点】定积分在求面积中的应用．
【专题】计算题．
【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：
S=．故选C．
【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
8．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是（）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；三角函数的求值．
【分析】首先，设扇形的半径为r，弧长为 l，然后，建立等式，求解l、r，最后，求解圆心角即可．
【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为 l，则
l+2r=6，S=lr=2，
∴解得r=2，l=2或r=1，l=4，
∴α==1或4，
故选：C．
【点评】本题重点考查了扇形的周长公式、扇形的面积公式等知识，属于基础题．
9．把数列{2n+1}（n∈N*）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，…循环分别为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43）（45，47）…则第104个括号内各数之和为（）
A．2036 B．2048 C．2060 D．2072
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】括号中的数字个数，依次为1、2、3、4，每四个循环一次，具有周期性，第一百零四个括号是一个周期的最后一个，括号中有四个数，这是第二十六次循环，最后一个数是2×260+1，得出结论．
【解答】解：由题意知，
∴第104个括号中最后一个数字是2×260+1，
∴2×257+1+2×258+1+2×259+1+2×260+1=2072，
故选D
【点评】复习课的任务在于对知识的深化，对能力的提高、关键在落实．根据上面所研究的问题，进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的能力．
10．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如右图所示，则当t=秒时，电流强度是（）
A．﹣5安B．5安C．安D．10安
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题．
【分析】通过函数的图象求出A，T，然后利用周期公式求出ω，（）为五点中的第二个点，代入表达式，即可求出φ的值，得到函数解析式，代入t=秒，即可求出电流强度．
【解答】解：由图象可知A=10，
∴ω=∴函数I=10sin（100πt+φ）．
（）为五点中的第二个点，
∴100π×+φ=
∵0＜φ＜∴φ=，I=10sin（100πt+）．
当t=秒时，I=﹣5安
故选A
【点评】本题是基础题，考查学生视图能力，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，此是近几年高考中对三角函数的图象与性质考查的一种较热的题型，注意把握其解题规律．注意隐含条件0＜φ＜的应用．
11．已知函数f（x）=sinx+cosx，则下列结论正确的是（）
A．函数f（x）的图象关于直线对称
B．函数f（x）的最大值为2
C．函数f（x）在区间上是增函数
D．函数f（x）的最小正周期为π
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、最值、以及它的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+），当x=﹣时，求得f（x）=0，
可得函数f（x）的图象不关于直线对称，故排除A．
由函数的解析式可得函数f（x）的最大值为，故排除B．
∵x∈区间，故x+∈（0，），故函数f（x）在区间上是增函数，故C正确．
根据f（x）=sin（x+），可得它的最小正周期为2π，故排除D，
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性、单调性、最值、以及它的图象的对称性，属于基础题．
12．如图，已知点O是边长为1的等边△ABC的中心，则（）•（）等于（）
A．B． C．D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题．
【分析】由题意求出的长度，推出夹角大小，直接利用向量的数量积求解即可．【解答】解：因为点O是边长为1的等边△ABC的中心，D为BC的中点，两两夹角为120°．所以==．
所以（）•（）
=
=+++
=
=﹣．
故选D．
【点评】本题考查向量的数量积的运算，利用条件求出的值，已经向量的夹角是解题的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．设，为单位向量，且，的夹角为，则向量在方向上的射影为．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】由已知可得，，结合，的夹角为，代入向量在向量方向上的投影公式得答案．【解答】解：由题意可得：，又，的夹角为，
∴向量在方向上的射影为： =cos=．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，是基础题．
14．已知tanx=，则= 10 ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题．
【分析】原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵tanx=，∴原式===10．
故答案为：10
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
15．在6和768之间插入6个数，使它们组成共有8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是192 ．【考点】等比数列的通项公式．
【专题】计算题．
【分析】设数列的公比为q，由题意可得q=2，由等比数列的通项公式可得答案．
【解答】解：设该等比数列的公比为q，则6q7=768，
即q7=128，解得q=2，
故这个等比数列的第6项为：6×25=192
故答案为：192
【点评】本题考查等比数列的基本运算，利用公比来联系数列项的关系是解决问题的关键，属基础题．
16．已知在△ABC中，∠A=120°且三边长构成公差为2的等差数列，则∠A所对的边a= 7 ．
【考点】等差数列的通项公式；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由三边长构成公差为2的等差数列设三角形的三边分别为x﹣2，x，x+2，利用余弦定理表示出cosA，将设出三边长及cosA的值代入求出x的值，即可确定出a．
【解答】解：根据题意设三角形的三边分别为x﹣2，x，x+2，
由余弦定理得cos120°==﹣，
整理得：x2﹣5x=0，即x（x﹣5）=0，
解得：x=5或x=0（舍去），
则∠A所对的边a=5+2=7，
故答案为：7
【点评】此题考查了余弦定理，以及等差数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知=（1，0），=（2，1），
（1）当k为何值时，k﹣与垂直？
（2）若=2+3， =+m且A、B、C三点共线，求m的值．
【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．
【分析】（1）由已知向量的坐标求出k﹣的坐标，再由k﹣与垂直，结合向量垂直的坐标运算得答案；
（2）求出，的坐标，由向量共线的坐标运算列式求得m值．
【解答】解：（1）∵=（1，0），=（2，1），
∴k﹣=（k﹣2，﹣1），
又k﹣与垂直，得2（k﹣2）﹣1=0，即k=；
（2）=2+3=（8，3），=+m=（1+2m，m），
∵A、B、C三点共线，∴，
则8m﹣3（1+2m）=0，解得：m=．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线、垂直的坐标运算，是中档题．
18．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．
【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得函数的最小正周期，利用三角函数图象和性质求得其对称轴方程．
（2）利用x的范围求得2x﹣的范围，进而利用三角函数单调性求得函数在区间上最大和最小值．【解答】解：（1）f（x）=cos（2x﹣）+2sin2x=cos 2x+sin 2x+1﹣cos 2x=sin 2x﹣cos 2x+1=sin （2x﹣）+1．
则f（x）的最小正周期为T==π．
由2x﹣=kπ+，得对称轴方程为x=+，k∈Z．
（2）当x∈[0，]时，﹣≤2x﹣≤，
则当2x﹣=，即x=时，f（x）max=2；
当2x﹣=﹣，即x=0时，f（x）min=．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．要求学生对二倍角公式，两角和公式，三角函数的单调性，周期性能熟练掌握．
