2007年高考数学试题分类汇总----导数 (2)

2007年高考分类汇总----导数
1．（北京理19 本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．
（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．
解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．
点C 的纵坐标y 满足方程22
221(0)4x y y r r
+=≥，
解得)y x r =<<
22
2()x r r x =+-，
其定义域为{}0x x r <<．
（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，
， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得1
2
x r =． 因为当02r x <<
时，()0f x '>；当2
r
x r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫
⎪⎝⎭
是
()f x 的
22
1
(22)22
S x r r x =+-
最大值．
因此，当1
2
x r =
时，S 22r =．
即梯形面积S 2
． 2．(北京文9)()f x '是31
()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是
3
．
3．（福建理、文11）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
4．（福建理22 本小题满分14分）已知函数()e x f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1
2
(1)(2)
()(e
2)()n
n F F F n n +*>+∈N ．
本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．
由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，
，
由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．
于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．
①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．
当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：
由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，
12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，
11(2)(1)e 2
()(1)e 2.
n n F F n F n F ++->+>
+
由
此得，
21[(1)(2)
()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+
故1
2
(1)(2)()(e
2)n n F F F n n +*>+∈N ，．
5．（福建文20 本小题满分12分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；
（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．
本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）
23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，
∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，
即3()1h t t t =-+-．
（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，
由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：
()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．
()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，
即等价于10m -<，
所以m 的取值范围为1m >．
6．(广东理、文20 本小题满分14分) 已知a 是实数，函数
2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有
零点，求a 的取值范围．
解: 若0a = , ()23f x x =- ,
显然在上没有零点, 所以 0a ≠ 令 ()248
382440a a a a ∆=++=++= 得 32
a -±=
当 32
a --=
时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; 当 ()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时, ()y f x =也恰
有一个零点在[]1,1-上;
当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则
()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()20824401
11
21010a a a a f f <⎧
⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪
⎪
-≤⎩
解得5a ≥
或a <
因此a 的取值范围是 1a > 或
a ≤
;
7．（广东文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
8．（海南理10）曲线12
e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．29
e 2
Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e
9．（海南理21 本小题满分12分）设函数2()ln()f x x a x =++
（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2
． 解：（Ⅰ）1
()2f x x x a
'=
++， 依题意有(1)0f '-=，故32
a =
． 从而2231(21)(1)
()3322
x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭，
∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1
12x -<<-时，()0f x '<；
当1
2
x >-时，()0f x '>．
从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，单调减
少．
（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221
()x ax f x x a
++'=
+． 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-．
（ⅰ）若0∆<，即a <<，在()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．
（ⅱ）若0∆=，则a -a =
若a =()x ∈+∞，2
()
f x '=
当2x =-时，()0f x '=，当2
22x ⎛⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．
若a =)x ∈+∞，2
()0
f x '=>，()f x 也无极值．
（ⅲ）若0∆>，即a >或a <，则22210x ax ++=有两个不同的实根
1x =，2x =．
当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．
当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．
综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+∞． ()f x 的极值之和为
2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22
e
f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．
10．（海南文）曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．29
4
e
Ｂ．2
2e
Ｃ．2
e
Ｄ．2
2
e
10．（海南文19 本小题满分12分）设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．
解：()f x 的定义域为32⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，∞． （Ⅰ）224622(21)(1)()2232323
x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当1
2x >-时，()0f x '>．
从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
，12
⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，的最小值为
11ln 224f ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
．
又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫--
=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭0<．
所以()f x 在区间3144⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，的最大值为
11
7ln 416
2f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．
11．（湖北理20 本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数
2
1()22
f x x ax =
+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．
()2f x x a '=+∵，2
3()a g x x
'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22
0002
00123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，，由200
32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215
23ln 3ln 22
b a a a a a a a =+-=-．
令225
()3ln (0)2
h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是
当(13ln )0t t ->，即13
0t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即1
3
t e >时，()0h t '<．
故()h t 在130e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，为增函数，在1
3e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，
∞的最大值为12
3
332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设2
21()()()23ln (0)2
F x f x g x x ax a x b x =-=
+-->，
则()F x '23()(3)
2(0)a x a x a x a x x x
-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，
于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．
12．（湖北文13）已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是
1
22
y x =
+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿． 13．（湖北文19 本小题满分12分）
设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与
1
16
的大小．并说明理由． 本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．
解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，
则由题意可得01012
(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<
<⎪⎨⎪>⎪
>⎪⎩，
，，
，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪
<->+⎩，，
03a ⇔<<- 故所求实数a
的取值范围是(03-，
． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，令2()2h a a =．
当0a >时，()h a 单调增加，∴
当03a <<-时
，
20()(32(32(17h a h <<-=-=-
12
16
17122=<+，即1
(0)(1)(0)16f f f -<．
解法2：（I ）同解法1． （II ）
2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a
-==，由（I ）知03
a <<-
，
1170-
<<∴．又10+>
，于是
22111
2(321)1)0161616a a -
=-=-+<， 即212016a -
<，故1
(0)(1)(0)16
f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得
121x x a +=-，12x x a =，于是12121212
1200010(1)(1)0(1)(1)0
x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪
<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->
⎩，
，，，
0133a a a a ⎧>⎪
⇔<⎨⎪
<-
>+⎩，
，
03a ⇔<<
- 故所求实数a 的取值范围是(03-，
． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得
12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--
22
11221112216
x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫
<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<．
14．（湖南理13）函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ． 15．（湖南理19 本小题满分12分）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<<），且2
sin 5
θ=
，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为
2
a
万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，3(km)OA =． （I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；
（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．
（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．
解：（I ）如图，PH α⊥，HB α⊂，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是
Ｏ
A
E
D
B
H
P
设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则
PD ==[12]∈，
． 记总造价为1()f x 万元， 据题设有2211111
()(1)(224
f x PD AD AO a x x a =++
+=-++ 2
143416x a a ⎛⎫⎛=-++ ⎪ ⎝⎭⎝
当14x =
，即1
(km)4
BD =时，总造价1()f x 最小． （II ）设(km)AE y =，5
04
y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有
22131()1224f y PD y a ⎡⎤
⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦43216y a a ⎫=+⎪⎭．
则()21
2f y a ⎛⎫'⎪=-⎪⎭
，由2()0f y '=，得1y =．
当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数； 当514y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫
⎪⎝⎭
，内是增函数．
故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为67
16
a 万元． （III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．
事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，
B
12302x y +≤≤
，总造价为S 万元，则211111224x y S x a ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭．类似于
（I ）、（II ）讨论知，2111216x x -
-≥1322y ≥，当且仅当11
4
x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1
(km)4
BD '=，1(km)AE =，
S 取得最小值
67
16
a ，点D E ''，分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得
211111224x y S x a ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
))
2
1111143
3
4416
x a y y a a ⎛
⎫⎡⎤=-++
+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭
143
416a a ⨯+≥ 67
16
a =．
当且仅当114x =且11)y y ，即11114
x y ==，同时成立时，S 取得最小值
67
16
a ，以上同解法一． 16．（湖南文21 本小题满分13分）已知函数3211
()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，
(13]，内各有一个极值点．
（I ）求24a b -的最大值；
（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．
解：（I ）因为函数3211
()32
f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极
值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，
设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=，且2104x x <-≤．于是
04<，20416a b <-≤，且当11x =-，
23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．
（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是
(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21
(1)32
y a b x a =++--，
因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，
所以21
()()[(1)]32
g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则
1x =不是()g x 的极值点．
而()g x 321121
(1)3232
x ax bx a b x a =++-++++，且
22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．
若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．
所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321
()3
f x x x x =--．
解法二：同解法一得21
()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--
2133
(1)[(1)(2)]322
a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．
当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．
设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛
⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，则
当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102
a
h =⨯++
=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321
()3
f x x x x =--．
17．（江苏9）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为 A ．3 B ．
52 C ．2 D ．32
18．（江苏13）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= ▲ .
19．（江西理9）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为 A ．3 B ．
52 C ．2 D ．32
20．（江西理13）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= ▲ .
21．（江西文8）若π
02
x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2
sin π
x x <
Ｂ．2sin π
x x >
Ｃ．3sin π
x x <
Ｄ．3sin π
x x >
22．（辽宁理12）已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值
23．（辽宁理22 本小题满分12分）已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，
1
()()2
g x f x =
．
（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；
（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；
（III ）证明：3
()2f x ≥．
24．（辽宁文
22 本小题满分
12
分）已知函数
322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均有
(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤．
（I ）求函数()f x 的解析式；
（II ）若对任意的[266]m ∈-，，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围． 25.（全国一理20 本小题满分12分） 设函数()e e x x f x -=-．
（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；
（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．
由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则
()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，
（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥， 故()g x 在(0)+，∞上为增函数，
所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2
a x +=，
此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （11）（全国一文）曲线313y x x =
+在点413⎛⎫
⎪⎝⎭
，处的切线与坐标轴围成的三角形面
积为（ ）
Ａ．19
Ｂ．
29 Ｃ．13
Ｄ．
23
26.（全国一文20本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及
2x =时取得极值．
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，． 解得3a =-，4b =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<；
当(23)x ∈，
时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，
所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >，
因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．
27．（全国二理22 本小题满分12分）已知函数3()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：
()a b f a -<<．
解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：
()()()y f t f t x t '-=-，
即 23(31)2y t x t =--．
（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使
23(31)2b t a t =--．
于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程
32230t at a b -++=
有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++， 则 2()66g t t at '=-
6()t t a =-．
当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：
由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；
当0a b +=时，解方程()0g t =得302
a
t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；
当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2
a
t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个
相异的实数根．
综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实
数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩
，
即 ()a b f a -<<．
28．（全国二文8）已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为
（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
29．（全国二文22本小题满分12分）
已知函数321
()(2)13
f x ax bx b x =-+-+
在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；
（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

