万州二中高2021级导数的几何意义复习试题二解析版

x
1
1
1
为 ，由切线与直线 ax＋y＋1＝0 平行，可得－a＝ ，解得 a＝－ .故选 D
2
2
2
2.设曲线 y=
在点
处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于 ( )
A.-1
B.
C.-2
D.2
【解析】选 A.因为 y′=
=
,所以 y′
所以 a=-1. 3.已知曲线 y=lnx 的切线过原点,则此切线的斜率为 ( )
＋6ln 3.
∪
.
13.已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值.
(2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,(1-a)x-a(a+2).
所以 a 的取值范围为
∪
.
14.已知函数 f(x)=x- ,g(x)=a(2-lnx)(a>0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线 斜率相同,求 a 的值.并判断两条切线是否为同一条直线. 【解析】根据题意有:曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f′(1)=3,曲线 y=g(x)在 x=1 处的 切线斜率为 g′(1)=-a. 所 以 f ′ (1)=g ′ (1), 即 a=-3. 曲 线 y=f(x) 在 x=1 处 的 切 线 方 程 为 y-f(1)=3(x-1), 得 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0.曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 y-g(1)=3(x-1),得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0,所以两条切线不是同一条直线. 15.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点 P(0,2),且在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0. (1)求函数 y=f(x)的解析式.
A.
B.-2 C.2 D.-
【解析】选 A.设切点坐标为(t,t3-at+a).由题意知,f′(x)=3x2-a,切线的斜率为 k=f′ (t)=3t2-a, ① 所 以 切 线 方 程 为 y-(t3-at+a)=(3t2-a) · (x-t). ② 将 点 (1,0) 代 入 ② 式 得
-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解之得 t=0 或 t= .分别将 t=0 和 t= 代入①式,得 k=-a 和 k= -a,
.
令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为
·|2x0|=6.
故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6. 17.设函数 f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中 a∈R.已知 f(x)在 x＝3 处取得极值． (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在点 A(1,16)处的切线方程． 解 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a. ∵f(x)在 x＝3 处取得极值， ∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得 a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8. (2)∵点 A 在 f(x)上，由(1)可知， f′(x)＝6x2－24x＋18， f′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为 y＝16. 18.设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相 交于点(0,6)． (1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值． 解 (1)因为 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
6 故 f′(x)＝2a(x－5)＋ .
x 令 x＝1，得 f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a， 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－8a)(x－1)，
1 由点(0,6)在切线上，可得 6－16a＝8a－6，故 a＝ .
2
(2)由(1)知，f(x)＝1(x－5)2＋6ln x(x>0)， 2
(2)若函数 g(x)= x2-9x+a+2 与 y=f(x)的图象有三个交点,求 a 的取值范围.
【 解 析 】 (1) 由 f(x) 的 图 象 经 过 点 P
, 知 d=2, 所 以 f(x)=x3+bx2+cx+2, 则 f ′
(x)=3x2+2bx+c.
由在 M(-1,f(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0 知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,f′(-1)=6.
(2)对于函数 y=lnx,y′= ,k1·k2= · ,而 x1>0,x2>0,所以 k1·k2≠-1,所以函数 y=lnx 不
具有 T 性质. (3)对于函数 y=ex,y′=ex,k1= ,k2= ,显然均大于 0.所以函数 y=ex 不具有 T 性质. (4)对于函数 y=x3,y′=3x2,k1=3 ,k2=3 ,显然 k1·k2≠-1,所以函数 y=x3 不具有 T 性质. 5.设 a∈R,函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f′(x),且 f′(x)是奇函数,若曲线 y=f(x)的一 条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为 ( )
A.e
B.-e
C.
D.-
=-1.由条件知 =-1,
【解析】选 C.y=lnx 的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则 k=y′
= ,所以切线方
程 为 y-y0= (x-x0), 又 切 线 过 点 (0,0), 代 入 切 线 方 程 得 y0=1, 则 x0=e, 所 以 k=y ′
= =.
(1)由题意得
解得 b=0,a=-3 或 a=1. (2)因为曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线, 所以关于 x 的方程 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0, 即 4a2+4a+1>0,
所以 a≠- .
4.若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称
y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是( )
A.y=sinx
B.y=lnx
C.y=ex
D.y=x3
【解析】选 A.(1)对于函数 y=sinx,y′=cosx,设图象上存在这样两点(x1,sinx1),(x2,sinx2), 那么两切线的斜率 k1=cosx1,k2=cosx2,令 k1·k2=cosx1·cosx2=-1,则 x1=2kπ,x2=2kπ+π(x2=2k π,x1=2kπ+π),k∈Z,即存在这样的两点,所以具有 T 性质.
