高二数学上学期第一次月考试题理含解析试题_1

临川第一中学2021-2021学年高二数学上学期第一次月考试题 理〔含解析〕
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一､选择题
//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，那么m 为〔 〕
A. -4
B. -2
C. 2
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】
由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.
【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =. 应选：D
【点睛】此题主要考察了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考察了空间向量垂直的计算,属于根底题.
2.以下说法正确的选项是〔 〕
A. 假设()p q ⌝∧为真命题，那么p ，q 均为假命题；
B. 命题“假设2340x x --=，那么1x =-〞的逆否命题为真命题；
C. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设“10a >〞那么“20192018S S >〞的否命题为真命题；
D. “平面向量a 与b 的夹角为钝角〞的充要条件是“0a b ⋅<〞 【答案】C 【解析】 【分析】
根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根
据数量积的公式判断D 即可.
【详解】对A, 假设()p q ⌝∧为真命题,那么p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或者4x =,故命题“假设2340x x --=,那么1x =-B 错误. 对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设“10a >〞那么“20192018S S >〞的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设“20192018S S >〞那么“10a >〞.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即
2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.
对D, 当0a b ⋅<时, a 与b 也可能反向,此时夹角为π.故D 错误. 应选：C
【点睛】此题主要考察了命题的真假断定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质断定等.属于根底题.
3.命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥〞为真命题的一个必要不充分条件是〔 〕 A. 0a ≤ B. 1a ≤
C. 2a ≤
D. 3a ≤
【答案】D 【解析】 【分析】
先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可. 【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥〞为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立.
即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤. 应选：D
【点睛】此题主要考察了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进展断定.属于根底题.
4.如图，空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，那么以下向量的数量积等于2a 的是〔 〕
A. 2AB CA ⋅
B. 2AC FG ⋅
C. 2AD DC ⋅
D. 2EF DB ⋅
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可. 【详解】对A, 2222
cos
3
AB CA AB CA a π
⋅=⋅⋅=-.不满足 对B, 222
cos022
a
AC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=.满足
对C, 2222cos
3
AD DC AD DC a π
⋅=⋅⋅=-.不满足 对D, 222
cos 22
a
EF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-.不满足
应选：B
【点睛】此题主要考察了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于根底题.
p :函数21y x ax =-+在(2,)
+∞q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 假设p q ∨为假命题，那
么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 4a > B. 0a ≥ C. 04a ≤< D. 04a <≤
【答案】A 【解析】 【分析】
根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令
其小于0计算a p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即可. 【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242
a
a ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <. 又p q ∨为假命题可知,p q 4
40
a a a >⎧⇒>⎨≥⎩.
应选：A
【点睛】此题主要考察了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.
P 为椭圆221259
x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，假设1260F PF ︒
∠=，那么P 点的纵坐标为〔 〕
B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
根据椭圆中焦点三角形的面积公式2
tan 2
S b θ
=求解即可.
【详解】由题知12
609tan
2
F PF S
︒
=⨯=.设P 点的纵坐标为h 那么
124
21F F h h ⋅⋅=±
⇒=. 应选：B
【点睛】此题主要考察了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.
1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1
(01)AG m m =<<，那么点G 到平面1D EF 的间隔 为〔 〕
A. 3
B. 2
C.
23
m D.
55
【答案】D 【解析】
【分析】
易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的间隔 为点1A 到平面1D EF 的间隔 ,再分析线面垂直的关系求解即可.
【详解】作11A P ED ⊥于P ,因为,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点,故11//EF A B ,
EF ⊥平面11A ADD .故1EF A P ⊥,又11A P ED ⊥,1EF ED E ⋂=.故11A P ED F ⊥平面.
又11//EF A B 所以点G 到平面1D EF 的间隔 为点1A 到平面1D EF 的间隔 1A P .
又111111111212
11115
2
225112A E A D A P ED A E A D A P ED ⨯⋅⋅=⋅⇒===⎛⎫+ ⎪⎝⎭
应选：D
【点睛】此题主要考察了点到平面间隔 的计算,根据题意可直接找到11A P ED F ⊥再根据等面积法计算
1A P ,属于中档题.
22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22
221(0)y x x b c
+=<合成的曲线称作“果圆〞(其中222a b c =+，0a b c >>>).如图，设点0,F 1,F 2F 是相应椭圆的焦点，1,A 2A 和1,B 2B 是“果圆〞与,x y 轴的交点，
假设012F F F △是等腰直角三角形，那么
a
b
的值是〔 〕
A.
72
B. 2
C.
62
D.
