线性代数课后习题提示

线性代数课后习题提示
线性代数习题提示
在本习题提示中，我们将参考三本书：1. 线性代数，居余马等，简称《教材》
2. 线性代数学习指南，居余马等，简称《指南》
3. 线性代数学习指导及习题解答，中国海洋大学数学科学学院线性代数课题组，简称《习题册》
第一章课后习题提示
习题
1. 对角线法展开，或按定义沿第一行展开
2. 对角线法展开，或按定义沿第一行展开，此行列式需记牢！
3. 对角线法展开，或按定义沿第一行展开
4. 沙路法展开，或按定义沿第一行展开
5. 沙路法展开，或按定义沿第一行展开
6. 沙路法展开，或按定义沿第一行展开
7. 参见《指南》第21页
8. 沙路法展开，或按定义沿第一行展开
以下习题提示中i r 为对第i 行变换，j c 为对第j 行变换 9. 此为副下三角行列式，利用《教材》第6页公式()()12
11n n n n D a a -=-L
10. 沿最后一行展开，并利用公式()
()12
11n n n n D a a -=-L 得
()
()()9911010
2
0010201011019!10!900
D -+=?-=?-=L
L M N M M
11. 利用《教材》性质5，与上三角行列式公式
213141
11111
11111
110200,,8
111100201
1
1
1
2r r r r r r -----=-----
12. 注意到每一行元素之和都为10，因此将各列加到第一列并提出公因子得
12342131413242123412341234123423411341011
3
011310,,102,10160
341214120
2
22004
44123
1123
0111
00
4r r r r r r r r r r r r r r --+++?
---?
-+?
=-------
13. 考虑到行列式最后一列有零，利用性质5把最后一列前3个元素打成零得
()
44
23
1424
2350423220322322
1121
0210322,110212001117
4120412045
4
1
2
452
1
1
11
1
1
11
r r r r c c ++------=?--+=?-=-
14. 参见《指南》第22页
15. 行列式中有很多零，利用《教材》第19页例9，利用公式0*
A D A B
B =
=
得
121332
345
1D -=
=
16. 行列式中有很多零，将第三，五行互换可以得到第20页 (1.21) 的形式，利用公式
*0
A D A B
B =
=
求解
17. 行列式中有很多零，是第20页 (1.22) 的形式，利用公式
()
01*k m
A D A B
B
=
=-
得
()
32
112
12130260
31
2
4
D ?-=-=-
18.
()
()
()()()()()55135
2
000110000020
*1112013!1153!5!
0030001230
40005
k m
A A
B B
-??--=-=-=----=---L
19. 利用《教材》性质3中的求和性质，把行列式展开成2 2个行列式之和，并结合性质4和6得
()1
1111111111
1
1
1122
222
2222222
22223
33
3
3
3
333
33
3
3
3
3
1a a x c a b c b x a x c b x
b c a b c D a a x c a b c b x a x c b x b c x a b c a a x
c a b c b x
a x
c b x b c a b c =+++=-
20. 此题跟例7非常类似，若0x =
2211111111111111110111111111
1
1
111
1
1x x x y y y
y
y
+-=
==++--
若0x ≠，利用例7的方法
22213141
1213141111111111111110
000,,,,111100000
1
1
1
10
00
0x x x x x y y x x x x x
x r r r r r r c c c c c c x y y x y y y y
y
x
y
y
+
-++--------+?-?=+----- 21. 本题不是范德蒙行列式，为此将其加上一行一列补成如下的范德蒙行列式
()()()()()()22223
33
3
1111a b c d d a d b d c c a c b b a a b c d a b c d =------
同时将上面的行列式沿第三行展开得
22222
2
2
2
3
3
3
3
3
3
333
33
3
3333
1111111111111111a b c d a b
c d b a c d c a b
d d a
b
c a
b
c
d
b c d a c d a b d a b c a b c d =-+- 因此本题中行列式为上述展式中2d 的系数乘-1，为()()()()a b c b a c a c b ++---
22. 本题也不是范德蒙行列式，先行列互换一下，然后与上题一样