解：求函数()f x 的导数2()22f x ax bx b '=-+-．
（Ⅰ）由函数()f x 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，知12x x ，是
()0f x '=的两个根．
所以12()()()f x a x x x x '=--
当1x x <时，()f x 为增函数，()0f x '>，由10x x -<，20x x -<得0a >．
（Ⅱ）在题设下，12012x x <<<<等价于(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即202204420b a b b a b b ->⎧⎪
-+-<⎨⎪-+->⎩．
化简得20
3204520b a b a b ->⎧⎪
-+<⎨⎪-+>⎩
．
此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线：
203204520b a b a b -=-+=-+=，，．
所围成的ABC △的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77A B C ⎛⎫
⎪⎝⎭，，，，
，． z 在这三点的值依次为
16
687
，，． 所以z 的取值范围为1687⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
b 2 1
4677A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， (42)C ，
(22)B ，
30.（山东理（22） 本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当1
2
b >
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111
ln 1n n n
⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．
31．（山东文21 本小题满分12分）设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．
证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有
一个极值点，并求出极值．
32.(陕西理20 本小题满分12分)设函数f (x )=,2
2
a
ax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，20x ax a ∴++≠恒成立，240a a ∴∆=-<，
04a ∴<<，即当04a <<时()f x 的定义域为R ．
（Ⅱ）22
(2)e ()()
x x x a f x x ax a +-'=++，令()0f x '≤，得(2)0x x a +-≤． 由()0f x '=，得0x =或2x a =-，又04a <<，
02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；
当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<，
即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，； 当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，． 33. (陕西文21 本小题满分12分)
已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减
函数,又.23)21(='f
(Ⅰ)求)(x f 的解析式;
(Ⅱ)若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()32f x ax bx c '=++，由已知(0)(1)0f f ''==，
即0320c a b c =⎧⎨++=⎩，，解得032
c b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，
．
2()33f x ax ax '∴=-，1333
24
22a a f ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，2a ∴=-，32()23f x x x ∴=-+．
（Ⅱ）令()f x x ≤，即32230x x x -+-≤，
(21)(1)0x x x ∴--≥，1
02
x ∴≤≤或1x ≥．
又()f x x ≤在区间[]0m ，上恒成立，1
02
m ∴<≤．
34.(四川理22 本小题满分14分)
设函数),1,(11)(N x n N n n x f n
∈∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+= 且.
(Ⅰ)当x =6时,求n n ⎪⎭
⎫
⎝⎛+11的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x ,证明
2
)
2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''
(Ⅲ)是否存在N a ∈,使得an ＜∑-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+n
k k 111＜n a )1(+恒成立?若存在,试证明你的
结论并求出a 的值;若不存在,请说明理由.
本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。

考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。

（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是3
35631201C n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（Ⅱ）证法一：因()()22
112211n f x f n n ⎛⎫⎛⎫
+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≥11211n
n n ⎛⎫
⎛⎫=+⋅+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭121n
n ⎛⎫
>+ ⎪⎝⎭
1121ln 12n
n ⎛⎫⎛⎫>++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'1121ln 12n
f x n n ⎛⎫⎛⎫
≥++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
证
法
二
：
因
()()22
112211n
f x f n n ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭≥11211n
n n ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
而()'
11221ln 1n
f x n n ⎛⎫⎛⎫
=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故只需对11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和1ln 1n ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
进行比较。

令()()ln 1g x x x x =-≥，有()'11
1x g x x x
-=-=
由
1
0x x
-=，得1x = 因为当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()'0g x >，()
g x
单调递增，所以在1x =处()g x 有极小值1 故当1x >时，()()11g x g >=，
从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+>
故有111ln 1n n ⎛⎫⎛⎫
+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
恒成立。

所以()()()'222f x f f x +≥，原不等式成立。

（Ⅲ）对m N ∈，且1m >
有2
012111111m k
m
k m m m m m m C C C C C m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()()
()()2
111121111112!!
!
k m
m m m m m k m m m k m m m ---+-⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++
+
+
+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+
-++
---+
+
-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
11
1122!3!
!!
k m <++++
++
()
()
111
1
22132
11k k m m <+
+++
+
+
⨯⨯--
1111
11
12122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+
+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1
33m
=-
< 又因()102,3,4,,k
k m C k m m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭
，故1213m
m ⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭
∵1213m
m ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，从而有11213k
n
k n n k =⎛⎫
<+< ⎪⎝
⎭∑成立，
即存在2a =，使得11213k
n
k n n k =⎛⎫
<+< ⎪⎝
⎭∑恒成立。