54
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意分别利用椭圆中的根本量关系计算0,F 2F 对应的坐标,再根据012F F F △是等腰直角三角形可得
02OF OF =计算即可.
【详解】根据题意有()0,0F c ,()
2
22
0,b F c -,又根据012F F F △是等腰直角三角形的性质可得
02OF OF =,即(
)
22
2
2
2
2
2
2322
a b c c b a b
b -=⇒=-⇒=.故6
2a b =
应选：C
【点睛】此题主要考察了根据椭圆的根本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于根底题.
9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为4，2AC BC ==，90ACB ︒∠=，点D 是11A B 的中点，
F 是侧面11AA B B 1AB ⊥平面1C DF ，那么线段1C F 的长的最大值为〔 〕
5 B. 2213 D. 5【答案】A
【解析】 【分析】
分析可得当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可.
【详解】由题,当1AB ⊥平面1C DF 时1AB DF ⊥,故F 在边界1BB 时1C F 取最大值,此时因为
1AB DF ⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A ∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA ∠=∠.
故111tan tan FDB B AA ∠=∠即
111111
1111
FB A B A B DB FB DB AA AA ⋅=⇒==
2
4
11BB =<满足题意 .
此时1C F ===应选：A
【点睛】此题主要考察了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进展列式求解.属于中档题.
22
143
x y +=上有n 个不同的点123,,,,n P P P P ⋅⋅⋅，椭圆右焦点F ，数列{}n
P F 是公差大于12019的等差数列，那么n 的最大值为〔 〕 A. 4036 B. 4037
C. 4038
D. 4039
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意分析最大最小的n P F 的值,再利用等差数列的通项公式求解n 的最大值即可.
【详解】根据题意有,当1P 为椭圆的右顶点,n P 为左顶点时
n 121PF ==
. 23n P F ==.又数列{}n P F 是公差1
2019
d >
的等差数列,
()2131112019
n d d n =+-⇒=
>-,所以140384039n n -<⇒<. 故n 的最大值为4038. 应选：C
【点睛】此题主要考察了椭圆上的点到焦点的间隔 最值以及等差数列的根本量运用,属于中档题. S ABCD -，E 是线段AB 上的点且1
3
AE AB =
，设SE 与BC 所成的角为1θ，二面角S AB C --的平面角为2θ，SE 与平面ABCD 所成的角为3θ，那么〔 〕 A. 123θθθ<< B. 321θθθ<<
C. 132θθθ<<
D. 231θθθ<<
【答案】B 【解析】 【分析】
作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得1
3
DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如下图.
易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,
二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JO
θθ=
<=.
又12EI JO BC ==
,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EI
θθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2
π
θθθ<<.故321θθθ<< 应选：B
【点睛】此题主要考察了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进展大小的判断.属于中档题.
xOy 中，点P 为椭圆22
22:1(0)C b
b x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，假设四边形OPMN 为平
行四边形，α为直线ON 的倾斜角，假设35,46ππα⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭，那么椭圆C 的离心率的取值范围为〔 〕
A. ,13⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
B. ,32⎛ ⎝⎭
C. 0,2⎛ ⎝⎭
D. 0,3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可. 【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛
⎫⎛⎫-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
代入椭圆方程得：x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <
得2a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
, α为直线ON 的倾斜角
,tan a
α==,
又35,
46ππα⎛⎫∈
⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝
⎭,即1133b
a -<<-⇒<<.
故e ⎛
= ⎝⎭
∴椭圆C 的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭
. 应选：D.
【点睛】此题主要考察了根据椭圆中的几何关系列出关于根本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题. 二､填空题
1111ABCD A B C D -的底面边长为1，假设1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，那么11A C 和底面ABCD 的间
隔 是________.
【解析】 【分析】
确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可.
【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC 为等腰直角三角形.
所以11A C 和底面ABCD 的间隔 1CC AC ===
2
【点睛】此题主要考察了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于根底题.
14.给定两个命题，P :对任意实数x 都有2
10ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x y
a a
+=-表示焦点在
x P Q ∧⌝为真命题，那么实数a 的取值范围是_________.
【答案】30,[3,4)2⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【解析】 【分析】
由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的HY 方程性质求解即可. 【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题. 又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立那么显然0a ≥ ：
①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<
又方程22
13x y a a
+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.
又Q 为假命题故3
2
a ≤
或者3a ≥.
故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
故答案为：30,[3,4)2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【点睛】此题主要考察了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.
()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，那么a 的
取值范围是_________. 【答案】(0,1] 【解析】 【分析】
由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可.
【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.
