江苏省泰州市2017届高三数学考前模拟试卷及答案

2016～2017高三模拟考试
数学试题
(考试时间：120分钟 总分：160分)
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合2
{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B = ▲ ．
2．函数()sin(4)6
f x x π
=+
的最小正周期为 ▲ ．
3．复数(i)(12i)a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = ▲ ． 4．某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值 为 ▲ ．
5．从1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是偶数的概率
为 ▲ ．
6．若双曲线
22
22
1x y a b -=的离心率2=e ，则该双曲线的渐近线方程为
▲ ．
7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，2
53S a =，则
10a = ▲ ．
8．将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为 ▲ ．
9．若正实数,x y 满足2
210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．
10．如图，在由5个边长为1，一个顶角为60的菱形组成的图形中， AB CD ⋅= ▲ ．
11．已知点,F A 是椭圆:
C 22
11612
x y +=的左焦点和上顶点，若点 P 是椭圆C 上一动点，则PAF ∆周长的最大值为 ▲ ．
第10题图
D
B
A
第4题图
Read x If 5x ≤Then
y ←2x
Else y ←2log x End If
Print y
12．已知函数3
()1f x x x =++，若对任意的x ，都有2
()()2f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
13．在ABC ∆中，若120C =，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ= ▲ ． 14．若函数2
2
()(1)(0)f x ax a x a a =++->的一个零点为0x ，则0x 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b .
（1）若3m =，1n =-，且(λ⊥+)a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值． 16．（本题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ． 17．（本题满分14分）
如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在
O 上，,,,A B C D 恰是一个正
方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ． （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；
（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．
18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,1)P 且互相垂直的两条直线分别与 圆2
2
:4O x y +=交于点,A B ，与圆2
2
:(2)(1)1M x y -+-=交于点,C D ．
（1
）若AB =CD 的长； （2）若CD 中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．
19．（本题满分16分）
已知函数2
()2ln f x x x ax =+-，R a ∈．
（1）若函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若a =e ，解不等式：()2f x <；
（3）求证：当4a >时，函数()y f x =只有一个零点．
20．（本题满分16分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11b =，
22b =，
12
n n n n T b
T b ++=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在正整数n ，使得1
1
n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不
存在，说明理由．
2016～2017高三模拟考试
高三数学参考答案
一、填空题
1．{1,1}-； 2．
2
π
； 3．2； 4．5； 5．13；
6
．y =； 7．19； 8
．； 9
； 10．4-；
11．16； 12．04a <<； 13
．12
+ ； 14
1. 二、解答题
15. 解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，
(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ∴+=+-=+-a b ，
若(λ⊥+)a a b ，则(0)=λ⋅+a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． ……………7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2
2
2
3()5m n ++=，则2
()16m n +=，
所以211
122()216644
mn m n ⋅⨯+≤++=+⨯=a b =， 故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． ……………14分 16. 证：（1）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC CD ⊥，
又因为CD AC ⊥，所以CD ⊥平面PAC ． ……………7分 （2）因为AB //CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以//AB 平面CDEF ， ……………10分 又因为平面PAB 平面CDEF EF =，AB ⊄平面CDEF ，
所以//AB EF ． ……………14分
17. 解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，
所以10OA OB AB ===，则3AOB π
∠=，所以103AB π=，………2分
所以广场的面积为2211050(1010)101002343
ππ⋅⋅-⋅+=+-2m ）
………6分 （2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=，
则2220sin AD DG OK α===， ………8分 由余弦定理得 2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅
221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22
α
αααα-=+-⨯⨯=+⨯
-
230045)1)α=-+≥， ………12分
所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=时取等号，
所以201)OA OB OC OD +++≤+= 因此求4
条小路的总长度的最小值为 答：（1
）广场的面积为
501003
π
+- （2）4
条小路的总长度的最小值为 …………14分 18. 解：（1）直线AB 斜率显然存在，设为k ，则直线:1AB y kx =+，
因为22
()42AB +=
，所以AB = ………3分
由=2
15k =
，222
11
()12CD -+-=-，
CD === ………6分 （2）当直线AB 斜率不存在时，ABE ∆的面积1
4242
S =
⨯⨯=； 当直线AB 斜率存在时，设为k ，则直线:1AB y kx =+，显然0k ≠，
直线1:1CD y x k =-+
1<得23k >, ………8分
所以(,(3,)k ∈-∞+∞．
因为22
()42AB
+=，所以AB =E 到直线AB 的距离即M 到AB
的距离，为d =
=
，
所以
ABE ∆
的面积12S AB d =⋅== ………12分 令23
4(45)t t k +
=<<
，则4)S ==．
综上，ABE ∆面积的取值范围4]． …………16分
说明：求S =范围还可以： 令2
14k t +
=>
，S ==
∈
19．解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，2
