2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题及解答

2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.命题“若，则”的逆命题为
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】解：根据逆命题的定义可知逆命题为“若，则”
故选：C．
根据逆命题的定义写出它的逆命题即可．
本题考查了逆命题的定义与应用问题，是基础题．
2.在等差数列中，，，则
A. 8
B. 9
C. 11
D. 12
【答案】B
【解析】解：在等差数列中，由，得，
又，．
故选：B．
由已知结合等差数列的性质即可求解的值．
本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．
3.在中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若，，，则
A. B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】解：，，，
，
由余弦定理可得：
．
故选：C．
由已知利用三角形内角和定理可求B的值，根据余弦定理可得b的值．
本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4.已知双曲线的实轴的长度比虚轴的长度大2，焦距为10，
则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：依题意可得，得，所以双曲线的方程为．
故选：B．
依题意可得，得，即可．
本题考查了双曲线的方程，属于基础题．
5.在三棱柱中，若，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图，
；
，；
．
故选：D．
可画出三棱柱，结合图形即可求出，这样根据向量加法的平行
四边形法则即可求出．
考查相等向量、相反向量的概念，向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，数形结合的解题方法．
6.设，，若“”是“”的充分不必要条件，则
的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设，，
由题意可得，．
的取值范围为．
故选：C．
设，，根据“”的充分不必要条件即可得出．
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.设直线l的方向向量为，平面的法向量为，，则使成立的是
A. ，1，
B. ，1，
C. 1，，
D. ，1，
【答案】B
【解析】解：直线l的方向向量为，平面的法向量为，，使
成立，
，
在A中，，故A错误；
在B中，，故B成立；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D错误．
故选：B．
由直线l的方向向量为，平面的法向量为，，使成立，得到，由此能求出结果．
本题考查线面平行的判断与求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
8.设x，y满足约束条件，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：作出x，y满足约束条件
对应的平面区域如图：
由得，
平移直线，由图象可知当直线
经过点A时，
直线的截距最小，此时z最小，
由，解得，
此时，
故选：C．
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
9.已知点F是抛物线的焦点，点、分别是抛物线上位
于第四象限的点，若，则的面积为
A. 42
B. 30
C. 18
D. 14
【答案】A
【解析】解：，，
则抛物线的方程为，
把代入方程，得舍去，即．
，则AB：，即．
设直线AB与x轴交于C点，已知，
．
故选：A．
由已知求得p，得到抛物线方程，进一步求得B、A的坐标，得到AB方程，求出AB 与x轴交点C，再由面积公式求解．
本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
10.已知在长方体中，，，，E是侧棱的中
点，则直线AE与平面所成角的正弦值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：在长方体中，
，，，E是侧棱的
中点，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为
z轴，建立空间直角坐标系，
0，，1，，0，，
0，，
，0，，
1，，
设平面的法向量为y，，
则，取，得
，
设直线AE与平面所成角为，
则．
直线AE与平面所成角的正弦值为．
故选：B．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面所成角的正弦值．
本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为
左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：可令，由，可得，
由题意可设，，
可得BP的方程为：，
时，，，，
则AE的方程为：，
则，
M是线段QF的中点，
可得，
即，即，
可得．
故选：C．
利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
12.设是数列的前n项和，若，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：当时，，即．
当时，，则，即，，
从而，即，则．
．
故选：A．
