高中数学第三章3.2.2复数代数形式的乘除运算学案含解析新人教A版选修1

学习资料专题
3．2.2 复数代数形式的乘除运算
[提出问题]
问题1：两个实数可以相乘，两个复数可以相乘吗？
提示：可以．
问题2：复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？
提示：类似．
问题3：复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律吗？
提示：满足．
[导入新知]
1．复数的乘法
设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有：
[化解疑难]
对复数乘法的理解
(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同，即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．
[提出问题]
问题1：复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝a －b i(a ，b ∈R)有什么关系？ 提示：两复数实部相等，虚部互为相反数．
问题2：试求z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R)的积． 提示：z 1z 2＝a 2
＋b 2
，积为实数．
问题3：如何规定两复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0)相除？ 提示：通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b i
c ＋
d i
的形式，再把分子和分母都乘(c －d i)，化简后可得结果．
即a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)
(c ＋d i)(c －d i)
＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i
c 2＋
d 2
＝
ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad
c 2＋
d 2
i(c ＋d i ≠0)． [导入新知] 1．共轭复数的概念
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为z ，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．复数的除法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)， 则z 1z 2＝
a ＋
b i
c ＋
d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad
c 2＋
d 2
i(c ＋d i ≠0)．
[化解疑难]
对复数除法的理解
(1)复数的除法实质上就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同．
(2)复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后把结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R)的形式即可．
[例1] 计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i
. [解] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2
＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝
⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32＋12i (1＋i) ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－
32－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i) ＝－2＋3i 1＋2i
＝(－2＋3i)(1－2i)
(1＋2i)(1－2i)
＝(－2＋6)＋(3＋4)i
12＋2
2
＝45＋75
i. (4)法一：3＋2i 2－3i －3－2i
2＋3i
＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)
(2－3i)(2＋3i)
＝
6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i
13
＝2i.
法二：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i(2－3i)2－3i －－i(2＋3i)
2＋3i
＝i ＋i ＝2i. [类题通法]
复数乘除运算的常用技巧
(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
[活学活用]
(1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，求复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部．
(2)已知z 是纯虚数，z －21＋i
是实数，求z .
解：(1)由题意得z 1－z 2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i －9i)＝－2－i ，则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2
＝1－2i.于是复数(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2.
(2)设纯虚数z ＝b i(b ∈R)， 则z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i)
(1＋i)(1－i)
＝
(b －2)＋(b ＋2)i
2
.
由于z －21＋i
是实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2，所以z ＝－2i.
[例2] (1)(山东高考)若复数z ＝1－i
，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i
D ．－1－i
(2)(全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4i
z z －1＝( )
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
[解析] (1)∵z ＝2
1－i
＝
＋－
＋
＝
＋2
＝1＋i ，∴z ＝1－i.
(2)∵z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，∴z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i
z z －1＝4i
4＝i.故
选C.
[答案] (1)B (2)C [类题通法]
共轭复数的求解与应用
(1)若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求.
(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z 和的方程，而复数z 的代数形式未知，求z .解此类题的常规思路为：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
[活学活用]
已知复数z ＝1＋i ，复数z 的共轭复数＝1－i ，求实数a ，b 使az ＋2b ＝(a ＋2z )2
. 解：∵z ＝1＋i ，＝1－i ， ∴az ＋2b ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2
＝(a ＋2)2
－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2
＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数，
∴由az ＋2b ＝(a ＋2z )2
，得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＋2
b ＝a 2
＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2)，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－4，
b ＝2.
[例3] 已知z 1是虚数，z 2＝z 1＋z 1
是实数，且－1≤z 2≤1.
(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 1
1＋z 1，求证：ω为纯虚数．
[解] 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)．
(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b －b a 2＋b 2i.
因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2
＋b 2
＝1，即|z 1|＝1，所以z 2＝2a .
由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.
(2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2
－b 2
－2b i (1＋a )2＋b 2＝－
b
a ＋1
i. 因为a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数． [类题通法]
解决双复数问题的方法
解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，注意题目对a ，b 取值的限制，然后用a ，b 表示出另外的复数，进而转化求解．此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义．
[活学活用]
已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z
2＋i ，且|ω|＝52，求ω.
解：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R)，
由ω＝z
2＋i
，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ， ∴7x －y ＝0. ① 又∵|ω|＝52， ∴x 2
＋y 2
＝50. ② 由①②得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝7
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－1，y ＝－7.
∴ω＝1＋7i 或ω＝－1－7i.
5.误用判别式求解复数方程
[典例] 已知关于x 的方程x 2
＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，则实数k 的值为________．
[解析] 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x 2
0＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.
由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
0＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0.
解得⎩⎨
⎧
x 0＝2，
k ＝－22
或⎩⎨
⎧
x 0＝－2，k ＝22，
所以k 的值为－22或2 2. [答案] ±2 2 [易错防范]
1．求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k ＋2i)2
－4(2＋k i)≥0，解得k ≥23或k ≤－2 3.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．
2．复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
[成功破障]
在复数范围内方程x 2
－5|x |＋6＝0的解的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则原方程可化为(a ＋b i)2
－5a 2
＋b 2
＋6＝0，
即⎩⎨
⎧
a 2－
b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝±2，
b ＝0或⎩
⎪⎨
⎪⎧ a ＝±3，
b ＝0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝±1.
