小学数学竞赛七、数的整除特征（一）

⼩学数学竞赛七、数的整除特征（⼀）
七、数的整除特征（⼀）
⼩学数学课本中曾介绍过数的整除特征，即若⼀个⾃然数的个位数字是0、2、4、6、8时，那么这个数⼀定能被2整除；若⼀个⾃然数的个位数字是0、5时，这个数⼀定能被5整除；若⼀个⾃然数的各个数位上的数字和是3的倍数，这个数⼀定能被3整除.
由上⾯提到的整除特征我们知道，92和56都能被2整除，92与56的和、差（分别为148和36）也能被2整除.另外56=7×8，2能整除8，所以2也能整除56.还有2、3和4都能整除12，那么2和3的积6也能整除12，但是2和4的积8不能整除12.把上⾯这些具体的事例⼀般化，就可得到数的整除的⼏个重要的性质（严格来讲，下⾯的性质只有经过严密的数学逻辑证明才能予以承认）.
性质1 如果数a、b都能被数c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除.
性质2 如果数a能被数b整除，c是整数，那么积ac也能被b整除.
性质3 如果数a能被数b整除，b⼜能被数c整除，那么a也能被c整除.
性质4 如果数a能同时被数b、c整除，⽽且b、c互质，那么a⼀定能被积bc整除.
下⾯通过⼏个例⼦向同学们再介绍⼏个数的整除特征.
例1 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.
分析与解43217□的个位数字现在不知是⼏，先假设它为x，那么
43217
=4321×100，100=4×25，所以4和25都能整除100，根据整除的性质，432100能被4、25整除.如果43217x能被4（或25）
除，那么43217x也⼀定能被4（或25）整除.
因为72和76都是4的倍数，所以六位数43217和43217能被4整除.
因为75是25的倍数，所以43217能被25整除.
通过这个例题，我们得到⼀个数能被4（或25）整除的特征是：
如果⼀个⾃然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个⾃然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除.
例2 在□中填上合适的数字，使七位数4786□7□能被125（或8）整除. 分析与解设七位数的百位数字和个位数字分别为x、y，那么4786□
375，500，625，850，975这⼋种情况，只有375、975满⾜要求.
...，104，112，...，176，184，...，272，...，376，...，472，...，576，...，672，...，776， (872)
…，976，984，992这125种情况.只有072，176，272，376，472，576，672，776，872，976这⼗个数满⾜要求.
因为375、975是125的倍数，所以七位数47867和47867能被125整除.
因为072，176，272，376，472，576，672，776，872，976是8的倍数，所以
47867，47867，47867，4787，47867，47867，47867，47867，47867，47867能被8整除.
通过这个实例，我们得到⼀个数能被8（或125）整除的特征是：
如果⼀个⾃然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个⾃然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除.
例3 在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.
分析与解同例1、例2，先设五位数4□32□的千位上、个位上□内的数字分别为x、y，那么
4□32□=40000+x×1000+300+20+y
=4×（9999+1）+x×（999+1）+3×（99+1）+2×（9+1）+y
=4×9999+999x+3×99+2×9+4×x+3+2+y
=9×（1111×4+111x+11×3+2×1）+（4+x+3+2+y）
不论x是什么数字，9⼀定能整除9×（1111×4+111x+11×3+1×2）.
4+x+3+2+y能被9整除，这个和只能是9、18、27三种情况.当
4+x+3+2+y=9时，x=y=0；当4+x+3+2+y=18时，x+y=9，这时有x=0，1，2，3，…，9，对应的y=9，8，7，…，2，1，0；当4+x+3+2+y=27时，x+y=18，这时x=y=9.
因为9是9的倍数，所以432能被9整除.
因为18是9的倍数，所以432，432，432，432，
432，432，432，432，432，432能被9整除.
因为27是9的倍数，所以432能被9整除.
通过这个实例，我们得到⼀个数能被9整除的特征是：
如果⼀个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除.
例4 在□⾥填上适当的数字，使七位数□1992□□能同时被9、25、8整除.。