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第六章热量传热微分方程
一、单相对流传热的一般数学模型
对流传热是一种与流体运动及流体内部导热规律均有关的一种传热现象。

所以，对此过程的描述，需要同时采用描述流体流动和传热两方面的基本方程，即传热微分方程、导热微分方程、运动微分方程、连续性方程以及相应的单值条件。

下面分别介绍。

1.传热微分方程
当流体流过固体壁面时，总存在一层很薄的流体粘附在表面上，这层流体总是处于静止状态(u=0),则热量只能依靠导热在该表而层传递。

因此，在此流体层任一微元
面积dA的传热量dq,可以根据付立叶定律计算：
d q = -lrf— dA—— (1)
和So
紧结固体壁面处(11=0)的流体层屮温度梯度,
kf——流体的导热系数。

另外，根据对流传热基木方程，壁面与流体之间的传热量dg乂可写为:
dq = h[t s -t f^dA = hAtdA (2)
式中：M = t s-t f——固体壁面与流体间的温差。

h
——对流传热系数。

由⑴,(2)两式相等得：
(3)
h亠並
丽n=0
此式即为传热微分方程。

欲求出对流传热膜系数h,则应先得出在该流体中的温度分布。

其温度分布可由导热微分方程描述。

2.导热微分方程：
流体内导热微分方程在前面已有推导，在无内热源时为:
上式常称为能量方程。

对于稳态的温度场，里=0。

oO
因此式包括有未知量代，仏，冬，因此，欲求解上式，必须知道流体内的速
度分布，这就需求解流体的运动微分方程。

3•运动微分方程：
粘性流体的运动微分方程，即是奈斯方程:
上述三个方程中有4个未知量：u x ,u y ,u :及P,所以述应引入一个方程，才能求解。

该方程就是连续性方程。

4.连续性方程：
一般流体的连续性方程在前而已经导出，即:
讪 | °（刊J |。

（刊J | 讥以J 二°
— （6）
dx
dy
dz
对于不可压缩性流体lp =常数），稳态流动（叟=0 ）时，有:
30
通过对上述四种方程求解，便可得出对流传热系数h 的一般解。

再加上单值 条件，便可求得具体问题的解。

以上微分方程组及单值性条件，构成了对流传热过程的完整的数学描述。

求 解这组方程的方法有以下两种：
（1）
分析求解法。

通过求解方程组及单值性条件，得到具体对流传热 过程的解。

（2） 实验求解法。

由于传热过程的影响因素众多，虽然对流传热过程 的数
学描述式容易写岀，但要求解却十分困难。

所以目前用的最
'埜+仏埜+%匹+£西] k 30 dx dy
dz 丿
*x — OX
d 2u x d 2u x d 2
u x
—— --------- -H -------
dx 2
dy 2
dz 2
(du v du v du v dw v ?
"I 丽+“F"药匕石J
*丫_牛 + 口
dy
dx 2
dy 2
dz 2
Ou. du. du^
—+%.— +
— + 况7 —-
30 dx dy - dz 丿
*Z —字+ 〃
az d 2
u z d 2
u z 、
如
dx
By
dz
=0 (7)]
多的方法还是实验求解法。

通过对过程的分析，确定影响对流传 热的因素，然后进行因次分析，得出准数关联式。

根据准数关联 式安排实验，得出经验式。

二、传热边界层及其与对流传热的关系：
传热膜系数h 的大小只取决于固体表面流层内的温度梯度単
H=0
大量的实验及理论分析表明：壁面处薄流层内的温度梯度里
n=0
流体内的温度分布密切相关，而且直接受边界层内流体速度分布状况的影响。

下 面进行分析。

1.传热边界层及其对对流传热系数的影响：
当流体流过固体壁面时，（其温度与流体不同），因流体被加热或冷却而使壁 面附近流体的温度发生变化，其温度侧形图，如下面所示。

t,一一壁面温度
r （）
丄体温度
61——热边界厚度
定义：壁面附近的流体因被加热或被冷却而发生温度变化的区域称为热边界 层或温度边界层。

理论流体的温度变化可在整个流体范围内。

通常为分析问题的
由式:/i=4M =0
可知，对于给定的传热温差及流体（©及4已定），则
和壁面附近
方便，通常规定：r v-/ = O.99(/v-/o)处为温度边界层的外缘，所有r s - r>0.99(r s -r0)的区域作为热边界层。

