如皋市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

如皋市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ． {}
|3003x x x -<<<<或
C ．{}|33x x x <->或
D ． {}|303x x x <-<<或
2． 若曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，则a+b=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3． 已知f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0．现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0； ②f （0）f （1）＜0； ③f （0）f （3）＞0； ④f （0）f （3）＜0．
其中正确结论的序号是（ ） A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
4． 下列满足“∀x ∈R ，f （x ）+f （﹣x ）=0且f ′（x ）≤0”的函数是（ ） A ．f （x ）=﹣xe |x| B ．f （x ）=x+sinx
C ．f （x ）=
D ．f （x ）=x 2|x|
5． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ） A ．M ∪N
B ．M ∩N
C ．∁I M ∪∁I N
D ．∁I M ∩∁I N
6． 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．4
7． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．函数f（x）=有且只有一个零点时，a的取值范围是（）
A．a≤0 B．0＜a＜C．＜a＜1 D．a≤0或a＞1
9．已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）
A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．
10．抛物线y2=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为（）
A．1 B．C．D．
11．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任
意一点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
12．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，m∥α，则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则l∥m．
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．不等式的解集为R，则实数m的范围是
．
14．如图：直三棱柱ABC﹣A′B′C′的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA′和CC′上，AP=C′Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为．
15．命题p：∀x∈R，函数的否定为．
16．已知函数y=log（x2﹣ax+a）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是．
17．抛物线y=x2的焦点坐标为（）
A．（0，）B．（，0）C．（0，4） D．（0，2）
18．设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为．
三、解答题
19．已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
20．如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为的中点，为的中点，且
（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角．若存在，
求出的长,若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .
（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .
22．在平面直角坐标系xOy中，F1、F2分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，B为短轴的一
个端点，E是椭圆C上的一点，满足，且△EF
F2的周长为．
1
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M是线段OF2上的一点，过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P、Q两点，若△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，求点M到直线l距离的取值范围．
23．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名
55
95%的把握认为“歌迷”与性别有关？
“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌21
3.841 6.635
附：K2=．
24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；
（2）若四边形BCC
B1是正方形，且A1D=，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．
1
如皋市第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为()f x 为奇函数且()30f -=，所以()30f =，又因为()f x 在区间()0,+∞上为增函数且()30f =，所以当()0,3x ∈时，()0f x <，当()3,x ∈+∞时，()0f x >，再根据奇函数图象关于原点对称
可知：当()3,0x ∈-时，()0f x >，当(),3x ∈-∞-时，()0f x <，所以满足()0x f x ⋅<的x 的取值范围是：()3,0x ∈-或()0,3x ∈。

