九年级数学第一轮复习教案 第十四课时 二次函数

第十四课时 二次函数
考点综述：
二次函数是历届中考的重要考点，学生应掌握：通过实际问题分析体会二次函数的意义，并能确定二次函数的关系式；会用描点法画二次函数的图象，并能根据图象认识二次函数的性质；能确定函数图象的顶点、开口方向、对称轴等信息，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

典型例题：
例1：（2006云南）二次函数21
(4)52
y x =
-+的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ） A.向上、直线x=4、（4，5） B.向上、直线x=-4、（-4，5） C.向上、直线x=4、（4，-5） D.向下、直线x=-4、（-4，5）
例2：（2008年龙岩市）已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ） A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＜0，c ＜0
C ．a ＜0，c ＞0
D ．a ＞0，c ＜0
例3：（2008年泰州市）二次函数342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平
移而得到，下列平移正确的是
A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位;
B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位;
C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位;
D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
例4：（2007宁夏）二次函数2
(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：
x
1- 12-
12 1
32 2 52 3
y
2-
14- 1
74
2
74
1
14
- 2-
（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的两个根12x x ，的取值范围是下列选项中的哪一个 ．
①1213
0222x x -
<<<<， ②1215
1222x x -<<-<<，
③1215
0222
x x -<<<<，
④1213
1222x x -<<-<<，
例5：（2007江西）已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程2
20x x m -++=的解为 ．
例6：（2007贵阳）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量y （箱）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 例7：（2008 安徽)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线2
3315
y x x =-
++的一部分，如图． （1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
实战演练：
1.（2007陕西）抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ）
A ．(211)-，
B ．(27)-，
C ．(211)
，
D ．(23)-，
2.（2007长沙）把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =-+
B ．22(1)y x =--
C ．221y x =-+
D ．221y x =--
3.（2008长沙）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ） A 、a ＜0
B 、abc ＞0
C 、c b a ++＞0
D 、ac b 42-＞0
4.（2007乌兰察布）小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线2
1 3.55
y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ）
A 、4.6m
B 、4.5m
C 、4m
D 、3.5m
5．（2008兰州）下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程2
0ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（ ）
x
6.17 6.18 6.19 6.20
2y ax bx c =++
0.03- 0.01- 0.02 0.04
A ．6 6.17x <<
B ．6.17 6.18x <<
C ．6.18 6.19x <<
D ．6.19 6.20x <<
6.（2007成都）如图所示的抛物线是二次函数2
2
31y ax x a =-+-
的图象，那么a 的值是 ．
7.（2008庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y （元/平方
米）随楼层数x （楼）的变化而变化（x =1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x ，y ）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．
.
.
8.（2008南京）已知二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
x
… 1-
0 1 2 3 4 … y
… 10 5 2 1
2
5
…
（1）求该二次函数的关系式；
（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？
（3）若1()A m y ，，2(1)B m y +，两点都在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小．
9.（2008兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
x
图1
应用探究：
1.（2007常州）二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：
x
… 3- 2- 0 1 3 5 … y
…
7 0 8- 9- 5- 7
…
二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为x = ，2x =对应的函数值y = ． 2.（2007吉林）如图，抛物线y 1＝－x 2＋2向右平移1个单位得到抛物线y 2，回答下列问题：
(1)抛物线y 2的顶点坐标_____________； (2)阴影部分的面积S ＝___________；
(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，则抛物线y 3的开口方向
．
3.（2008青海）二次函数2
y ax bx c =++图象如图所示，则点2
(4)b A b ac a
--
，
在第 ____________象限．
4.（2008天津）已知关于x 的函数同时满足下列三个条件：
①函数的图象不经过第二象限； ②当2<x 时，对应的函数值0<y ；
③当2<x 时，函数值y 随x 的增大而增大．
你认为符合要求的函数的解析式可以是： （写出一个即可）．
5.（2007兰州）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (x 0，0)和点B (2，0)，与y 轴的正半轴交于点C ，其对称轴是直线x ＝－1，tan ∠BAC ＝2，点A 关于y 轴的对称点为点D ．
（1）确定A 、C 、D 三点的坐标；
（2）求过B 、C 、D 三点的抛物线的解析式；
（3）若过点(0，3)且平行于x 轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于M 、N 两点，以MN 为一边，抛物线上任意一点P (x ，y )为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S ，写出S 关于P 点纵坐标y 的函数解析式．
（4）当2
1＜x ＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，
请说明理由．
(第题图)
第3题图
第十四课时 二次函数
参考答案
典型例题：
例1：A 例2：D 例3：B 例4：解：（1）开口向下
顶点坐标(12)，
（2）两个根12x x ，的取值范围是③ 例5：11x =-，23x =
例6：（1）903(50)y x =--化简得：3240y x =-+ （2）2(40)(3240)33609600w x x x x =--+=-+- （3）2
33609600w x x =-+-
0a < ，∴抛物线开口向下．
当602b
x a
=-=时，w 有最大值 又60x <，w 随x 的增大而增大
∴当55x =元时，w 的最大值为1125元
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．
例7：解：（1）23y=x 3x 15－＋＋=2
3519
x 524
⎛⎫ ⎪⎝⎭－－＋
∵3
05－＜，∴函数的最大值是194。