可以指出：①随流体的流动，流体被逐渐加热。

②随流体的流动，边界层的厚度$逐渐变厚。

③随边界层厚度Q的增加，显然温度梯度里越小，则对流传弘"=0
热膜系数h减小，反之，h增大。

而热边界层的厚度受流体流动边界层的影响。

下面从边界层内热量传递的机理进一步分析：热边界层及流动边界层厚度与对流传热系数h的关系。

2 •边界层内的能量传递机理
流体内部的能量传递机理取决于流体的流动状态。

(1)层流流体中：层流时，流体成层向前流动，相邻层流体间无宏观上的运动。

在垂直于流体流动的方向上，热量的传递只能通过流休内部的导热。

在实际过程中，传热总是受到自然对流的影响，而使传热膜系数较纯导热要大一些。

(2)湍流流体中：在湍流流体中，流动边界层可分为三层：层流内层(底层)、湍流核心及介于这二者Z间的缓冲层(过渡层)。

三层的流动状态不同，因而其能量(热量)传递的机理也不同。

①在湍流层：流体中充满了漩涡和湍动，使流体质点在垂直于流动方向上有宏观的运动，所以在垂直于流体流动方向上，除了有流体的导热，更重要是由于强烈混合运动而产生的热量交换，这使得传热过程大为强化。

②在层流底层：其传热机理同层流流体屮，只是流体的导热。

③在缓冲层：由导热(分子扩散)引起的热量传递与因流体漩涡湍动而引起的热量传递，大小相当。

对于一般的流体，其导热系数均较小，所以在三层中层流底层中的传热阻力最大。

在稳态导热过程屮，热阻最大的那层流体屮，其温差也最大，其温度变化也
最大。

所以层流底层中的温度梯度単
起着决定性的作用。

在温度变化一定的
°% n=0
情况下，通过改变流体层流底层的厚度可提高温度梯度半，从而提高传dn“=0
热膜系数h。

因此，在工程中，常常通过增加流体的湍动程度，以降低层流底层的厚
度Q,来提高对流传热系数h,达到强化传热之目的。

3 •进口段的传热发展过程
理论与实验研究均表明：①在管内对流传热时，存在一个进口段。

②在进口段热边界层逐渐形成（如同流体流动的速度边界层的形成与发展），在进口段传热膜系数h 最大，随流体的向前流动，热边界层形成，使h迅速减小，并达到一个极限值。

③随着边界层的形成与发展，当达到湍流边界层时，使热膜系数h 又开始回升。

在计算对流传热膜系数h时，应考虑到进口段的影响，一般取进口？的长度为Le = 50d ,即在计算h时，应从进口段以后的管子为基准。

三、平壁层流传热的分析解
本节以平壁层流传热为例，说明前述的数学模型计算对流传热的问题。

1•边界层方程
由于对流传热取决于边界层的状况，所以，计算对流传热问题的关键是要求出边界层内的速度分布和温度分布。

设平壁宽度很大，在宽度方向上无流体流动，温度均匀一致，而且为稳态流动和稳态导热，故可视为稳态的二维传热问题进行处理。

由于边界层非常薄，通过忽略相对高阶微小量，描述传热过程的基本方程都可以进行简化，简化的基础是依定：
u x□ u v ,如口如
dy dx
dt dt —
LI —dy
dx
连续性方程:
dx dy
以上三式即为二维稳态条件下的边界层方程组。