利用数列的递推关系式，求出数列的首项以及
，求解数列的通项公式，然后求解．
本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设命题p：，，则￢为______ ．
【答案】，
【解析】解：命题p：，，￢为，，
故答案为：，
根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．
本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．
14.已知，则的最小值为______．
【答案】1
【解析】解：，
，
，当且仅当，即时取等号，
故答案为：1
根据基本不等式即可求出最小值．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，
则______．
【答案】
【解析】解：，
由余弦定理可得：，整理可得：，
，
，
，
解得：，，
，可得：，
．
故答案为：．
由已知利用余弦定理可求，又，可求b，c的值，根据余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交C
的右支于A、B两点，，，则C的离心率为______．
【答案】
【解析】解：可设，，
由可得，
由双曲线的定义可得，
，
由双曲线的定义可得，
在直角三角形中，可得，
即，
在直角三角形中，可得，
即为，即，
可得．
故答案为：．
可设，，由可得，运用双曲线的定义和勾股定理求得，再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知：表示焦点在x轴上的双曲线，q：方程
表示一个圆．
若p是真命题，求m的取值范围；
若是真命题，求m的取值范围．
【答案】解：若：表示焦点在x轴上的双曲线为真命题，
则，得，得，
由得，
若方程表示圆，则得，即q：，
若是真命题，则p，q都是真命题，
则，得，
即实数m的取值范围是．
【解析】结合双曲线的定义进行求解即可
根据复合命题真假关系，得到p，q都是真命题进行求解即可．
本题主要考查命题真假的应用，以及复合命题真假关系，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．
18.已知数列满足，．
证明：数列是等比数列；
设，求数列的前n项和．
【答案】解：证明：数列满足，，
可得，
即有数列是首项为2，公比为3的等比数列；
由可得，
即有，
数列的前n项和．
【解析】对数列的递推式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；
由对数的运算性质可得
，再由裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
Ⅰ求A；
Ⅱ若，，求的面积．
【答案】解：Ⅰ【方法一】由已知得，
，
；
又，
，
，
由，得；------分
【方法二】由已知得，
化简得，
，
由，得；------分
Ⅱ由，，
得，
在中，，
由正弦定理，得，
------分
【解析】Ⅰ【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理，结合题意求得的值，从而求出角A的值；【方法二】利用余弦定理结合题意求得，从而求得A的值；Ⅱ同解法一Ⅱ由同角的三角函数关系求得，再利用三角恒等变换求得，
利用正弦定理求得b，计算的面积．
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．
20.如图，在直三棱柱中，，
，，，点M在线段上，且
．
求CM的长；
求二面角的大小．
【答案】解：
为直三棱柱，
平面平面，，平面，，
，，又，
；设
，连接BD，，即为二面角的平面角，在中求得，
为等腰直角三角形，
故．
【解析】连接，利用三垂线逆定理可得，而后通过相似三角形或解三
角形不难求得CM；
连接BD，由三垂线定理可知，即为所求角，求解不难．
此题考查了三垂线定理，解三角形，二面角的求法等，难度适中．
21.已知动圆C过定点，且与直线相切，圆心C的轨迹为E，
求E的轨迹方程；
若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标，求．
【答案】解：由题设知，点C到点F的距离等于它到直线的距离，
所以点C的轨迹是以F为焦点为基准线的抛物线，
所以所求E的轨迹方程为．
由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，，，则有，两式作差得即得，
因为线段PQ的中点的坐标为，所以，
则直线l的方程为，即，
与联立得，
得，
．
【解析】利用动圆C过定点，且与直线：相切，所以点C的轨迹是以F为焦点为基准线的抛物线，即可求动点C的轨迹方程；
先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求．
本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题22.已知椭圆C：的离心率为，长半轴长为短轴长的b倍，A，
B分别为椭圆C的上、下顶点，点．
求椭圆C的方程；
若直线MA，MB与椭圆C的另一交点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．【答案】解：由题意知，解得，
所以椭圆C的方程为．
证明：易知，，
则直线MA的方程为，直线MB的方程为．
联立，得，
于是，，
同理可得，，
所以直线PN的斜率，直线QN的斜率，
因为，
所以直线PQ过定点
【解析】由题意知，解出即可得出．
点易知，，则直线MA的方程为，直线MB的方程为
分别与椭圆联立方程组，解得，，可得，，Q坐标可得直线PN，QN的斜率程，即可证明．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。