19．S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3
（I）求{a n}的通项公式：
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（I）通过a n2+2a n=4S n+3与a n+12+2a n+1=4S n+1+3作差可知a n+1﹣a n=2，进而可知数列{a n}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知a n=2n+1，裂项可知b n=（﹣），并项相加即得结论．
【解答】解：（I）∵a n2+2a n=4S n+3，
∴a n+12+2a n+1=4S n+1+3，
两式相减得：﹣+2a n+1﹣2a n=4a n+1，
整理得：﹣=2（a n+1+a n），
又∵a n＞0，
∴a n+1﹣a n=2，
又∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=3或a1=﹣1（舍），
∴数列{a n}是以3为首项、2为公差的等差数列，
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；
（Ⅱ）由（I）可知a n=2n+1，
∴b n===（﹣），
∴数列{b n}的前n项和为：（﹣+﹣+…+﹣）
=（﹣）
=•．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．
方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后转化为sinα．
【解答】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC
=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．
解得BC=28．
所以渔船甲的速度为海里/小时．
答：渔船甲的速度为14海里/小时．
（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，
由正弦定理，得．
即．
答：sinα的值为．
方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，
由余弦定理，得．
即．
因为α为锐角，所以=．
答：sinα的值为．
【点评】本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．
21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a为常数）．
（1）当时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）根据题意，先求函数y=x2﹣lnx的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣，令其导数小于等于0，结合函数的定义域，解可得f（x）的单调递减区间．
（2）若对于任意x∈[1，e]，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，则必有x∈[1，e]时，ax2﹣lnx﹣（a﹣2）x≥0恒成立，分离参数a后，利用函数的最大值求解即可．
【解答】解：（1）对于函数y=x2﹣lnx，由题意，得其定义域为{x|x＞0}，
y′=x﹣=，
令≤0，
又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；
解可得0＜x≤1，
即函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]，
（2）由已知得x∈[1，e]时，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，
即x∈[1，e]时，ax2﹣lnx﹣（a﹣2）x≥0恒成立．
即a≥，
设g（x）=，
则g′（x）==，
当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在区间（1，+∞）上递增，
∴当x∈[1，e]时，g（x）≤g（e）=，
∴a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，
∴实数a的取值范围为[，0）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．
四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号）．【选修4-1几何证明选讲】
22．如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．
（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】立体几何．
【分析】（I）由已知与圆的切线的性质可得△CDB∽△AEF，∠DBC=∠EFA．利用B，E，F，C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，∠EFA=∠CFE=90°，即可证明．
（II）连接CE，由于∠CBE=90°，可得过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，可得CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，即可得出．
【解答】（I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，
∴∠BCD=∠A，由题设知： =，
故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．
∵B，E，F，C四点共圆，
∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°
∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
（2）解：连接CE，
∵∠CBE=90°，
∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，
由DB=BE，有CE=DC，
又BC2DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2，
而DC2=DB•DA=3DB2，
故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为．
【点评】本题考查了圆的切线的性质、四点共圆的性质、勾股定理、圆的面积与三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．
（1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．
（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，
∴x2+y2=2y．
同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，
联立，
解得，，
∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．
（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B都在C1上，
∴A（2sinα，α），B．
∴|AB|==4，
当时，|AB|取得最大值4．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则+＞+；
（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【考点】不等式的证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．
【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，
（+）2=c+d+2，
由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，
则＞，
即有（+）2＞（+）2，
则+＞+；
（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，
即为a+b+2＞c+d+2，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，
即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；
②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，
即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
则有（+）2＞（+）2．
综上可得， +＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。