求解这一方程组可以得到边 界层内的速度分布方程和温度分布方程。

再结合传热微分方程，便可算出壁面上 各点的传热膜系数。

为了将上述方程组变为常微分方程，便于分析求解，先进行因次分析，将方 程中的变量进行组合，得出无因次数群之间的关系。

实际上是减少变量的个数。

2 •方程组的因次分析：
(1)动量方程：通过动量方程可得出边界层内的速度分布。

经过分析可知,
影响平行于壁面的速度冷主要因素有：①操作条件:流体的主体速度如；②设 备条件:
壁面的尺寸X,Y ③物性条件:粘度“，密度P 。

它们之间的关系可用下面的指数式表达：
u x = Au^x h y c jll (, p e
----- (4)
式中的指数a, b, c, d, e 可通过因次分析法确定。

因为在上式中长度x,y 是独立变
根据这些假定，对于边界层内的传热和流体流动而言，能量、动量及连续性 方程可分别进行简化。

厶匕
?-Tn df dr Bt 能量方程：—+ w —+ w —+ w — = 6Z
08
dx dy
dz
邑+巴+皿
dx 2
dy 2
*.*
= 0 (稳态传热)—=0 , u. = 0 f a —
dz
pC p
竺=0 (高阶微小量) dr
则上式可简化为：CpP
(dt dt}
(1)
在X 方向上的动量方程:
匹+仏西+他匹+仏匹、 30 dx dy dz 丿
可简化为：p
'du Y du Y U
^ + Uy
W)
d\
〃訂
(2)
(3)
=pX_竽+“
dx
量，所以，以厶，厶v 表示其基本单位，以&表示在Z 方向上长度的基本单位。

同 时以M 表示质量，&表示时间的基木单位。

则(4)的因次关系式如下:
位。

可将上式写为：
［厶］•⑹T =［厶严"「1［九广怡
根据因次一致性原则，有：
以上四个方程，5个未知量，指定c 为已知量，用c 表示其它4个量，则:
, C C
. C . C
d = — ,
w = —, b = —,。

= 1 + —
2
2
2
2
将以上结果，代入式(4)得：
—(6)
—(7)
即：为无因次准数之间的关系。

M L ~0L z ~L
由于乙只在式子右边出现，且均以
(5)
的形式出现，所以扌吩看作-个基本单
1 = a^b-d-e
0： M ~L
O=c+d-e
-\--a-d
整理得：
或改写为:
令：心
同理，通过因次分析，可以得到流体在y 方向上的速度分布式:
(11)
（2）能量方程:
在（1）式的能量方程屮，温度t 可以用温度差（/-门来代替，温度分布主 耍受以下因素的影响:
①操作条件:t.-t s （温度差）主体流速如; ②设备条件：设备尺寸：x,y
原能量方程的解，可写成如下的指数式:
其因次关系为:
把® ?看成是两个基本单位，则上式中包括有9个变量，6个基本单位 甞W 從）。

根据旋理：无因次数群个数等于独立变量个数（9个） 减去基木单位个数（6个），则应为3个无因次数群。

则依据因次一致性原则:
1=a-g-h 0 = -b-e-h
厶 丫 ： 0 = b + c-e-f-h
③物性条件：粘度“，密度°,比热Cp,
导热系数k
（一J = A 仏-汀喘丫“9匕即
(12)
「
L I
b
r — ic
d ~ M L y ~ e
M
f
~ H ~
g H L ：
X
L 、
y
L&」
L A J
y
M
M
理zj
L 》花
凤厶
T\
(13)
式屮:
H T
~MT
2 \
XU
^P X
jU
或写成函数关系：^=f 如
[T] = [T]a
厶：0 = d +
幺 一 / + /? M • ■ 厶-
O=e+f-g
H
—•
■ L
0 = g + /?
6个方程，8个未知数，需指定两个，以其表示其它6个未知数。

现指定h 和e, 可解
出:
g = -h , a = \ , f = -h-e , b = -h-e f c = e + h, d = -2e - 2h
将以上各值代入原指数式得：
令：a - -2(e + /?)贝ij ： e = -牛 - h ,
,
a a
a t a
则：=Au^x 2
p 2
C~h k h
y
(14)
3 •速度分布和温度分布
位置x,y 的函数，可用符号〃表示，即:
服 (VM 片
或写成函数关系数：
(15)
(16)
在前面的动量方程及能量方程的解中都含有无因次数群
即三个无因次数之间的关系:
前面的方程可改写为：
由此可见，引入变量〃（兀,）之后，就将前边界层方程变为常微分方程了。