当 x<1 或 x>2 时,h′ >0;
当 1<x<2 时,h′ <0,
所以 h 的增区间是
,
极小值为 2,因此 2<a< .
;减区间是
,h(x)的极大值为 ,h(x)的
16.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式. (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定 值,并求此定值. 【解析】(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3.
的取值范围是
.
【解析】由题意可得 f′(x)=ex-m,由于曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线,则 ex-m=- 有解,
即 m=ex+ ,而 ex>0,故 m> .答案:
10.若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 b=
.
【 解 析 】 y=lnx+2 的 切 线 为 :y= · x+lnx1+1( 设 切 点 横 坐 标 为 x1),y=ln(x+1) 的 切 线
(1)斜率最小的切线方程. (2)切线 l 的倾斜角α的取值范围. 【解析】(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,
所以当 x=2 时,y′=-1,y= ,
所以斜率最小的切线过点
,斜率 k=-1,
所以切线方程为 x+y- =0. (2)由(1)得 k≥-1,
所以 tanα≥-1,所以α∈
为:y= x+ln(x2+1)- (设切点横坐标为 x2),
所以
解得 x1= ,x2=- ,所以 b=lnx1+1=1-ln2. 答案:1-ln2
11.过点 A
作曲线 f =x3-x 的切线最多有
条.
【解析】设切点为 P
,则 f′
=3 -1, 那 么 切 线 方 程 为
y- +x0=
,代入 A
得,2 -6 +3=0.令 y=2 -6 +3,则
6 x－2 x－3
f′(x)＝x－5＋ ＝
.
x
x
令 f′(x)＝0，解得 x1＝2，x2＝3. 当 0<x<2 或 x>3 时，f′(x)>0，
故 f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；
当 2<x<3 时，f′(x)<0，故 f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知，f(x)在 x＝2 处取得极大值为 f(2)＝9＋6ln 2，在 x＝3 处取得极小值为 f(3)＝2 2
万州二中高 2021 级导数的几何意义复习试题二解析版 1 已知曲线 f(x)＝ln x 在点(2，f(2))处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 平行，则实数 a 的值为
()
1
A.
B．－2
2
C．2
1 D．－
2
答案 D
1 解析 f(x)＝ln x 的导数为 f′(x)＝ ，可得曲线 f(x)＝ln x 在点(2，f(2))处的切线斜率
2
8.曲线 y=log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于
.
【解析】因为 y′= ,所以 k= ,
所以切线方程为 y= (x-1),
所以三角形面积为 ×1× = = log2e.
答案: log2e
9.已知函数 f(x)=ex-mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线,则实数 m
y′=6 -12x0.令 y ′=0,得 x0=0 或 x0=2,当 x0=0 时,y=3>0,当 x0=2 时,y=-5<0.所以方程
2 -6 +3=0 有 3 个解,故过点 A
作曲线 f =x3-x 的切线的条数是 3 条.
答案:3
12.已知点 M 是曲线 y= x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求:
当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ ,
于是
解得
故 f(x)=x- .
(2)设 P(x0,y0)为曲线 y=f(x)上任一点,由 y′=1+ 知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为
y-y0=
(x-x0),
即 y-
=
(x-x0).
令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为
所以
即
解得 b=c=-3.
故所求的解析式是 f(x)=x3-3x2-3x+2. (2)因为函数 g(x)与 f(x)的图象有三个交点,所以 x3-3x2-3x+2= x2-9x+a+2 有三个根,即 x3- x2+6x=a 有三个根. 令 h(x)=x3- x2+6x,则 h(x)的图象与 y=a 的图象有三个交点. 接下来求 h(x)的极大值与极小值. h′ =3x2-9x+6,令 h′ =0,解得 x=1 或 2,
由题意知它们互为相反数,得 a= . 7.若曲线 y＝kx＋ln x 在点(1，k)处的切线平行于 x 轴，则 k＝________. 考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标 题点 求函数在某点处的切线的斜率 答案 －1
1 解析 ∵y′＝k＋ ，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.
x 解得1<a<1.
A.ln2
B.-ln2
C.
D.-
【解析】选 A.对 f(x)=ex+a·e-x 求导得 f′(x)=ex-ae-x.又 f′(x)是奇函数,故 f′(0)=1-a=0,
解 得 a=1,故 有 f′ (x)=ex-e-x, 设 切点 为 (x0,y0), 则 f′ (x0)= -
= ,得 =2 或
=- (舍去),得 x0=ln2. 6.已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的倾斜角 互补,则 a 的值为 ( )