将其加上一行
一列补成如下的范德蒙行列式
()()()()()()2
2
2
2
3
333
1111a b c d d a d b d c c a c b b a a
b
c
d
a b c d =------
同时将上面的行列式沿第二行展开得
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
333
33
3
3333
1111111111111111a b c d a b
c d b a c d c a b
d d a
b
c a
b
c
d
b c d a c d a b d a b c a b c d =-+-+ 因此本题中行列式为上述展式中d 的系数，为()()()()ab bc ca b a c a c b ++---，又因为范德蒙行列式为
()()()222
2
2
2
1111
11a a b b a
b c b a c a c b c
c a b c ==---
命题得证
23. 参见《指南》第23页 24. 参见《指南》第23页 25. 参见《指南》第24页
26. 因为第四行为第二，三行之和的一半，因此
42
311
1
111011
2200001
222a b c a b
c b
c
a
b c a r r r c a b c a b b c c a a b
--=+++
27. 行列式中有很多零，考虑利用《教材》第19页例9的公式，想化为该形式需要进行一些行列互换，然后利用公式
0*
A D A B
B =
=
得
()()
111
11144442222113423
3423
1414232322223
3
334
43
3
3
3
4
4
000000000000,,0000000
a b a b a b b a b a a b a b a b r r r r c c c c a a b b a a b b a b
a b b a b a b a b a b a b a ==--
28. 参见《习题册》第19页 29. 参见《习题册》第19页 30. 参见《习题册》第19页
31. 利用Gramer 法则12341234,,,D D D D
x x x x D D D D
====，将5个4阶行列式化为
上三角行列式求解
32. 利用Gramer 法则，系数行列式为
12345213141510111111111111111011110111010004,,,441 1011110110
010011101111010001011110
11110
1
D r r r r r r r r r r r r r -=++++?----?=--- 12131415112131415111111
1111111111201111100001000,,,,2,3,41131011201000
010041101300100001051110
4
1
1
D r r r r r r r r c c c c c c c c --=----++++=------ 因此1111
4
D x D =
=，同理可求得234,,x x x 33. 参见《习题册》第19页 34. 参见《习题册》第20页
35. 将四个值代入函数中得如下方程
()()()23012323012323
0123230123
11101114
222333316a a a a a a a a a a a a a a a a ?+-+-+-=?
+?+?+?=??+?+?+?=??+?+?+?=? 求解0123,,,a a a a 即可，特别的注意系数行列式为范德蒙
()
()
()()()()()()()()()2
3
3
23
1111111111213121313248122
2
1
3
33---=---------=
36. 参见《习题册》第20页
37. 参见《习题册》第23页，或《指南》第24页38. 参见《习题册》第23页 39. 参见《习题册》第24页 40. 参见《指南》第25页
41. 参见《习题册》第24页，或《指南》第26页42. 参见《习题册》第24页
43. 参见《习题册》第25页，或《指南》第27页44. 参见《习题册》第26页，或《指南》第28页 45. 参见《习题册》第26页，或《指南》第31页 46. 参见《习题册》第26页 47. 参见《习题册》第27页
48. 平面的一般方程为ax by cz d ++=，分两种情况讨论： (1) 若0d =，方程为0ax by cz ++=，将三点坐标代入得
023030a b c a b c a b c ++=??
+-=??--=?
因为系数行列式
111
2
3
10311
D =-≠--
由Gramer 法则得0a b c ===，不符合题意 (2) 若0d ≠，考虑方程
'''1a b c
b y
c z x y z
d d d
++=++=
将三点坐标代入并由Gramer 法则求解即可
49. 参见《习题册》第27页，或《指南》第32页
50.参见《习题册》第28页，或《指南》第35页。