此时，未知无因次变量仝，工啤,和&都是单变量〃的函数。

如冷“
引入新变量〃之后，某一函数F 对x ，y 的偏导数与〃的关系由式（17）得UL 即:
用流函数屮來表示速度冷和竹，则为:
在式（22）中以屮代替F,并将式（23）代入得:
..dF _ • ------ —
阿
dF
dy \ jux dr)
.0屮_ 阿竺 =
〃屮
dy y JL1X d i]
V “兀 drj
(18)
(19)
r
屮（〃,片）
(20)
0_/
dF _dF dr/ _dF ( 1 y \u {}px
dx d r/ dx dr/
I 2x
*
(21)
3F _ dF dr/ _ \u^p dF dy d r] dy (22)。

屮 (23)。

屮
=
~ a?
(23a)
A
dF
2x d 〃
px dr/
(24)
在上式中，如把x看作常数（即某一x处的屮,〃值），则可积分上式: 屮=“^[]1（〃）呦=曲石/（〃）——（25）
由（23）式：况=2$得：
_。

屮_。

屮 a ?7
‘ ^3 1• ■
' dy 3 7] dy
v^ = [V^o/(77)] =7^o/(^)
(26)
BP：u x=uj'(7])
（1）速度分布:
(29)
（2）温度分布：
经过数学处理得:
屮
式中：/（7）= ~/^= Wo"
4 •对流传热系数：
某处距前缘的距离）的局部对流传热系数应为:
将（26） （27）所示的冷,他代入前面的动量方程中，并通过（21） （22）的 变量变换，则可得到下面的常微分方程:
Hl
I
II
f =0
边界条件：y = 0时，冷=0，你=0
y = oo 时・，u x - %
(28)
按照式
心）咽等
以=冷/ （〃）
；7 = 001： /=0, / = 0
〃 = oo 时：f =1
通过作图求解得式（28） 的解，即在固体壁面附近的速度分布为:
exp
exp ■M :v 讪
j
(30)
根据传热微分方程h = —S 学 * 丽 n=0
可知，平壁上任一位置X 处（X 为平壁面上
U
y
可将前述边界条件改写为:
0 =
人=-疗 /亿-G 如=0
根
据：
dF dF [u^ dF
---- — ---- --- zz I -- --
dy 3 77 dy v vx d r/
四、层流传热的近似积分解
前述的分析求解法，虽然在理论上是严格的。

但是，这种方法目前只限于层流问题和简单的平壁传热问题。

对于较复杂的传热问题，多采用边界层热流方程的积分求解或数值计算法求解。

(31)
用无因次温度&代入上式中的并将前面的温度分布式代入上式，便可计
算出心的计算式。

(1)当/Too 时:
经积分计算得：
仏=0.339応菽
\_ 普
尔豪森经验式为：叽=0.332RQP] 理论能
与实验值很好的吻合。

——(32)
(£=0.6口15)——(33)
（2） T0的情况:
经过计算推导得：
丄丄
心=0.564庸产
斯拿罗（Snarrow）等的经验式为:
(34)
0.564
R 2p 2
1 + 0.90“ "'
(35)
1.边界层热流方程:
如图所示，在边界层内取一微元段dx,研究其热量衡算关系。

流动边界层 厚度为传热边界层厚度为
① 单位时间内由平面1-2带入的焰为:
^C p ptudy
② 经过dx 距离后，经平面3・4流出时的焰的改变量为：
±^l
C P ptudy^dx
③ 在动量衡算时，曾说明单位时间经过平面2-3流入的质量为: -^-^pudy^dx ,则其带入得焙为：C p t 0
④ 经过壁而1-4以导热方式，单位时间传入的热量为：
dx
y=0
根据热量平衡可得:
（由2-3面传入热量+由1-4导入热量=3-4面离开时热量变化量）
dx
(2)
(1)
dx
即:
即:
dx-k — dy
当存在漩涡时，使动量传递强化，此时的剪应力或动量传递速率可改写为:
如果令：0t =t-t s , =t Q -t s ,则上式可改写为:
(0l{)-0t )udy =OC —A
----- (3)
」心1严。