又0[0,3]x ∈那么[]2
()21,3f x x x =-∈-.
又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域.
所以11
1213
a a a -+≥-⎧⇒≤⎨
+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1]
【点睛】此题主要考察了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意断定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.
16.O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22
221(0)x y a b a b
+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,
且OE ,OF 的斜率之积为1
2
-
,那么椭圆Ω的离心率为______．
【答案】
22
【解析】 【分析】
设()11,C x y ,那么()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，那么()22,B x y --,由可得
22
11221x y a b +=,2
2
22221x y a b
+=,相减可得：AB ，AD 斜率之积为()()()()2
121221212.y y y y b x x x x a -+=--+由E ,F 分别为AB ,AD 的中点,可得OE ，OF 的斜率之积等于AB ,AD 斜率之积．即221
2
b a =,即可求得椭圆Ω的离心率．
【详解】解：设()11,C x y ,那么()22,D x y , 由对称性可得：()11,A x y --，那么()22,B x y --，
可得22
11221x y a b +=,22
2222
1x y a b +=．
相减可得：2222
1212
22
0x x y y a b
--+= AB ∴,AD 斜率之积为
()()()()2
12122
1212y y y y b x x x x a -+=--+． E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ，OF 的斜率之积为1
2
-
，那么OE ,OF 的斜率之积等于AB ，AD 斜率之积．
2212b a =∴,那么椭圆Ω的离心率为22212
b e a =-=, 故答案为:
2
2
．
【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程及其性质、斜率计算公式,考察了推理才能与计算才能,属于中档题． 三､解答题
{}2|320A x x x =-+≤，集合{}2|2B y y x x a ==--，集合{}
2|20C x x ax =+-≤，命题
:p A B ⋂≠∅，命题:q A C ⊆.
〔1〕假设命题p 为假命题，务实数a 的取值范围； 〔2〕假设命题p q ∧为真命题，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕3a <-〔2〕31a -≤≤- 【解析】 【分析】 (1)由题意A
B =∅,再根据区间端点满足的关系式求解即可.
【详解】由题, {}
{}2
|320|12A x x x x x =-+≤=≤≤,
{}{}2|2|1B y y x x a y y a ==--=≥--
〔1〕由命题p 是假命题,可得A B =∅,即得12,3a a --><-.
〔2〕
p q ∧为真命题,,p q ∴都为真命题,即A B ⋂≠∅,且A C ⊆.
∴有12
1204220a a a --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≤⎩
,解得31a -≤≤-.
【点睛】此题主要考察了根据集合间的根本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.
18.如图，在几何体ABCDE 中，//CD AE ，90EAC ︒∠=，平面EACD ⊥平面ABC ，22CD EA ==，
2AB AC ==
，BC =，F 为BD 的中点.
〔1〕证明://EF 平面ABC ； 〔2〕求直线BC 与平面BDE 所成角. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕30°. 【解析】 【分析】
(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可.
(2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可.
【详解】〔1〕取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又
F 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,
1
2
FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面
ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；
〔2〕
90EAC ︒∠=,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由〔1〕知
//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所
在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,
那么3,0)B ,(0,3,0)C -,(0,3,2)D -,(1,0,1)E ,
(0,23,0)BC ∴=-,(0,23,2)BD =-,(1,3,1)BE =-,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,那
么00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即30
30
z x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,令1y =,得(0,1,3)n =, ∴直线BC 与平面BDE 所成角的正弦
值为
1
2
||||BC n BC n ⋅=.∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°.
【点睛】此题主要考察了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到适宜的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题.
19.21
:()4
P f x ax ax =-+
R ，:q x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B . 〔1〕假设p q ∧为真，务实数a 的取值集合A ；
〔2〕在〔1〕的条件下，假设x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，务实数m 的取值范围. 【答案】〔1〕10,4⎡⎫
=⎪⎢⎣⎭A ；〔2〕1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
〔1〕先确定p ，q 为真的等价条件，假设p q ∧为真那么p 真q 真，求交集即可；
〔2〕利用x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可务实数m 的取值范围．
【详解】〔1〕:p 真 f 〔x
〕=
R ，那么ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x 都成立，
当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2
()0a a a ⎧⎨--≤⎩
＞，解得0＜a ≤1． 综上： []
a 0,1∈
:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->即a 1,4⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝
⎭
p q ∧为真，即p 真，q 真，
∴ 10,4A ⎡⎫
=⎪⎢⎣⎭
〔2〕①12m m -<，即1m >-，此时[]
1,2B m m =-
x A ∈是x B ∈的充分不必要条件
∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩
1,18⎡⎤
⇒⎢⎥⎣⎦； ②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意． ③①12m m ->，即1m <-，此时[]
2,1B m m =-
10,4
A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
为[]
2,1B m m =-的充分不必要条件 ∴ 11420
m m ⎧
-≥⎪⎨⎪≤⎩ 无解；
综上所述：1,18m ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
【点睛】此题考察实数的取值范围的求法，考察且命题、交集运算、不等式解法、充分条件和必要条件的应用等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．
ABCD
中，2=AB AD M 是DC 中点〔图1〕.将ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥〔图
2〕在图2中:
〔1〕求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；
〔2〕在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --5
，说明理由. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕存在，理由见解析 【解析】 【分析】
(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.