35、（四川文20 本小题满分12分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为
12-．
（Ⅰ）求a ，b ，c 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．
解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力． （Ⅰ）∵()f x 为奇函数，
∴()()f x f x -=-
即33ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c =
∵2'()3f x ax b =+的最小值为12- ∴12b =-
又直线670x y --=的斜率为1
6
因此，'(1)36f a b =+=- ∴2a =，12b =-，0c =．
（Ⅱ）3()212f x x x =-．
2'()6126(f x x x x =-=+-，列表如下：
所以函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞
∵(1)10f -=，f =-(3)18f =
∴()f x 在[1,3]-上的最大值是(3)18f =，最小值是f =-
36．（天津理20 本小题满分12分）已知函数2221
()()1
ax a f x x x -+=
∈+R ，其中a ∈R ．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．
本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =
+，4
(2)5
f =，
又222222
2(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6
(2)25
f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46
(2)525
y x -
=--，
即62320x y +-=．
（Ⅱ）解：222222
2(1)2(21)2()(1)
()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．
由于0a ≠，以下分两种情况讨论． （1）当0a >时，令()0f x '=，得到11
x a
=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：
所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，内为增函数． 函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
， 函数()f x 在21
x a
=
处取得极大值()f a ，且()1f a =． （2）当0a <时，令()0f x '=，得到121
x a x a
==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：
所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．
函数()f x 在21x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，且
21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
． 37.（天津文21 本小题满分14分）设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；
（Ⅲ）当3a >时，证明存在[]10k ∈-，，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．
本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
（Ⅰ）解：当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且
2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．
所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得
580x y +-=．
（Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-
22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．
令()0f x '=，解得3
a
x =
或x a =．
由于0a ≠，以下分两种情况讨论．
（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：
因此，函数()f x 在3
a
x =
处取得极小值3a f ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且 34327a f a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
；
函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且
()0f a =．
（2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：
因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且
()0f a =；
函数()f x 在3
a
x =
处取得极大值3a f ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且 34327a f a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．
（Ⅲ）证明：由3a >，得
13
a
>，当[]10k ∈-，时，
cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤．
由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤ 即
22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①
设2
211()cos cos cos 24g x x x x ⎛
⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．
所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的
x ∈R 恒成立．
38.（浙江理8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
39.（浙江理22本题15分）设3()3x f x =，对任意实数t ，记2
32
()3
t g x t x t =-．
（I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间；
（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；
A ．
B ．
C ．
D ．
（ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．
（I ）解：316
433
x y x =-+．
由240y x '=-=，得
2x =±．
因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0， 当(22)x ∈-，时，0y '<， 当(2)x ∈+∞，时，0y '>，
故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，， 单调递减区间是(22)-，． （II ）证明：（i ）方法一：
令2332
()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则
2
2
3
()h x x t '=-，
当0t >时，由()0h x '=，得13
x t =，
当13
()x x ∈+∞，
时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞，
内的最小值是1
3
()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立．
方法二：
对任意固定的0x >，令23
2
()()(0)3
t h t g x t x t t ==->，则
1
1
3
32()()3
h t t x t -'=-，
由()0h t '=，得3t x =． 当30t x <<时，()0h t '>． 当3t x >时，()0h t '<，
所以当3t x =时，()h t 取得最大值331
()3h x x =．
因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立． （ii ）方法一：
8
(2)(2)3
t f g =
=． 由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立．
即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立． 下面证明0x 的唯一性： 当02x ≠，00x >，8t =时，
300()3x f x =，0016
()43
x g x x =-，
由（i ）得，30016433
x x >-，
再取3
0t x =，得30
3
00()3
x x g x =，
所以30
3
000016()4()33
x x x g x x g x =-<
=， 即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立． 故有且仅有一个正实数02x =，
使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意00x >，0016
()43
x g x x =-
， 因为0()t g x 关于t 的最大值是301
3x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的
充分必要条件是：
3
00161433
x x -
≥， 即200(2)(4)0x x -+≤，
①
又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =， 所以有且仅有一个正实数02x =， 使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．
40．（浙江文15）曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 ． 41.(重庆理20 本小题满分13分)已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值--3--c ，其中a,b,c 为常数。

（1）试确定a,b 的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

42.（重庆文20 本小题满分12分）
用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-=
230(m)35.44
1218＜＜x x x
h .
故长方体的体积为
).2
30()
(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=
从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='
令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1.
当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜3
2时，V ′（x ）＜0，
故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。

从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3。