上式即为边界层内的热流方程。

只要得到边界层内的温度分布，便可依上式求出 热边界层的厚度，并进而求得对流传热系数h 。

2 •平壁层流传热：
流动边界层的厚度为:
3 -
丄
(4)
_
3 --
传热边界层的厚度为： 色=4.53心2p 3
X
得平壁层流时的对流传热系数式为(局部):
(5)
h Y
—-
亠= 0.332怒£3
(6)
在0口兀Z 间的平均对流传热系数为:
(7)
五、湍流传热的分析解：(自学)
以上我们所讨论的问题都限于层流传热，对于湍流传热，由于漩涡运动在传 热过程屮起主要作用，所以在前面提出的数学描述式中，必须增加漩涡运动所引 起的能量传递和动量传递，从而使方程的求解变得更为复杂。

类比的方法可使此 计算大为简化。

1 •热量传递与动量传递的类似性。

在动量传递时，曾经提到牛顿粘性定律，即:
(pu --- 动量)
(1)
T-
P dy
(2)
du
P dy
理论分析表明，当匕=1时，两过程完全可相似。

热量传递与动量传递的比较
热量传递 动量传递
传递量
单位时间单位面积的热量传 递量，q!A
单位时间单位面积的动量传
递量，T s 推动力
温度差
速度差
传递速率与壁面处梯度的关
系 A
6丿z
lb Jy=O
分子传递系数 导热系数k 粘度“
传递速率的表达式
—= h\t A
参数
摩擦系数f
膜系数h
有不少学者对动量传递与热量传递之间的类比进行了研究，得出了一些成果。

2 •雷诺类比
1874年雷诺通过理论分析，首先建立了膜系数与摩擦阻力系数Z 间的一种 简单类比关
系。

他设想在单位时间内质量为M 的流体微团在距壁面一定距离处 (该处x 方向的速度
为/)向壁面运动，在到达壁面处速度降为零。

因此，单位
时间内放出的动量为M 冷。

根据动量定律：单位时间内的动量变化等于表面的剪应力，即：
Mu x = T A
----- (1)
式中：为单位时间内传到面积为A 的表面上的动量；
-为单位面积壁面上的剪应力。

如果这块质量为M 的流体与壁面的温度差为仏-/$),则由它到达壁面,
在对流传递时，有牛顿冷却定律:
(3)
在单位时间内传给壁面的热量MCp 仏-―），此热量即为而积为A 上的对流传热 量，因此有如下关系：
q = MC P {t b ~t s ) = hA{t b -t s )
故有：
MCp=hA
（1）与（3）式相比有：=
—=
C p h C p u x
上式两边同乘：丄得：
P U X
根据摩擦阻力计算式「严/年
・・・亠丄
—（5）
pu x C p 2 h N
或： -------- =S =———
S. --- 斯坦顿数（Stanton Number ）
P 比Cp
RjP,
由上式可得：
N lt =^RP r
一一（7）
当 £. = 1 （气体）时： N u =^R,
—— （8）
以上几式就是通过类比得出的。

对流传热膜系数与摩擦阻力系数之间的关 系，称为雷诺类似律，或雷诺类比式。

实验表明：当鬥.=1时，能与实验数据很好地吻合。

以上类比式的适用条件：
①
的流体（即气体）
② 层流流动的流体（此时无形体阻力）。

在雷诺类比之后，乂有一些改进的类比关系式，如普兰法一台劳类比，卡门 类比，柯尔邦类比等等。

（Colbum ）
对于管内对流传热，Colburn 提岀了如下对流传热系数的计算式：
呱=0.023磴児 3
-- (9)
(2) (3)
(4)
式中：下标b与下标m分别表示流体物性按流体的体积平均温度一和流体与壁面的平均温度厶=+仏+/J计算。

条件：R e > 104, 0.7v£vl60, L/d>60
注意：N”与《化原》教材的定性温度不一致，需查证。