2021年高考数学复习精选课件 第五节 指数与指数函数

A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
(2)假设曲线|y| =2x +1与直线y =b没有公共点,那么b的取值范围
是
.
答案 (1)D (2)[ -1,1]
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解析 (1)由f(x) =ax -b的图象可以观察出,函数f(x) =ax -b在定义域上单调 递 减,所以0<a<1. 函数f(x) =ax -b的图象是在f(x) =ax图象的根底上向左平移得到的,所以b<0, 应选D. (2)作出曲线|y| =2x +1(如图),要使该曲线与直线y =b没有公共点,只需 -1≤ b≤1.
amn =⑩ n am (a>0,m,n∈N*,n>1). (ii)正数的负分数指数幂:
=
=
(a>0,m,n∈N*,n>1).
((ai2i)imn)有0的理正数分指a1mn数数指幂数的幂运是算n 1a性m 质0 ,0的负分数指数幂无意义.
(i)aras = ar +s (a>0,r,s∈Q).
2
综上可知,a的取值范围是
0,
1.
2
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考点三 指数函数的性质及应用
典例3 (2021福建南平模拟)a = ,b=3 ,13c = 3,那14么a、3b、34 c的
大小关系是 ( )
5
5
2
A.c<a<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<b<a
答案 D
解析 由指数函数y = 的性质及 - < - ,可得a = >b = >1,
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1.计算[( -2)61 -( -1)0的结果为 ( )
]2
A. -9 B.7 C. -10 D.9 答案 B 原式 = 61 -1 =23 -1 =7.应选B.
22
2.化简 4 1(6xx<8 y04,y<0)得 ( )
A.2x2y B.2xy C.4x2y D. -2x2y
答案
D
∵x<0,y<0,∴4 16
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方法技巧 (1)函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是 否过这些点,假设不满足那么排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一 般 是从最|根本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到 的.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指 数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结 合求解.
.
a1 b 0,
a 1 ,
a
0
b
1,
2 b 2,
3
2
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3 -2
函数f(x)
= .
1
ax2 4 x3
(1)假设a = -1,求f(x)的 3单 调区间;
(2)假设f(x)有最|大值3,求a的值;
(3)假设f(x)的值域是(0, +∞),求a的值.
解析 (1)当a = -1时, f(x)=1 ,x令24xg(3x) = -x2 -4x +3,由于g(x)在( -∞, -2)上 单调递增,在( -2, +∞)上单调3 递减,而y = 在R上单调递减,所以f(x)在( ∞, -2)上单调递减,在( -2, +∞)上单调递增13 ,t即函数f(x)的单调递增区间是 ( -2, +∞),单调递减区间是( -∞, -2).
a3 2b3 (a a 3 )2
a
1 11
(a2 a3 )5
11
a3 a3
1
b3
5
a
1
a6
11
1
a3
2
a3
a3 2b3 a 6
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考点二 指数函数的图象及应用 典例2 (1)函数f(x) =ax -b的图象如图,其中a,b为常数,那么以下结论正确 的 是 ( )
2
1
a3 )2
2
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= 5- a 16 b -3a÷13 b( 32 )
4
= 5- a 12 b· 32 = 4- · = - .
(3)54原式a1b=3
5 ab
=4a b2·
= .
1 1 1 1
a 3b2 a 2b3
15
a6b6
111 115
a 3 2 6 b2 3 6
1 a
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3 -1 (2021山东,14,5分)函数f(x) =ax +b(a>0,且a≠1)的定义域和值域
都是[ -1,0],那么a +b =
.
答案 -3
解析
①2 当a>1时,
f(x)在[
-1,0]上单调递增,那么a1
无解.
b 1,
②当0<a<1时, f(x)在[ -1,0]上单调递减,那么 解a0得 b ∴0, a +b = -
由指数函数y = 的性质3 及x - <0可得1 c =1 <1,
∴c<b<a,应选D.
5
3 x
3
34
3
3 4
2
4
2
3
1
3
5
3
1 4
5
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方法技巧 指数式值的大小比较的常见类型:同底不同指数;同指数不同底;底和指 数均不一样.指数式值的大小比较的常用方法:(1)化为一样指数或一样 底数后利用相应函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1 等).
6.假设指数函数f(x) =(a -2)x为减函数,那么实数a的取值范围为
.
答案 (2,3)
解析 ∵f(x) =(a -2)x为减函数,
∴0<a -2<1,即2<a<3.