故选B 。

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。

2． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=acosx ，g （x ）=x 2
+bx+1，
∴f ′（x ）=﹣asinx ，g ′（x ）=2x+b ，
∵曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2
+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，
∴f （0）=a=g （0）=1，且f ′（0）=0=g ′（0）=b ， 即a=1，b=0． ∴a+b=1． 故选：A ．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．
3． 【答案】C
【解析】解：求导函数可得f ′（x ）=3x 2
﹣12x+9=3（x ﹣1）（x ﹣3）， ∵a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0． ∴a ＜1＜b ＜3＜c ，
设f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）（x ﹣c ）=x 3﹣（a+b+c ）x 2
+（ab+ac+bc ）x ﹣abc ， ∵f （x ）=x 3﹣6x 2
+9x ﹣abc ，
∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9， ∴b+c=6﹣a ，
∴bc=9﹣a （6﹣a ）＜，
∴a 2
﹣4a ＜0，
∴0＜a ＜4，
∴0＜a ＜1＜b ＜3＜c ，
∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0．
故选：C．
4．【答案】A
【解析】解：满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数，
A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，
且f′（x）=≤0恒成立，故在R上为减函数，
B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数，
C中函数f（x）=，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；
D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数，
故选：A．
5．【答案】D
【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，
∴M∪N={1，2，3，6，7，8}，
M∩N={3}；
∁I M∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}；
∁I M∩∁I N={2，7，8}，
故选：D．
6．【答案】B
【解析】解：设圆柱的高为h，则
V圆柱=π×12×h=h，V球==，
∴h=．
故选：B．
7．【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，
∵a2=b2+c2，∴c=，
∴椭圆的离心率为：e==．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
8．【答案】D
【解析】解：∵f（1）=lg1=0，
∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，
故﹣2x+a＞0或﹣2x+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立，
即a＞2x，或a＜2x在（﹣∞，0]上恒成立，
故a＞1或a≤0；
故选D．
【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．
所以，解得m=﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．
10．【答案】A
【解析】解：因为抛物线y2=8x，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0）
又双曲线．渐近线为y=
有点到直线距离公式可得：d==1．
故选A．
【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．
11．【答案】B
【解析】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，
设点P（x0，y0），
则有，解得，
因为，，
所以=x0（x0+2）+=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，
所以当时，取得最小值=，
故的取值范围是，
故选B．
【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
12．【答案】B
【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，
则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；
②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；
③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，
平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，
平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，
由AB、BC、BB1两两相交，得：
若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；
④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，
则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，
得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：不等式，
x2﹣8x+20＞0恒成立
可得知：mx2+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．
显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，
解得：m＜﹣或m＞
所以m＜﹣
故答案为：
14．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B﹣APQC的体积，底面面积是侧面ACC′A′的一半，B到侧面的距离是常数，求解即可．【解答】解：由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半，不妨把P移到A′，Q移到C，
所求四棱锥B﹣APQC的体积，转化为三棱锥A′﹣ABC体积，就是：
故答案为：
15．【答案】∃x0∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3．
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为∃x
∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，
故答案为：∃x
∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，
16．【答案】a≤4．
【解析】解：令t=x2﹣ax+a，则由函数f（x）=g（t）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，
可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，
故有，解得a≤4，
故实数a的取值范围是a≤4，
故答案为：a≤4
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．17．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．18．【答案】y2=4x或y2=16x．
【解析】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=
因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=，
所以sin∠OAF==
因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
因为|MF|=5，|AF|=，
所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案为：y2=4x或y2=16x．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin cos+cos2
=sin（+），
∴由2k≤+≤2kπ，k∈Z可解得：4kπ﹣≤x≤4kπ，k∈Z，
∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣，4kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=sin（+），
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，
∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=，又0＜B＜π，
∴B=．
∴可得0＜A＜，
∴＜+＜，
∴sin（+）＜1，
故函数f（A）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．
20．【答案】
【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直
【试题解析】（Ⅰ）是等边三角形，为的中点，
平面平面，是交线，平面
平面．
（Ⅱ）取的中点，底面是正方形，，两两垂直．
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
，，
设平面的法向量为，，
，，
平面的法向量即为平面的法向量．
由图形可知所求二面角为锐角，
(Ⅲ)设在线段上存在点，，
使线段与所在平面成角，
平面的法向量为，，
，解得，适合
在线段上存在点，当线段时，与所在平面成角．
21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ 与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD 中点F ，连结PF AF ,，可证明AF PQ //，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明⊥AC 平面SEQ ，即平面⊥SAC 平面SEQ . 试题解析：证明：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,. ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 2
1
=. ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，
∴CD AQ //，且CD AQ 2
1
=
，即AQ FP //且AQ FP =. ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //.
∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD .
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理.
22．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）由已知F1（﹣c，0），设B（0，b），即=（﹣c，0），=（0，b），
∴=（﹣c，），即E（﹣c，），
∴，得，①…
又△PF
F2的周长为2（），
1
∴2a+2c=2+2，②…
又①②得：c=1，a=，∴b=1，
∴所求椭圆C的方程为：=1．…
（2）设点M（m，0），（0＜m＜1），直线l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，
由，消去y，得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点为N（x0，y0），
则，∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，
∴，=，
即N（），…
∵△MPQ是以M为顶点的等腰三角形，∴MN⊥PQ，
即=﹣1，
∴m=∈（0，），…
设点M到直线l：kx﹣y﹣k=0距离为d，
则d2==＜=，
∴d∈（0，），
即点M到直线距离的取值范围是（0，）．…
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、点到直线的距离公式的合理运用．
23．【答案】
100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K2==≈3.030
因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…
（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i=1，2，3，b i表示女性，i=1，2．
Ω由10个等可能的基本事件组成．…
用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成．
∴P（A）= (12)
【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．
24．【答案】
【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，
∵D为AB的中点，
∴DO∥BC1，
∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD．
解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点，
四边形BCC
B1是正方形，且A1D=，
1
∴CD⊥AB，CD==，AD=1，
∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，
∵，∴，
∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，
∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．
以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），A（1，0，），D（，0，），A1（1，2，），
=（，﹣2，﹣），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），
设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ，
则sinθ===．
∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为．。