[随堂即时演练]
1．(全国卷Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
解析：选B ∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ， ∴4a ＋(a 2
－4)i ＝－4i.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
4a ＝0，
a 2
－4＝－4.
解得a ＝0.
2．(湖北高考)在复平面内，复数z ＝2i
1＋i
(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D z ＝2i 1＋i ＝2i(1－i)
(1＋i)(1－i)
＝1＋i 的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)，
在第四象限．
3．已知复数z 1＝(2－i)i ，复数z 2＝a ＋3i(a ∈R)，若复数z 2＝kz 1(k ∈R)，则a ＝________.
解析：依题意得z 1＝1＋2i ，由z 2＝kz 1得a ＋3i ＝k (1＋2i)，即有⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝k ，3＝2k ，
故a ＝3
2
.
答案：32
4．设z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1
z 2
为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：设z 1z 2
＝b i(b ∈R 且b ≠0)，所以z 1＝b i·z 2，
即a ＋2i ＝b i(3－4i)＝4b ＋3b i.所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝4
b ，
2＝3b ，
所以a ＝8
3.
答案：83
5．计算：
(1)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i (1＋i)；
(2)
2＋3i 3－2i
；
(3)(2－i)2
.
解：(1)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i (1＋i)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)
＝
3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12
i 2
＝－1＋3i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i
＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2＋32i
＝－1＋3i. (2)
2＋3i
3－2i ＝(2＋3i)(3＋2i)(3－2i)(3＋2i)
＝
(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)
2
＝6＋2i ＋3i －6
5 ＝5i
5
＝i. (3)(2－i)2
＝(2－i)(2－i) ＝4－4i ＋i 2＝3－4i.
[课时达标检测]
一、选择题
1．(全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2
D ．3
解析：选A 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，则a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.
2．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z
z －1
＝( )
A ．2i
B ．－2i
C ．2
D ．－2
解析：选B 法一：因为z ＝1－i ，
所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i
＝－2i.
法二：由已知得z －1＝－i ，
而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i
＝2
i
＝－2i. 3．若i 为虚数单位，如图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z
1＋i
的点是( )
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
解析：选D 由题图可得z ＝3＋i ，
所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝4－2i 2
＝2－i ，
则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．
4．(山东高考)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i
D ．－1－2i
解析：选B 法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则2z ＋z ＝2a ＋2b i ＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i.由复数相等的定义，得3a ＝3，b ＝－2，解得a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i.
法二 由已知条件2z ＋z ＝3－2i ①，得2z ＋z ＝3＋2i ②，解①②组成的关于z ，z 的方程组，得z ＝1－2i.故选B.
5．已知复数z ＝3＋i (1－3i)2
，是z 的共轭复数，则z ·等于( ) A.14 B.12 C ．1
D ．2
解析：选A ∵z ＝3＋i
(1－3i)2
＝－3i 2
＋i (1－3i)2＝i(1－3i)(1－3i)2
＝
i
1－3i ＝i(1＋3i)4
＝－
34＋i
4
， ∴z ＝－
34－i 4， ∴z ·z ＝1
4.
二、填空题
6．若z ＝－1－i 2
，则z 2 012＋z 102
＝________.
解析：z 2
＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1－i 22＝－i.
z 2 012＋z 102＝(－i)1 006＋(－i)51
＝(－i)
1 004
·(－i)2＋(－i)48·(－i)3
＝－1＋i.
答案：－1＋i
7．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i
，则x ＋y ＝________. 解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝x (1＋i)2＋y (1＋2i)5
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋2y 5i ， 而51－3i ＝5(1＋3i)10＝12＋32
i ， 所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32
， 解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.
答案：4
8．设z 2＝z 1－i 1(其中
1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为
________．
解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R)，
则z 2＝z 1－i 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝(a －b )－(a －b )i.
因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，
所以z 2的虚部为1.
答案：1
三、解答题
9．计算：(1)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i
； (2)1－3i (3＋i)
2. 解：(1)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i
＝i 2＋i ＝i(2－i)5＝15＋25i. (2)1－3i (3＋i)2＝(3＋i)(－i)(3＋i)
2 ＝－i 3＋i
＝(－i)(3－i)4 ＝－14－34
i.
10．已知z 1＝1－i ，z 2＝1－3i ，z 3＝1－2i ，且x z 1－5z 2＝y z 3
. (1)求实数x ，y 的值；
(2)求z 1·z 2.
解：(1)由已知x z 1－5z 2＝y z 3
， 得
x 1－i －51－3i ＝y 1－2i ， 即x －12＋x －32i ＝y 5＋2y 5i. ∵x ，y ∈R ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＝y 5，
x －32＝2y 5，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝－5. (2)由(1)知z 1＝1＋i ，z 2＝1＋3i ， 则z 1·z 2＝(1＋i)(1＋3i)＝1＋4i ＋3i 2
＝－2＋4i.。