考点突破
考点一 指数幂的化简与求值
典例1 化简以下各式: ((21)) 2 53+2·0b-2-×2·(-2314- (0b.120-11))0÷.5(;4 ·b -3 ;
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易错警示 (1)指数幂的运算首|先将根式、小数指数幂统一化为分数指数幂,以便 利用法那么计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的 先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算 结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
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第五节 指数与指数函数
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1.指数幂的概念 (1)根式的概念
根式的概念
如果① xn=a ,那么x叫做a的n次方根
当n为奇数时,正数的n次方根是一个② 正数 ,负数 的n次方根是一个③ 负数
当n为偶数时,正数的n次方根有④ 两个 ,它们互为 ⑤ 相反数
答案 B 当x≥1时, f(x) =2x -1;当x<1时, f(x) =21 -x,选B.
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5.当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点
.
答案 (2,-2)
解析 令x-2=0,则x=2,
此时f(x)=1-3=-2, 故函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点(2,-2).
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(ii)(ar)s = ars (a>0,r,s∈Q). (iii)(ab)r = arbr (a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
a>1
图象
0<a<1
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定;1 ; 当x<0时, 0<y<1
在(-∞,+∞)上是 单调增函数
R (0,+∞) 过定点 (0,1)
(3) 5 a.
1 3
1
a2
2
1
a3 )2
6
解析 2
(a 3
b(11))原12 式 a=12 1 b+13 ×
-
=1 + ×6 a b-5 =1 + -
1
1
= .
1 4 2 1 2
(2)原式 = - b -34÷(49 ·b1-300
1 21 11
4 3 10 16
6 10
15
5
1
a6
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变式2-3 若将本例(2)改为直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象 有两个公共点,求a的取值范围. 解析 y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位,再将x轴下方 的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的. 当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不合题意; 当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,得到0<a< 1 .
1 -1 答案
-28+7(0.32002
-10×1 (
)2
-2) -1
5
+(
- )0
23
=
.
解析 原16式7 = + - +1
9
= =
+50 +10
--1100( 287-+20232)++115=010- 12.
10 52
2
8 27
3
1
02
5
4
55
167
9
9
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1 -2
当x>0时, 0<y<1 ; 当x<0时, y>1 在(-∞,+∞)上是 单调减函数
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判断以下结论的正误(正确的打 "√〞,错误的打 "×n a〞n ) n a
n 3
(1) 与( a)mnn都等于am(n∈N*). (×) n
(2)当n∈N*时,( )n总有意义. (×) (3)分数指数幂 可以理解为 个a相乘. (×) (4)函数y =3·2x与y =2x +1都不是指数函数. (√) (5)假设am<an(a>0且a≠1),那么m<n. (×)
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变式2 -1 假设将本例(2)中的条件改为假设曲线y =|2x -1|与直线y =b有两 个公 共点,求b的取值范围. 解析 曲线y =|2x -1|与直线y =b如下图.由图象可得,b的取值范围是(0, 1).
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变式2 -2 假设将本例(2)改为函数y =|2x -1|在( -∞,k]上单调递减,求k的取 值 范围. 解析 因为函数y =|2x -1|的单调递减区间为( -∞,0],所以k≤0,即k的取值 范围为( -∞,0].
÷a 34 8· a13b=
答案
a22
4b3
2
3
ab
a
2 3
2 a 3
.2 3 b
a
5
a 3 a2 a3 a
解析 原式 = ÷ · = ( -2 )·
· = ·a· =a12. 1
1
1
1
21
a3[(a3 )3 (2b3 )3 ]
1
11
1
(a3 )2 2a3 b3 (2b3 )2
(2)两个重要公式
⑥ a , n为奇数,
n =an
|
a
|
⑦ a (a ⑧ a (a
0), 0),
n为偶数;
( n a)n=⑨ a (注意a必须使 n有a 意义).
符号表示
na ±n a
备注 n>1且n∈N* 零的n次方根是零
负数没有偶次方根
2.有理数指数幂
(1)分数指数幂的表示
(i)正数的正分数指数幂:
x=8(y146x8·y4
1
1
1
1
)=41 6·4(x8 )4 ·(y4) 4
=2x2|y|
=
-2x2y.
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3.函数f(x) =3x +1的值域为 ( ) A.( -1, +∞) B.(1, +∞) C.(0,1) D.[1, +∞) 答案 B ∵3x>0,∴3x +1>1,即函数f(x) =3x +1的值域为(1, +∞). 4.函数f(x) =2|x -1|的大致图象是 ( )
因此只能a=0(因为若a≠0,
则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).
故a的值为0.
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(2)令g(x)=ax2-4x+3,
则f(x)=
1 3
g
,
(
x
)
由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,
a 0,
因此必有
3a a
4
1,
解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知,
要使f(x)的值域为(0,+∞),
应使y=ax2-4x+3的值域为R,