()2ln f x x x ax =+-，2
()2f x x a x
'=+-， 由题意，对任意的0x >，都有2()20f x x a x '=
+-≥，只要min 2
(2)x a x
+≥，
由基本不等式得
224x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， 所以4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞． ………4分
（2）当a =e 时，2
()2ln f x x x x =+-e ，2222
()20x x f x x x x
-+'=+-=
>e e ， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，
又因为2
()2ln 2f =+-⋅e e e e e =，所以()2()()f x f x f <⇔<e ，因此0x <<e ， 故不等式()2f x <的解集为(0,)e ． ………9分
（3）2222()2x ax f x x a x x
-+'=+-=，(0,)x ∈+∞，令2
()22g x x ax =-+，
当4a >时，因为2160a ∆=->,所以2
()22g x x ax =-+一定有两个零点， 设为1212,()x x x x <，又因为121x x =，所以1201x x <<<，
则()f x 在区间1(0,)x 或2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， ………12分
因为2111()220g x x ax =-+=，所以22
111111()2ln 2ln 2f x x x ax x x =+-=--， 因为101x <<,所以22
1111()2ln 22ln120f x x x x =--<--<，
所以21()()0f x f x <<，
又()2ln ()f x x x x a =+-，则()2ln 0f a a =>，
所以()f x 在(0,)+∞上只有一个零点． ………16分 说明：事实上，对任意的R a ∈，函数()y f x =只有一个零点． 20. 解：(1) 因为22n n S a =-，所以当2n ≥时，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=- ，即12n n a a -=，又1122S a =-，则12a =，
所以数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，故2n
n a =． ………4分
由
12n n n n T b T b ++=得 33111122233445
112
,,,,
,n n n n n n n n T b
T b T b
T b T b T b T b T b T b T b --+++=====， 以上n 个式子相乘得
11212
n n n T b b
T b b ++=，即12n n n T b b += ①，当2n ≥时，112n n n T b b --=②， 两式相减得 112()n n n n b b b b +-=-，即112n n b b +--=（2n ≥）， ………6分
所以数列{}n b 的奇数项、偶数项分别成等差数列， 又
11
23
T b T b =，所以32123b T b b ==+=，则1322b b b +=， 所以数列{}n b 是以11b =为首项，1为公差的等差数列，因此数列{}n b 的通项公式为
n b n =． ………8分
另法：由已知显然0n b ≠，因为
12
n n n n T b
T b ++=，所以1112n n n n n n T T b b b b ++++=，则数列1{}n n n T b b +是常数列，
所以
11121
2
n n n T T b b b b +==，即12n n n T b b +=，下同上． （2）当1n =时，
1
1
n n n n a b a b +++-无意义，
设1121(2,)2(1)
n n n n n n n a b n c n n a b n *+++++==∈--+Ｎ≥，显然1n c >，
则11
11
12221202(2)2(1)[2(2)][2(1)]
n n n n n n n n n
n n n c c n n n n +++++++++-⋅-=-=<-+-+-+⋅-+，即11n n c c +>>， 显然212(1)n
n
n n ++>-+，所以234731c c c =>=>>
>，
所以存在2n =，使得72b c =，33b c =， ………12分
下面证明不存在2n c =，否则21
22(1)
n n n
n c n ++==-+，即23(1)n n =+， 此式右边为3的倍数，而2n
不可能是3的倍数，故该式不成立．
综上，满足要求的n b 为37,b b ． ………16分
附加题参考答案
21.A ．证明：因为CD 为圆的切线，弧BC 所对的圆周角为BAC ∠ 所以 BCD BAC ∠=∠ （1） 又因为 AB 为半圆O 的直径
所以90ACB ∠=︒，
又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠ （2） 由（1）、（2）得ABC CBD ∆∆ 所以
2AB BC
BC BA BD BC BD
=⇒=⋅ ……………10分 21.B . 解：因为02513MN ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦ ，所以25,
413.x y x y -=⎧⎨-=⎩
所以4,3x y ==； ……………5分
矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵1
3
255415
5M -⎡⎤
-⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
. ……………10分
21.C . 解：曲线C 的普通方程是2
213
x y +=． ……………………………2分
直线l
的普通方程是0x +=． ……………………………4分 设点M
的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是
d
=10分
21.D .
证明：因为
2
≤(a +1+b +1)(12+12)=6， ………… 8分
． …………10分
，
即证22≤，
即证116a b +++≤，
即证3(1)(1)a b =+++ 由基本不等式易得。

22. 解：连接CE ， 以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴，
建立如图空间直角坐标系，
则((
)()
,1,0,0,,(1,0,0)A B C D -，
因为F 为线段AB 上一动点，且
BF
BA
λ=，
则(
=()BF BA λλλ=-=-，
所以(1)F λ-.
（1）当1
3
λ=
时，2(,0,
33F
，53(,0,),(1,33DF CB ==-，
所以5
cos ,DF CB <>=
=
；
(4)
分 （2）(1,)CF λ=-， 设平面ACD 的一个法向量为n =(),,x y z
由n DA
⊥,n DC ⊥得(
)(
()()
,,0,,0x y z x y z ⎧
⋅=⎪⎨⋅
=⎪⎩
，化简得0
0x x ⎧+
=⎪⎨+=⎪⎩，取n )
1,1=
--
设CF 与平面ACD 所成角为θ
，则sin |cos ,|CF n θ=<>==
. 解得12λ=
或2λ=（舍去），所以12
λ=. …………
10分
23. 证明：(1) 因为
21
01222121
21212121(1n n n n n n n C C C C ++++++
++=++
+
+，
210122
2121
21212121(1n n n n n n n C C C C +++++++-
=-++
-， 又因为21
(1n
n n a
++=+，所以21(1n n n
a +-=
-，
所以21
21(1(1()()n n n n n n a a +++-=+-，
即222187n n n a b +-=-，所以22
8n n a b -能被7整除． …………5分 （2）由222187n n n a b +-=-得222187n n n b a +=+，
因为201
1117
49(501)5050(1)50(1)(1)n
n n n n n n n
n n n n n C C C C ---==-=+-+
+-+-除最后一项外都是5
的倍数， 所以21
7
n +用5除所得的余数是2或2-，
又因为2
n a 是平方数，其末尾数可能是0,1,4,5,6,9，
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----完整版学习资料分享---- 所以2217n n a ++末尾数不可能是0或5，
因而不能被5整除，即28n b 不能被5整除，从而2
n b 不能被5整除， 所以n b 不能被5整除． …………10分。