(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.
【详解】〔1〕在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=,
所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,AD
AM A =,
所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM , 所以平面ADM ⊥平面ABCM .
〔2〕因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,
所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .
以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,
建立空间直角坐标系.
那么()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,那么
(),22,ME MB BE λλλ=+=-.
设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,
那么1100
n ME n MA ⎧⋅=⎪
⎨
⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-, 平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122
cos ,2
n n =
, ()
2
22525λλ=
+-,解方程得12
λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --5
. 【点睛】此题主要考察了面面垂直的断定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进展求解即可.属于中档题.
21.动点G(x,y)2222(1)(1)4x y x y ++-+= 〔1〕求动点G 的轨迹C 的方程；
〔2〕过点Q(1,1)作直线L 与曲线C 交于不同的两点,A B ,且线段AB OAB ∆的面积；
【答案】〔1〕22143x y +=；
〔2105
【解析】
【分析】
〔1〕先由椭圆的定义得知轨迹C 为椭圆，并利用椭圆定义求出a ，从条件中得出c ，并求出b 值，结合椭圆焦点位置得出椭圆C 的HY 方程；
〔2〕由条件得知直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为()11y k x -=-，将直线L 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由Q 为AB 的中点求出k 的值，从而得出直线L 的方程，再利用弦长公式求出AB ，由点到直线的间隔 公式计算出原点O 到直线L 的间隔 ，再利用三角形的面积公式可求出
OAB ∆的面积．
【详解】〔1〕由动点(),G x y
4=可知，
动点G 的轨迹是以()1,0-和()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为22143
x y +=；
〔2〕由于直线L 与曲线C 相交所得线段AB 中点恰好为()1,1Q 可知， 直线L 的斜率一定存在，设直线L 的方程为()11y k x -=-，
联立22
143
1(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩
，消去y 可得2222
(43)(88)(488)0k x k k x k k +--+--=， 所以21222
122884348843k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩
， 又线段AB 中点的横坐标为1，∴2122882
43
k k
x x k -+==+，解得34k =-， 12122
121x x x x +=⎧⎪∴⎨=⎪⎩
， 直线L 的方程为3470x y +-=，
弦长AB =
=
L 的间隔 为75d =，
1725ABC S ∆∴=
=
．
【点睛】此题考察椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考察椭圆方程的求法，韦达定理的应用，以及弦长、三角形面积的计算，对于直线与圆锥曲线的综合问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，应用韦达定理进展求解，此类问题易错点是复杂式子的变形才能缺乏，导致错解，能较好地考察学生的逻辑思维才能、运算求解才能以及分析问题解决问题的才能等．
1，F 2分别为椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大间隔 等于4，离心率等于13
，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ； 〔1〕求椭圆的HY 方程
〔2〕求圆E 半径的最大值
【答案】〔1〕2
2198x y ；〔2〕max 89
r = 【解析】
【分析】 〔1〕根据椭圆上点与1F 的最大间隔 和离心率列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.〔2〕设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合根本不等式求得圆半径的最大值.
【详解】由条件知13314c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩
，所以2228b a c =-=. 故椭圆的HY 方程为22
198
x y +=； 〔2〕由条件l 不为x 轴，设1l x my =-：交椭圆于()()1122,,,M x y N x y ，设圆E 的半径为r ， 由22119
8x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()228916640m y my +--=， 1212221664,8989
m y y y y m m -+==++ 22221(2
F MN F MN F MN S C r C F MN ∆∆∆=⨯∆为的周长）
2121166
F MN r S y y ∴==- 即
r ==令21t m =+，〔1t ≥〕，
那么r ==当1,0t m ==即时，max 89r =
. 【点睛】本小题主要考察椭圆HY 方程的求法，考察直线和椭圆位置关系，考察三角形内切圆半径有关计算，考察换元法和根本不等式求最值，属于中档题.
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。