答：演员弹跳的最大高度是
19
4
米。

（2）当x ＝4时，2
3
y=43415
⨯⨯－＋＋
＝3.4＝BC ，所以这次表演成功。

实战演练：
1.A
2.C
3.C
4.B
5.C
6.－1
7.4
8. 解：（1）根据题意，当0x =时，5y =；当1x =时，2y =．
所以521.
c b c =⎧⎨
=++⎩，
解得45.
b c =-⎧⎨
=⎩，
所以，该二次函数关系式为245y x x =-+． （2）因为2245(2)1y x x x =-+=-+， 所以当2x =时，y 有最小值，最小值是1．
（3）因为1()A m y ，，2(1)B m y +，两点都在函数245y x x =-+的图象上， 所以，2145y m m =-+，222(1)4(1)522y m m m m =+-++=-+．
2221(22)(45)23y y m m m m m -=-+--+=-．
所以，当230m -<，即3
2
m <时，12y y >； 当230m -=，即3
2m =
时，12y y =； 当230m ->，即3
2
m >时，12y y <．
9. 解：（1）根据题目条件，A B C ，，的坐标分别是(100)(100)(06)-，，
，，，． 设抛物线的解析式为2
y ax c =+，
将B C ，的坐标代入2
y ax c =+，得60100c a c =⎧⎨=+⎩
，
解得3
650
a c =-
=，． 所以抛物线的表达式是2
3650
y x =-+． （2）可设(5)F F y ，，于是
23
56 4.550
F y =-
⨯+= 从而支柱MN 的长度是10 4.5 5.5-=米．
（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(70)，
． 过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23
76 3.06350
H y =-
⨯+>≈． 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
x
应用探究：
1. 1，8-．
2.（1）（1，2） （2）2 （3）向上，（－1，－2）
3.四
4. 答案不惟一，如652-+-=x x y 等
5. 解：（1）∵点A 与点B 关于直线x ＝－1对称，点B 的坐标是(2，0) ∴点A 的坐标是(－4，0) 由tan ∠BAC ＝2可得OC ＝8
∴C (0，8) ∵点A 关于y 轴的对称点为D
∴点D 的坐标是(4，0) （2）设过三点的抛物线解析式为y ＝a (x －2)(x －4) 代入点C (0，8)，解得a ＝1 ∴抛物线的解析式是y ＝x 2－6x ＋8
（3）∵抛物线y ＝x 2－6x ＋8与过点(0，3)平行于x 轴的直线相交于M 点和N 点 ∴M (1，3)，N (5，3)，MN ＝4 而抛物线的顶点为(3，－1) 当y ＞3时
S ＝4(y －3)＝4y －12 当－1≤y ＜3时
S ＝4(3－y )＝－4y ＋12
（4）以MN 为一边，P (x ，y )为顶点，且当2
1＜x ＜4的平行四边形面积最大，
只要点P 到MN 的距离h 最大
∴当x ＝3，y ＝－1时，h ＝4 S ＝MN •h ＝4×4＝16
∴满足条件的平行四边形面积有最大值16。